2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知命题，则命题的否定为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定为特称命题，则命题：，的否定为， .‎ 本题选择C选项.‎ ‎2．若实数满足,则的大小关系是：‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先解不等式,再根据不等式性质确定的大小关系.‎ 详解：因为,所以 ,‎ 所以 ‎ 选D.‎ 点睛：本题考查一元二次不等式解法以及不等式性质，考查基本求解能力与运用性质解决问题能力.‎ ‎3．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（ ）‎ A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据12时到14时的销售额为万元求出总的销售额，再求10时到11时的销售额.‎ 详解：设总的销售额为x,则.‎ ‎10时到11时的销售额的频率为1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.‎ 所以10时到11时的销售额为.故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图求概率、频数和总数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1，频率=.‎ ‎4．已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.‎ ‎5．在中，，，，则的面积是（ ）．‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎∴，或．‎ ‎（）当时，．‎ ‎∴．‎ ‎（）当时，．‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎6．对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 时，恒成立.‎ 时，原不等式等价于.‎ 由的最小值是2，可得，即. 选A.‎ ‎7．已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：‎ ‎①存在一条直线，使得，；‎ ‎②存在两条平行直线，，使得，，，；‎ ‎③存在两条异面直线，，使得，，，；‎ ‎④存在一个平面，使得，．‎ 其中可以推出的条件个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；‎ 存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；‎ 存在两条异面直线，，，，，，由面面平行的判定定理得，故正确；‎ 存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；‎ 故选 ‎8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，PA⊥面ABC，则为直角三角形，PA=3,AB=4，所以PB=5，又△ABC是直角三角形，所以∠ABC=90°,AB=4，AC=5所以BC=3,因为为直角三角形，经分析只能，故，三棱锥的外接球的圆心为PC的中点，所以则球的表面积为. ‎ 故选C.‎ ‎9．中,在上, ,是上的点, ,则m的值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得：‎ 则 故选 ‎10．已知正方形的边长为，若将正方形沿对角线折叠为三棱锥，则在折叠过程中，不能出现（ ）‎ A． B．平面平面 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A：取BD中点O，因为，AO 所以面AOC，所以，故A对；‎ 对于B：当沿对角线折叠成直二面角时，有面平面平面，故B对；‎ 对于C：当折叠所成的二面角时，顶点A到底面BCD的距离为，此时 ，故C对；‎ 对于D：若，因为，面ABC，所以，而，即直角边长与斜边长相等，显然不对；故D错；‎ 故选D 点睛：本题考查了立体几何中折叠问题，要分析清楚折叠前后的变化量与不变量以及线线与线面的位置关系，属于中档题.‎ ‎11．在中，已知，，则为（ ）‎ A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．‎ ‎【详解】‎ 将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，‎ ‎∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，‎ ‎∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，‎ ‎∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，‎ 已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，‎ ‎﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，‎ ‎∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，‎ 即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，‎ 整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，‎ ‎∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），‎ ‎∴C＝90°，‎ 则△ABC为等腰直角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎12．已知平面内，，，且，则的最大值等于（ ）‎ A.13 B.15 C.19 D.21‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，，将，表示成，，即可将表示成，展开可得：，再利用基本不等式即可求得其最大值.‎ ‎【详解】‎ 令，，则 又，‎ 所以 当且仅当时，等号成立.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值，考查转化能力及计算能力，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是 ．（下表是随机数表第行至第行）‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ ‎【答案】507‎ ‎【解析】试题分析：依据随机数表，抽取的编号依次为785,567,199，507．第四粒编号为507．‎ ‎【考点】随机数表．‎ ‎14．设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：，‎ 问题得解.‎ ‎【详解】‎ 因为在方向上的射影数量为2，‎ 所以，整理得：‎ 又，为单位向量，‎ 所以.‎ 设与的夹角，则 所以与的夹角是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.‎ ‎15．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则B= ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.‎ ‎【详解】‎ 根据题意, ‎ 由正弦定理可得 则 所以答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。‎ ‎16．设在的内部，且，的面积与的面积之比为______．‎ ‎【答案】1:3‎ ‎【解析】记,，可得：为的重心，利用比例关系可得：，,，结合：即可得解.‎ ‎【详解】‎ 记,‎ 则 则为的重心，如下图 由三角形面积公式可得：，,‎ 又为的重心，‎ 所以，‎ 所以 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形重心的向量结论，还考查了转化能力及三角形面积比例计算，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．