专题21+数列的概念与简单表示法-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

专题21+数列的概念与简单表示法-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

‎（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.‎ ‎（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ 一、数列的相关概念 ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．‎ ‎2．数列与函数的关系 数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．‎ 由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.‎ ‎3．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10‎ 无穷数列 项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…‎ 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…‎ 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…‎ 常数列 各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…‎ 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2‎ 按项的有界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…‎ 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…‎ 二、数列的表示方法 ‎（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．‎ ‎（2）解析法：主要有两种表示方法，‎ ‎①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．‎ ‎②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．‎ ‎（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．‎ 三、数列的前n项和与通项的关系 数列的前n项和通常用表示，记作，则通项．‎ 若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示．‎ 考向一 已知数列的前几项求通项公式 ‎1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．‎ 具体策略：‎ ‎①分式中分子、分母的特征；‎ ‎②相邻项的变化特征；‎ ‎③拆项后的特征；‎ ‎④各项的符号特征和绝对值特征；‎ ‎⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；‎ ‎⑥对于符号交替出现的情况，可用或处理．‎ 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.‎ ‎2．常见的数列的通项公式：‎ ‎（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为；‎ ‎（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为；‎ ‎（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为；‎ ‎（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为；‎ ‎（5）数列1，，，，…的通项公式为；‎ ‎（6）数列，，，，…的通项公式为．‎ ‎3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．‎ 典例1 写出下列数列的一个通项公式:‎ ‎（1）；‎ ‎（2）a,b,a,b,a,b,‎ ⋯‎ (其中a,b为实数)；‎ ‎（3）.‎ ‎（2）这是一个摆动数列,奇数项为a,偶数项为b,所以它的一个通项公式为an=.‎ ‎（3）变换数列的各项为,各项分母为1×3,2×4,3×5,4×6,‎ ⋯‎,第n项分母为n(n+2),所以数列的一个通项公式是. ‎ 典例2 如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块．（用含n的代数式表示）‎ ‎【答案】4n+8‎ 因此，我们可以从图中概括出第n个图有（n+2）×4，也就是有（4n+8）块黑色的瓷砖.‎ ‎1．数列1，的一个通项公式是 A． B．‎ C． D．‎ 考向二 利用与的关系求通项公式 已知求的一般步骤：‎ ‎（1）先利用求出；‎ ‎（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；‎ ‎（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.‎ 利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起．‎ 典例3 设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(n∈),且a4=54,求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解析】因为a4=S4-S3=,所以a1=2,‎ 典例4 已知数列的前项和为，且满足，，‎ ‎．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式．‎ ‎（2）由, 得．‎ ‎∴数列是首项为, 公差为的等差数列．‎ ‎∴，∴． ‎ 当时, ． ‎ 而适合上式，‎ ‎∴．‎ ‎2．已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn，若Sn‎=n‎2‎+2n-1‎，求数列‎{an}‎的通项公式.‎ 考向三 由递推关系式求通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.‎ 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：‎ ‎（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．‎ ‎（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．‎ ‎（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．‎ ‎（4） ：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．‎ ‎（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3．‎ ‎（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．‎ ‎（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．‎ ‎（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．