2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二4月月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二4月月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二4月月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．由①安梦怡是高三（2）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高三（2）班的学生都是独生子女．写一个“三段论”形式的推理，则大前提、小前提和结论分别为( )‎ A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③①‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三段论的一般模式，可得结论。‎ ‎【详解】‎ 因为高三（21）班的学生都是独生子女，又因为安梦怡是高三（21）班学生，‎ 所以安梦怡是独生子女。‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 三段论是演绎推理的一般模式：包括：⑴大前提——已知的一般原理；⑵小前提——所研究的特殊情况；⑶结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。‎ ‎2．设为虚数单位，复数 ，则复数在复平面上对应的点在( ).‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得 ，‎ 即复数在复平面上对应的点 在第一象限.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，把代入求出在处的切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程，最后化成一般式。‎ ‎【详解】‎ ‎ ， ‎ ‎ 当，时，即点的坐标为（1，），‎ 根据点斜式可得 化成一般式为。故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本点考查了函数导数的几何意义、直线的点斜式方程、一般式方程。‎ ‎4．一物体在力F(x)＝2x＋3(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝4处，求力F(x)所做的功．（ ）‎ A．24 B．25 C．26 D．27‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接应用定积分在物理中的应用公式求解。‎ ‎【详解】‎ 由变力作功公式，得到 故本题选A ‎【点睛】‎ 本题重点考查了定积分在物理学上的应用。掌握公式是解决本题的关键。‎ ‎5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是. （ ）‎ A．三内角至少有一个小于60° B．三内角只有一个小于60°‎ C．三内角有三个小于60° D．三内角都大于60度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用反证法证明时，应假设命题的否定成立，因此本题求出命题的否定即可。‎ ‎【详解】‎ 命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的否定就是“三角形三个内角都大于60°”。因此反设就是三角形三个内角都大于60°，因此本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 反证法证明命题时，首先要假设命题的结论不成立，也就是要知道命题的否定。‎ ‎6．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）‎ A．在上为减函数 B．在处取得最大值 C．在上为减函数 D．在处取得最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．‎ 详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：‎ f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0‎ 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；‎ 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 可知C正确，A错误；‎ 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．‎ 故选：C．‎ 点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.‎ ‎7．曲线y＝x2与曲线y＝8所围成的封闭图形的面积为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出交点，可求出积分区间，再利用定积分求出面积即可。‎ ‎【详解】‎ 曲线y＝x2与曲线y＝8联立，得到方程组， ‎ 解得交点坐标为（0,0）和（4，16）‎ 曲线y＝x2与曲线y＝8所围成的封闭图形的面积为 故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了利用定积分求面积，解决此类问题的关键是求交点定积分区间、利用图象找出被积函数。‎ ‎8．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：‎ ‎（1）此案是两人共同作案；‎ ‎（2）若甲参与此案，则丙一定没参加；‎ ‎（3）若乙参与此案，则丁一定参与；‎ ‎（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.‎ 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是 A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙、丁 D．甲、丁 ‎【答案】C ‎【解析】分析：对四个选项逐一分析、排除可得答案．‎ 详解：①若甲、乙参与此案，则与信息（2），（3），（4）矛盾，故A不正确．‎ ‎②若乙、丙参与此案，则与信息（1），（3）矛盾，故B不正确．‎ ‎③若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故C正确．‎ ‎④若甲、丁参与此案，则与信息（1），（4）矛盾，故D不正确．‎ 故选C．‎ 点睛：‎ 本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项要逐一分析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案．‎ ‎9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式的解集是(　　)‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】 因为当时，，‎ ‎ 设函数，‎ 且为奇函数，图象关于原点对称，‎ ‎ 所以当时，为单调单调递增函数，故当时，为单调单调递增函数，‎ ‎ 又，所以，即，图象如图所示，‎ ‎ 又由，可得获，‎ 即的解集为，故选D．