数学文卷·2017届甘肃省高三第二次诊断考试（2017

数学文卷·2017届甘肃省高三第二次诊断考试（2017

‎2017年甘肃省第二次高考诊断考试 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、若集合，则集合 A． B． C． D．‎ ‎2、如图所示，向量所对应的复数分别为，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，‎ 部分统计数据如下表：‎ 经计算，则下列选项正确的是 A．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 ‎ B．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 ‎ C．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响 ‎ D．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 ‎4、已知，且角的终边在第三象限，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5、函数，则的值为 A．-1 B．-2 C．1 D．2‎ ‎6、如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图（用①②③④⑤⑥代表图形）‎ A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤‎ ‎7、设D为的所在平面内一点，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8、某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的 ‎ A．196 B．203 C．28 D．29‎ ‎9、已知函数满足一下两个条件：①任意，且时，；②对定义域内任意有，则符合条件的函数是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎10、已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且，则的外接圆的方程是 A． B． C． D．‎ ‎11、已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，所在截面圆的圆心在上，平面，若三棱锥的体积是，则球体的表面积是 A． B． C． D．‎ ‎12、将函数的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到的图象，若，且，则的最大值为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎13、数列中，若，则 ‎ ‎14、已知实数满足，则的最大值是 ‎15、已知抛物线上一点P到焦点的距离为4，则的面积为 ‎16、已知函数与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ ‎ 设数列是一个各项均为正数的等比数列，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎ （2）求数列的前n项和.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 甘肃省瓜州县自古就以生产“美瓜”面名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%~19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标的值平定蜜瓜的顶级，若，则为一级；若，则为二级；若 ‎，则为三级，今年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：‎ 种植地编号 A B C D E ‎ ‎ ‎ ‎ 种植地编号 F G H I J ‎ ‎ ‎（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；‎ ‎ （2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标至少有一个为4的概率.‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在中，，点分别在上，，沿将翻折起来，使得点A到P的位置，满足.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎ （2）若，点M在PC上，且，求三棱锥的体积.‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的顶点到直线的距离分别为.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎ （2）过圆上任意一点P作椭圆的两条切线PM和PN分别与圆交于点，‎ 求面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎ （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程 ‎ 已知直线为参数），曲线为参数）.‎ ‎（1）使判断与的位置关系；‎ ‎ （2）若把曲线上个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上一个动点，求它到直线的距离的最小值.‎ ‎23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 ‎ 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎ （2）对于实数，若，证明：.‎ ‎2017年甘肃省第二次高考诊断文科数学试题参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10. D 11. A 12.B ‎12.答案提示：由题可知，因为所以都为最大值，令，可得，又因为，可以取得，则的最大值=，答案为B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎16. 答案提示：‎ 直线过定点，由函数图像可知结果为：‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 解：（I）由题可知 ， ………………2分 则有，‎ 可得即； ……………… 6分 ‎（II）是一个以2为首项， 2为公比的等比数列，‎ 所以 ， ………………9分 利用分组求和可得. ………………12分 ‎18. 解：（I）计算10块种植地的综合指标，可得下表：‎ 编号 A B C D E F G H I J 综合指标 ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ 由上表可知：等级为三级的有A，H 2块，其频率为 , ……………3分 用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为三级的块数为. ……6分 ‎（II）由（I）可知：等级是一级的（）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，所有的可能结果为： ，，，， ，，，，，，共计10个； ……………10分 其中综合指标的有：D，F 2个，符合题意的可能结果为，，，,，,共7个，‎ 设“两块种植地的综合指标至少有一个为4”为事件M 所以概率为. ……………12分 ‎19. （I）证明：设 ‎∵ ∴ ………………4分 ‎， ………………6分 ‎（II）解：∵ ∴ ‎ ‎∵ ∴, ‎ ‎∴. ……………12分 ‎20.解：（I）由直线的方程知，直线与两坐标轴的夹角均为，‎ 故长轴端点到直线的距离为，短轴端点到直线的距离为 求得, ……………3分 所以C1的离心率. ……………5分 ‎（II）设点，则.‎ ‎（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则，，‎ 另一切线的斜率为0，从而.‎ 此时，. ……………6分 ‎（ⅱ）若切线的斜率均存在，则，‎ 设过点的椭圆的切线方程为，‎ 代入椭圆方程，消并整理得：.‎ 依题意，得.‎ 设切线的斜率分别为，从而，………8分 即，线段为圆的直径，.‎ 所以，‎ 当且仅当时，取最大值4.‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）可得：取最大值4. ……………12分 ‎21.解：（I）， ………………………2分 ‎∴时，，∴函数f(x)在上是增函数； ‎ 时，，‎ ‎∴函数f(x)在上是减函数； …………………………5分 ‎（II）由题意等价于，整理得． ‎ 令，则， ‎ 令，， ‎ ‎∴g(x)在上单调递减， ‎ ‎∴，即， ……………10分 ‎ ∴，即在上单调递减， ‎ ‎∴，即． ………………………12分 ‎22. 解：（I）, ……………………… 2分 ‎ , 所以直线与曲线相离. ……………………… 5分 ‎（II）变化后的曲线方程是 设点 , ………7分 ‎ 则点到直线的距离是 ‎ 则最小距离是 . ………………10分 ‎23. 解：（I）解不等式 ‎①当时，原不等式可化为 可得所以 ‎②当时，原不等式可化为 可得 所以 ‎③当时，原不等式可化为 可得 所以 ‎ 由①②③可知，不等式的解集为 …………………5分 ‎（II） ‎ 当且仅当 时等号成立. …………………10分 也可用线性规划得出结论.‎