高考数学二轮重难点荟萃(4)

高考数学二轮重难点荟萃(4)

2014 年高考数学二轮重难点荟萃（4） 重难点四 三角函数 新解高考考试大纲高考 考纲新解 1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余 弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义； 2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式） 3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明． 4． 掌握正弦定理、余弦定理，运用它们解三角形 1. 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝ ， 2．诱导公式：规律：奇变偶不变，符号看象限 －α π－α π＋α 2π－α 2kπ＋α sin cos  2  2  2 3  2 3 sin cos sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．倍角公式 sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 类型一：求值 例 1. 已知 tan  =2,求下列各式的值： （1）   cos9sin4 cos3sin2   ; （2） 4sin2  -3sin  cos  -5cos2  . 变式训练 1. 已知－ 02  x ，sin x＋cos x＝ 5 1 ． 典型例题 三角公式 主编：章晓峰（高考教研组组长） 副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师） 编委会成员：（排名不分先后） 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 （1）求 sin x－cos x 的值．（2）求 x xx tan1 sin22sin 2   的值． 类型二：化简 例 2. 化简： 140cos40cos2 )40cos21(40sin 2   变式训练 2.化简［2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)］· 80sin2 2 类型三：角的变换 例 3. 已知 α ( 4  ， 4 3  )，β (0， 4  ),cos (α－ 4  )＝ 5 3 ，sin( 4 3  ＋β)＝ 13 5 ，求 sin(α＋β)的值． 变式训练 3：设 cos（ － 2  ）=－ 9 1 ，sin（ 2  －β）= 3 2 ，且 2 π ＜ ＜π，0＜β＜ ， 求 cos（ +β）. 类型四：求解析式 例 4：已知函数  baxxaxaxf  2cossin322cos 的定义域为     20 ， ，值域为 [ － 5，1 ]，则常数 a、b 的值分别是 ． 变式训练 4： 如图为 y=Asin(  x+  )的图象的一段，求其解析式. 类型五：求最值 例 5：设函数 axxxxf   cossincos3)( 2 （其中 ω>0，a∈R），且 f(x)的图象在 y 轴右侧的 第一个最高点的横坐标为 6  ． （1）求 ω 的值； （2）如果 )(xf 在区间 ]6 5,3[ x 的最小值为 3 ，求 a 的值． 变式训练 5：求下列函数的值域： （1）y= x xx cos1 sin2sin  ; （2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos )3( x +2cosx. 类型六：求单调区间 例 6：已知函数 f(x)＝ )0,0)(cos()sin(3   πxx 为偶函数，且函数 y＝ f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .2 π （Ⅰ）求 f（ 8 π ）的值； （Ⅱ）将函数 y＝f(x)的图象向右平移 6 π 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原 来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间. 变式训练 6： 已知函数 22()sin3sincos2cos,.fxx xxxxR   （I）求函数 ()fx的最小正周期和单调增区间； （II）函数 的图象可以由函数 sin2( )y xxR的图象经过怎样的变换得到？ 类型七：三角与不等式 例 7：设 ABC△ 的内角 A B C，，所对的边长分别为 a b c，，，且 3cos cos 5a B b A c． （Ⅰ）求 tancotAB的值；（Ⅱ）求 tan( )AB 的最大值． 变式训练 7：（Ⅰ）在 ABC 中，已知 ,sin2 3 2cossin2cossin 22 BACCA  （1）求证： cba ,, 成等差数列；（2）求角 B 的取值范围. 