如下图，长方体中，，，点是棱上一点.‎ ‎（1）当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积.‎ ‎（2）当点在上移动时，是否始终有，证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（ I）三棱锥的体积不变，‎ ‎.‎ ‎（ II）当点在上移动时，始终有，‎ 证明：连接，∵四边形是正方形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴．‎ 又，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴．‎ ‎18．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.‎ ‎（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；‎ ‎（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；‎ ‎（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.‎ ‎【答案】(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) ；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析 ‎【解析】（1）设有名男同学，利用抽样比列方程即可得解 ‎（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可 ‎（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解 ‎【详解】‎ ‎（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人 ‎（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，‎ ‎∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 ‎（3），‎ ‎，‎ 因，所以第二位同学的实验更稳定.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据的平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题 ‎19．如图，在中，点在边上，，，.‎ ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）若的面积是，求的值.‎ ‎【答案】(1)2；(2) ‎ ‎【解析】（1）设，利用余弦定理列方程可得：，解方程即可 ‎（2）利用（1）中结果即可判断为等边三角形，即可求得中 边上的高为，再利用的面积是即可求得：，结合余弦定理可得：，再利用正弦定理可得：，问题得解 ‎【详解】‎ ‎（1）在中，设，则，‎ 由余弦定理得：‎ 即：‎ 解之得：，即边的长为2.‎ ‎（2）由（1）得为等边三角形，作于， ‎ 则 ‎∴，故 在中，由余弦定理得：‎ ‎∴在中，由正弦定理得：，即：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了三角形面积公式的应用及计算能力，属于中档题 ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若关于的不等式的解集是，求，的值；‎ ‎（2）设关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ，.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先根据不等式解集与对应方程根的关系得x2-（a+1）x+1=0的两个实数根为m、2，再利用韦达定理得结果.（2）当A∩B=时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立，再利用变量分离法得a+1＜x+的最小值，最后根据基本不等式求最值，即得结果.‎ 详解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，‎ ‎∴对应方程x2-（a+1）x+1=0的两个实数根为m、2，‎ 由根与系数的关系，得，解得a=，m=；‎ ‎（2）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是A，‎ 集合B={x|0≤x≤1}，当A∩B=时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立；‎ 即x∈时，x2-（a+1）x+1＞0恒成立，‎ ‎∴a+1＜x+对于x∈（0，1]恒成立（当时，1>0恒成立）；‎ ‎∵当x∈（0，1]时，‎ ‎∴a+1＜2，即a＜1，∴实数a的取值范围是．‎ 点睛：一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.‎ ‎21．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．‎ ‎（1）求证：AE∥平面BCD；‎ ‎（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】试题分析：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，证明AE∥DM，通过直线与平面平行的判定定理证明AE∥平面BCD．‎ ‎（2）证明DE∥AM，DE⊥CD．利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面BDE．然后证明平面BDE⊥平面CDE．‎ 证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，‎ 因为BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，‎ 所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC， ‎ 又因为平面BCD⊥平面ABC，‎ 所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，‎ 又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，‎ 所以AE∥平面BCD． ‎ ‎（2）由（1）已证AE∥DM，又AE=1，DM=1，‎ 所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM． ‎ 由（1）已证AM⊥BC，又因为平面BCD⊥平面ABC，‎ 所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．‎ 又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．‎ 因为BD⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE．‎ 因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE． ‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.‎ ‎(1)求证：三点共线； ‎ ‎(2)已知的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）证明过程见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）只需证得 即可。（2）由题意可求得 的解析式，利用换元法转换成 ，讨论 的单调性，可知其在上为单调减函数，得 可解得的值。‎ ‎（1）证明：三点共线.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 令，其对称轴方程为在上是减函数，‎ ‎。‎ 点睛：证明三点共线的方法有两种：一、求出其中两点所在直线方程，验证第三点满足直线方程即可；二、任取两点构造两个向量，证明两向量共线即可。在考试中经常采用第二种方法，便于计算。证明四点共线一般采用第一种方法。‎