‎ ‎10．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来 ，则第n+1个图形的顶点个数是 (　　)‎ ‎（1） （2）（3） （4）‎ A．(2n+1)(2n+2) B．3(2n+2) C．(n+2)(n+3) D．(n+3)(n+4)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知图形中，分别列出顶点数个数与边数，分析它们之间的规律，用归纳法得出。‎ ‎【详解】‎ 由已知图形可以得到以下结果：‎ n=1时，由正三角形扩展而来，顶点数为12= ‎ n=2时，由正方形扩展而来， 顶点数为20= ‎ n=3时，由正五边形扩展而来， 顶点数为30= ‎ n=4时，由正六边形扩展而来， 顶点数为42= ‎ 由此可以归纳出第n个图形的顶点个数是(n+2)(n+3)，因此第n+1个图形的顶点个数是 ‎(n+3)(n+4)，故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 解决本题的关键是先求出一些简单图形的顶点数，通过数字的运算特征归纳出规律。‎ ‎11．已知函数，在区间上任取三个数均存在为边长的三角形，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，当时，，递减，当时，，递增，所以时，，又，，所以，由题意，解得．故选D．‎ 考点：导数与函数的最值，转化与化归思想．‎ ‎【名师点睛】设函数的最大值为，最小值为，命题“对函数定义域内任意的三个实数，均存在以为边长的三角形”等价于“ ”．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．dx＝________.‎ ‎【答案】π ‎【解析】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx＝×4π＝π.‎ ‎13．已知复数，则___________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对复数进行运算化简，最后求出模。‎ ‎【详解】‎ ‎= ‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考的必考点，复数的四则运算、模的求法是常见的题型，解决的关键就是掌握复数四则运算的法则及复数求模的公式。‎ ‎14．若函数f(x)＝lnx＋x2+ax在定义域内为增函数，则实数a的取值范围是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f(x)＝lnx＋x2+ax在定义域内为增函数，等价于导函数在定义域内恒大于等于0.‎ ‎【详解】‎ 定义域为x>0. ‎ 函数在定义域内为增函数,也说是在x>0怛成立，即 在x>0内恒成立， 因此可以得到 在x>0内恒成立，a也就必须满足：。‎ 因为x>0 所以当且仅当等号成立 所以有 因此实数a的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 已知函数的单调性求参量的取值范围，解决的方法一般是导函数在区间上恒大于等于零（或者小于等于零），进行常变量分离，通过构造新函数，求出最值，最后求出参变量的取值范围，当然本题是用到基本不等式来求解，这样的题目有时很灵活，可以采用不同的方法来求解。‎ ‎15．在等差数列中，若，则有等式 成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有等式______________ .‎ ‎【答案】b1•b2•b3…bn＝ b1•b2•b3…b13-n(n<13，nÎN*)‎ ‎【解析】‎ 解：因为在等差数列{an}中，若a8＝0，则有a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a2＋a3＋…＋a15-n(n<15，nÎN*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b7＝1，则有等式b1•b2•b3…bn＝ b1•b2•b3…b13-n(n<13，nÎN*)‎ ‎16．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立,则实数的取值范围为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对式子变形，得到关于两个函数相等的式子，利用导数，求出它们最值，根据集合之间的关系，进行求解。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ 在上单调递增， ‎ 令 ‎ ‎ 在单调递减，在单调递增，在单调递减。‎ 要想有解，则 即 故所以实数的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值的问题，考查了导数的应用、函数恒成立问题，考查了集合之间的关系问题。重点考查了转化思想。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求函数的极小值；‎ ‎（2）求函数的单调减区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求函数导数，令导函数为0，根据单调性可得极小值；‎ ‎（2）求函数导数，令导函数小于0即可解得减区间.‎ 详解：（1），‎ 令，得， ，且时， ；‎ 时， ； 时， ‎ 故在时取得极小值.‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，即： ，解得： ‎ 所以函数的单调递减区间为.‎ 点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.‎ ‎18．某社会研究机构，为了研究大学生的阅读习惯，随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，其中男女各一半，男生中有表示会读，女生中有表示不会读.‎ ‎（1）根据调查结果，得到如下2╳2列联表：‎ 男 女 总计 读营养说明 ‎ 不读营养说明 总计 ‎（2）根据以上列联表，进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k ‎2.706‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎ （2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过计算，直接填表。‎ ‎（2）根据公式直接求出，直接作出判断。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 男 女 总计 读营养说明 ‎16‎ ‎8‎ ‎24‎ ‎ 不读营养说明 ‎4‎ ‎12‎ ‎16‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎ (2)由表中数据，得，‎ 能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系.‎ ‎19．在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由题意可证得两两垂直，建立空间直角坐标系求解．（1）通过证明，可得．