类型八：三角应用题 例 8：某观测站 C 在城 A 的南 20˚西的方向上，由 A 城出发有一条公路，走向是南 40˚东，在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去，走了 20 千米后，到达 D 处， 此时 C、D 间距离为 21 千米，问这人还需走多少千米到达 A 城？ 变式训练 8：如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处．AB ＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与 A，B 等距 的 O 点建污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为 ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设 BAD （rad），将 y 表示成 的函数； （ii）设OP x （km），将 表示成 x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂 O 的位置，使三条污水管道的总 长度最短． A B C D O P 三角函数章节测试题 一、选择题 1． 若 f(sinx)＝3－cos2x，则 f(cosx)＝ （ ） A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 2． 设 a>0，对于函数 )0(sin sin)(  xx axxf ，下列结论正确的是 （ ） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 3． 函数 f(x)＝ x x cos 2cos1 （ ） A．在[0， 2  ]、      ,2 上递增，在      2 3,  、      2,2 3 上递减 B．      20 ， 、     2 3 ， 上递增，在 、      22 3 ， 上递减 C．在       ， 2 、      22 3 ， 上递增，在 、 上递减 D．在      2 3,  、 上递增，在 、 上递减 4． y＝sin(x－ 12  )·cos(x－ 12  )，正确的是 （ ） A．T＝2π，对称中心为( ，0) B．T＝π，对称中心为( ，0) C．T＝2π，对称中心为( 6  ，0) D．T＝π，对称中心为( 6  ，0) 5． 把曲线 y cosx＋2y－1＝0 先沿 x 轴向右平移 ，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，得到的曲线 方程为 （ ） A．(1－y)sinx＋2y－3＝0 B．(y－1)sinx＋2y－3＝0 C．(y＋1)sinx＋2y＋1＝0 D．－(y＋1)sinx＋2y＋1＝0 6．已知，函数 y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线 y＝2 的交点的横坐标为 x1， x2，若| x1－x2|的最小值为 π，则 （ ） A．ω＝2，θ＝ B．ω＝ 2 1 ，θ＝ C．ω＝ 2 1 ，θ＝ 4  D．ω＝2，θ＝ 4  二、填空题 7． 已 sin( 4  －x)＝ 5 3 ，则 sin2x 的值为 。 8． ]2,0[,sin2sin)(  xxxxf 与 y＝k 有且仅有两个不同交点，则 k 的取值范围是 ． 9．已知   sin1 cot2 2   ＝1，则(1＋sinθ)(2＋cosθ)＝ 。 10．平移 f (x)＝sin(ωx＋  )(ω>0，－ 2  < < )，给出下列 4 个论断： ⑴ 图象关于 x＝ 12  对称 ⑵图象关于点( 3  ，0)对称 ⑶ 周期是 π ⑷ 在[－ 6  ，0]上是增函数 以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题： (1) ．(2) ． 三、解答题 11．已知 2 1)4tan(  ，（ 1）求 tan 的值；（2）求   2 22 cos1 cossin   的值． 12. 已知 tan(α－β)＝ 2 1 ， tan β＝- 7 1 ，且 α、β∈（0，  ），求 2α－β 的值. 13.已知函数 2 3cossin3)( 2  xxxcoxxf  ),( RxR 的最小正周期为 π 且图象关于 6 x 对 称； (1) 求 f(x)的解析式； (2) 若函数 y＝1－f(x)的图象与直线 y＝a 在 ]2,0[  上中有一个交点，求实数 a 的范围． 14．已知函数 )(xf ＝2cos2x＋2 3 sinx cosx＋1. (1) 若 x∈[0，π]时， ＝a 有两异根，求两根之和； (2) 函数 y＝ ，x∈[ 6  ， 6 7  ]的图象与直线 y＝4 围成图形的面积是多少？ 第 3 讲参考答案： 例 1. （1）原式= 1 924 322 9tan4 3tan2        .