‎ ‎（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．‎ 典例5 已知数列{an}中,a1=1,an=n(an+1-an)(n∈).求数列{an}的通项公式.‎ 又a1=1,∴an=n(n≥2).‎ ‎∵a1=1也适合上式,∴an=n.‎ 方法二(迭代法)‎ 由知,,,,…,‎ 则an=a1×a‎2‎a‎1‎‎×a‎3‎a‎2‎×‎a‎4‎a‎3‎×…×an-1‎an-2‎‎×‎anan-1‎=1×‎2‎‎1‎‎×‎3‎‎2‎×‎‎4‎‎3‎×…×n-1‎n-2‎‎×‎nn-1‎=n.‎ 典例6 已知数列{an}中,a1=1；数列{bn}中,b1=0.当n≥2时,an=(2an-1+bn-1),bn=(an-1+2bn-1),求an,bn.‎ ‎【解析】因为an+bn=(2an-1+bn-1)+(an-1+2bn-1)=an-1+bn-1,‎ 所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=…=a2+b2=a1+b1=1,‎ 即an+bn=1 ①.‎ 又an-bn=(2an-1+bn-1)-(an-1+2bn-1)=(an-1-bn-1),所以an-bn=(an-1-bn-1)=()2(an-2-bn-2)=…=()n-1(a1-b1)=()n-1.‎ 即an-bn=()n-1  ②.‎ 由①②得an=[1+()n-1]，bn=[1-()n-1].‎ ‎3．已知，，则数列的通项公式等于 A． B．‎ C． D．‎ 考向四 数列的性质 数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.‎ ‎1．数列的周期性 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．‎ ‎2．数列的单调性 ‎（1）数列单调性的判断方法： ‎ ‎①作差法：数列是递增数列；‎ 数列是递减数列；‎ 数列是常数列．‎ ‎②作商法：当时，数列是递增数列；‎ 数列是递减数列；‎ 数列是常数列．‎ 当时，数列是递减数列；‎ 数列是递增数列；‎ 数列是常数列．‎ ‎（2）数列单调性的应用：‎ ‎①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．‎ ‎②根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．‎ ‎（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：‎ ‎①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；‎ ‎②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．‎ 典例7 已知数列，其通项公式为 ，判断数列的单调性． ‎ ‎（注：这里要确定的符号，否则无法判断与的大小）‎ 方法三：令，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，‎ 则函数在上单调递增，故数列是递增数列．‎ 典例8 已知数列‎{an}‎中，a‎1‎‎=1‎，其前n项和为Sn，且满足‎2Sn=(n+1)‎an．‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（2）记，若数列‎{bn}‎为递增数列，求λ的取值范围．‎ ‎∵数列‎{bn}‎为递增数列，∴‎2⋅‎3‎n-λ(2n+1)>0‎，即.‎ 令，则.‎ ‎∴‎{cn}‎为递增数列，∴λ0,an‎2‎‎＋2an＝4Sn＋3‎.‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设.求数列{bn}的前n项和.‎ 变式拓展 ‎1．【答案】D ‎【解析】A中，B中，C中，D中，因此排除A、B、C，故选D．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】，‎ 当n≥2时，，‎ 经检验，也符合上述通项公式.故选C.‎ ‎4．【解析】方法一：作差比较an+1与an,判断{an}的单调性.‎ an+1-an=(n+3)×()n+1-(n+2)×()n=()n×‎5-n‎8‎.‎ 当n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;‎ 当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;‎ 当n>5时,an+1-an<0,即an+1a7>a8>…,‎ 所以数列{an}有最大项,且最大项为a5=a6=.‎ 方法二：作商比较an+1与an,判断{an}的单调性.‎ ‎.又an>0,‎ 方法三：解不等式.‎ 假设{an}中有最大项,且最大项为第n项,则,n≥2,即,‎ 解得,即5≤n≤6.‎ 故数列{an}有最大项a5和a6,且a5=a6=.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】C ‎【解析】验证易知,只有C选项中的式子不能作为已知数列的通项公式.‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】因为=-2,，所以，，，.‎ 可知数列是以4为周期的数列，所以故选B.‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】因为Sn‎=2n‎2‎-3n，所以当n≥2‎时，Sn-1‎‎=2‎(n-1)‎‎2‎-3(n-1)‎,两式相减可得an‎=Sn-Sn-1‎=4n-5‎，又当n=1时，a1=S1=‎-1‎,满足上式，故选A.‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】由，再根据累加法得 ‎＝，故选D ‎ ‎5．【答案】B 故选B.‎ ‎6．【答案】‎ ‎【解析】设数列为‎{an}‎，由图知，a‎1‎‎=1，a‎2‎=1+2，a‎3‎=1+2+3，a‎4‎=1+2+3+4，‎所以由此猜想：,故填.‎ ‎7．【答案】 ‎ ‎【解析】由已知得，，所以，，，，，，．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】设an=,显然an>0.则,令an+1‎an≥1,得(n+1)2≥2n2,整理得n2-2n-1≤0,解得n≤‎2‎+1,因为n∈N*,所以n≤2.当n≤2,且n∈N*时,有an+1>an;当n>2,且n∈N*时,有an+10恒成立,即λ>-2n-1在n≥1时恒成立,令f(n)=-2n-1,n∈,则f(n)max=-3.‎ 只需λ>f(n)max=-3即可.故实数λ的取值范围为(-3,+∞).‎ ‎10．【解析】（1）因为点(an,an+1)在函数f(x)=的图象上,所以an+1=.‎ 又a1=2,所以a2=,a3=,a4=.‎ ‎（2）由（1）中数列{an}的前4项的规律,可归纳出an=.‎ ‎12．【解析】由已知得，所以a2=a1+3=4+3=7，a3=a2+3=7+3=10，a4=a3+3=10+3=13，a5=a4+3=13+3=16，a6=a5+3=16+3=19．所以数列的前6项为4，7，10，13，16，19．‎ 因为，，…，，以上各式相加得，‎ 故．‎ ‎13．【解析】因为 ，所以，‎ 得，即．‎ 故，即，‎ 又所以，当n=1时，成立，‎ 所以．‎ 直通高考 ‎1．【答案】 ‎ 所以数列‎{‎1‎an}‎的前10项和为.‎ ‎2．【解析】（1）由an‎2‎+2an=4Sn+3,可知an+1‎‎2‎+2an+1=4Sn+1+3.‎ 可得an+1‎‎2‎-an‎2‎+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+1‎‎2‎-an‎2‎=(an+1+an)(an+1-an).‎ 由于an>0,可得an+1-an=2.‎ ‎ ‎