（2）由题意可得平面的一个法向量为 ‎，又可求得平面的法向量为，故可求得，结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵平面平面平面，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴两两垂直，‎ 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由已知，得是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，‎ 由，得，‎ 令，得.‎ ‎∴，‎ 由图形知，平面与平面所成的二面角为锐角， ‎ ‎∴平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎20．节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示． ‎ 以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．‎ ‎（1）现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；‎ ‎（2）已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：‎ 使用时间t(单位：千小时)‎ t<4‎ ‎4≤t<6‎ t≥6‎ 每件产品的利润y(单位：元)‎ ‎－10‎ ‎10‎ ‎20‎ 若从大量的A型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）21.2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出从A型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率和从B型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率，在求出从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率。‎ ‎(2)先根据题意求出X的可能取值，再求出每个可能取值的概率、列出分布列，最后求出数学期望。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）从A型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率为；‎ 从B型号节能灯中随机抽取一件是优质品的概率为;‎ 从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率为：‎ ‎(2)由题意可知X的可能取值为－20，20，40，0，10，30‎ X ‎－20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎30‎ P ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的求法，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是高考的必考题。‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）动直线与椭圆C相交于点M，N，椭圆C的左右顶点为,直线与相交于点，证明点在定直线上，并求出定直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析，定直线方程为。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用离心率公式，可知a，c的关系，利用，可知a,b的关系，椭圆经过点，代入椭圆方程，又得到一个方程，二个方程联立，即可求出椭圆方程。‎ ‎（2）由椭圆的性质可以判断点G在直线上，先考虑特殊情况，求出点G在上，再考虑一般情况，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，最后可以验证点G在上。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)离心率为，即，而所以 ①，椭圆经过点.‎ 所以②，由①②联立方程组，解得，‎ 所以椭圆的方程为 ‎(2)由椭圆的对称性可知点G一定在上，假设直线过椭圆的上顶点，则M，‎ ‎ ，显然直线过定点（4，0）所以，椭圆方程与直线方程联立，求出点N的坐标为 ‎ ‎ 两方程联立，解得交点，所以G在定直线上。‎ 当M不是椭圆顶点时，设 椭圆方程与直线联立消去y，整理得 所以有 ‎ ‎ 当时，把 代入整理得：‎ ‎ 所以有显然成立，‎ 所以G在定直线上。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系。求椭圆的方程一般方法就是待定系数法。解决椭圆与直线位置关系问题时，一般是设而不求，利用已知条件，构造等式、不等式或者函数，应用韦达定理，最后通过运算求解出来。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，不等式有且只有两个整数解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数在单调递减；‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减；‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减。‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，根据a的不同范围，分别求出导函数何时大于零，何时小于零，这样就可以判断出函数的单调性。‎ ‎（2）不等式 可以化成，构造函数，‎ 求导数和单调性，结合条件分别讨论，三种情况下，可以求出满足条件的a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为 ‎ ‎② 当时， 函数在上是减函数；‎ ‎②当时，，当时，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减。‎ ‎③当时，，当时，，函数递减，‎ 当时，，函数单调递增。‎ 综上所述：当时，函数在单调递减；‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减；‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减。‎ ‎（2） ‎ 令，求导得 令 ‎ 所以是R上的增函数，而 说明函数在R上存在唯一零点 此时函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ ‎ 易证，‎ 当时， ，当时，‎ ‎（1）若时，，此时有无穷多个整数解，不符合题意；‎ ‎（2）若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增 所以时， ，所以无整数解，不符合题意；‎ ‎（3）当，即此时， 故0，1是的两个整数解，‎ 又只有两个正整数解，因此 ，解得所以 综上所述的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、有关不等式、方程有解的问题。重点考查了分类讨论思想、构造函数法、零点存在定理。‎