（2）1 变式训练 1. ( 1 ) － 5 7 ，( 2 ) － 175 24 例 2. 3 变式训练 2. 原式= .62 322  例 3. ∴sin(α＋β)＝－cos[ 2  ＋(α＋β)]＝－cos[(α－ 4  )＋(  4 3 )]＝ 65 56 变式训练 3：.∴cos 2   =cos［（  － 2  ）－（ 2  －β）］ 75 27 ∴cos（ +β）=2cos2 －1= 2 752 27   -1=－ 729 239 . 例 4：a、b 的值为      5 2 b a 或      1 2 b a 变式训练 4： 所求解析式为 y= 3 sin )3 22( x . 例 5：(1)  ＝ 2 1 (2) 由题设知－ ＋ 2 3 ＋a＝ 3 故 a＝ 2 13  变式训练 5：（1）函数值域为       4,2 1 .（2）令 t=sinx+cosx, 函数的值域为      2 12,1 . （3）y=3cosx- 3 sinx 函数值域为［-2 3 ，2 3 ］. 例 6：解：（Ⅰ） f(x)=2cos2x. .24cos2)8(  f （Ⅱ） g(x)的单调递减区间为      3 84,3 24  kk (k∈Z) 变式训练 6：（I） 2 .2T   ()fx 的单调增区间为 , , .36k k k Z   （II） 先把 sin2yx 图象上所有点向左平移 12  个单位长度，得到 sin(2 )6yx的图象， 再把所得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度，就得到 3sin(2 )62yx   的图象. 例 7：（Ⅰ）即sincos4cossinABAB ，则 tancot 4AB； （Ⅱ）由 得 tan4tan0AB 2 tantan3tan 3tan()1tantan14tancot4tan AB BAB AB BBB      ≤3 4 故当 1tan 2,tan 2AB时， tan( )AB 的最大值为 3 4 . 变式训练 7：（2） ,2 1 8 26 8 2)(3 2 )2( cos 22 222    ac acac ac acca ac caca B ∵B∈（0，π ），∴0＜B≤60°，∴角 B 的取值范围是 .3,0      例 8：解：根据题意得图 02，其中 BC=31 千米，BD=20 千米，CD=21 千米， ∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 高 考 资 在△CDB 中，由余弦定理得： 7 1 20212 312021 2cos 222222    BDCD BCBDCD ， 7 34cos1sin 2   ． 在△ACD 中，由正弦定理得： 1514 35 2 3 21 14 35 60sin 21sinsin  A CDAD ． 此人还得走 15 千米到达 A 城． 变式训练 8： （Ⅰ）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= (rad) ，则 10 cos cos AQOA , 故 10 cosOB  ，又 OP＝1010tan 10－10ta ， 所以 10101010tancoscosyOAOBOP    ， 所求函数关系式为 2010sin 10cosy   0 4  ②若 OP= x (km) ，则 OQ＝10－ x ，所以 OA =OB=  2 2210 10 20200x x x  所求函数关系式为  22 20200010yx x x x  （Ⅱ）选择函数模型①，     ' 22 10coscos2010sin102sin1 cos cos siny          令 'y  0 得 sin 1 2  ，因为0 4  ，所以 = 6  ， 当 0, 6    时， ' 0y  ， y 是 的减函数；当 ,64    时， ' 0y  ， 是 的增函数， 所以当 = 时， min 10103y  。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上 三角函数章节测试题参考答案 1．C 2. B 3. A 4. B 5.C 6.A 7. . 25 7 8. 1＜k＜3 9. 4 10. (1) ②③  ①④ (2) ①③  ②④ 11．解：(1) tan  ＝－ 3 1 (2) 1cos21 coscossin2 2cos1 cos2sin 2 22        ＝ 6 5 2 1tancos2 cossin2    12.2α－β＝－ 4 3  13.（1 )62sin(11)62sin()(   xxxf （2） 2 1 2 1  a 或 a＝1 14． )(xf ＝2sin(2x＋ 6  )＋2 由五点法作出 y＝ 的图象(略) (1) 由图表知：0＜a＜4，且 a≠3 当 0＜a＜3 时，x1＋x2＝ 3 4  当 3＜a＜4 时，x1＋x2＝ 3  (2) 由对称性知，面积为 2 1 ( 6 7  － )×4＝2π.