2017-2018学年山西省大同市第一中学高二上学期期中考试数学试题

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2017-2018学年山西省大同市第一中学高二上学期期 中考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且 只有一项符合题目要求. 1.圆 2 2 4 0x y x   的圆心坐标和半径分别是 A.  0,2 , 2 B.  2,0 , 4 C.  2,0 ,2 D.  2,0 , 2 2.设 ,a b是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. 若 // , ,a b     ，则 //a b B.若 // , ,a b     ，则 //a b C.若 , // , //a b a b  ，则   D.若 , ,a b a b    ，则   3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 2 2 3  B. 4 2 3  C. 2 32 3   D. 2 34 3   4.直线 2 1 3 0x my m    ，当m变化时，所有直线都过定点 A. 1 ,3 2      B. 1 ,3 2       C. 1 , 3 2      D. 1 , 3 2       5.若直线 : 3l y kx  与直线2 3 6 0x y   的交点位于第一象限，则直线 l的倾斜角的取 值范围是 A. , 6 3      B. , 6 2        C. , 3 2        D. , 6 2       6.正四面体 ABCD中，M 是棱 AD的中点，O是点 A在底面 BCD内的射影，则异面直线 BM 与 AO所成角的余弦值是 A. 2 6 B. 2 3 C. 2 4 D. 2 5 7.直线 3 2 0x y   截圆 2 2 4x y  所得的弦长为 A. 1 B. 2 3 C. 2 2 D.2 8.在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， P为棱 1AA 上一动点，Q为底 面 ABCD上一动点，M 是 PQ的中点，若点 ,P Q都运动时，点M 构成的点集是一个空间几 何体，则这个几何体是 A. 棱柱 B. 棱台 C.棱锥 D. 球的一部分 9.已知点  ,P x y 在直线 1 0x y   上运动，则    2 22 2x y   的最小值是 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 3 2 2 10.三棱锥的三组相对棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长分别 为 2, ,m n，其中 2 2 6m n  ，则该三棱锥体积的最大值为 A. 1 2 B. 8 3 27 C. 3 3 D. 2 3 11.若直线  2 2 0 , 0ax by a b    始终平分圆 2 2 4 2 8 0x y x y     的周长，则 1 2 a b  的最小值为 A. 1 B. 5 C. 4 2 D.3 2 2 12.在菱形 ABCD中， 2 3, 60AB A  ，将 ABD 沿BD折起到 PBD 的位置， 若二面角 P BD C  的大小为120，三棱锥 P BCD 的外接球球心为O，BD的中 点为E，则OE  A. 1 B. 2 C. 7 D.2 7 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13.已知两条直线 0x ky k   与  1y k x  平行，则 k的值为 . 14.在三棱锥中 P ABC ， 6, 3,PB AC G  为 PAC 的中心，过点G作三棱锥的一个截 面，使截面平行于直线PB和 AC，则截面的周长为 . 15.从原点 O 向圆 2 2 12 27 0x y x    作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度 为 . 16.已知圆 2 2: 4O x y  ，直线 :l x y m  ，若圆 O 上恰有 3个点到直线 l的距离为 1，则 实数m  . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分 10分） 如图 1，在 Rt ABC 中， 90 , ,C D E   分别为 ,AC AB A的中点，点 F 为线段CD上 的一点，将 ADE 沿DE折起到 1ADE 的位置，使 1A F CD ，如图 2. （1）求证： //DE 平面 1ACB； （2）求证： 1A F BE . 18.（本题满分 12分）已知点  1,A a ，圆 2 2 4.x y  （1）过点 A的圆的切线只有一条，求 a的值及切线方程； （2）若过点 A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3，求a的值. 19.（本题满分 12分）在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 190 , 2, 1BAC AB AC AA     , 点 ,M N分别为 1 1,A B BC的中点. （1）求证： //MN 平面 1 1A ACC ； （2）求三棱锥 1A MNC 的体积（锥体的体积公式 1 3 V Sh ，其中 S为底面面积， h为 高） 20.（本题满分 12分）已知圆 C的圆心在直线上 4y x  ，且与直线 1 0x y   相切于点  3, 2 .P  （1）求圆 C的方程； （2）是否存在过点  1,0N 的直线 l与圆 C交于 ,E F两点，且 OEF 的面积为 2 2（O 为坐标原点），若存在，求出直线 l的方程，若不存在，请说明理由. 21.（本题满分 12分） 已知三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 2AB AC AA   侧面 1 1ABB A 底面 ,ABC D是 BC 的中点， 1 160 , .B BA B D AB   （1）求证： AC 平面 1 1ABB A ； （2）求直线 1AC 与平面 ABC所成角的正弦值. 22.（本题满分 12分） 已知圆 C经过点    2,0 , 2,0A B ，且圆心C在直线 y x 上，又直线 : 1l y kx  与圆 C 交于 P,Q两点. （1）求圆 C的方程； （2）（文科）若 2OP OQ     ，求实数 k的值； （2）（理科）过点  0,1 作直线 1l l ，且 1l 交圆 C于 M,N两点，求四边形PMQN的面积的 最大值. 23.（仅实验班做）（本题满分 20分） 已知圆 C的半径为 2，圆心在 x轴的正半轴上，直线3 4 4 0x y   与圆 C相切. （1）求圆 C的方程； （2）过点  0, 3Q  的直线 l与圆C交于不同的两点    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，且当 1 2 1 2 3x x y y  时，求 AOB 的面积. 答案 一、选择题（每小题 5分，共 60分。） 1 、D 2 、C 3 、C 4 、D 5、B 6、B 7、 B 8、A 9、A 10、 D 11 、A 12、B 二、填空题（每小题 5分，共 20分） 13 -1 14、8 15、2 16、 三、解答题 17. (10分) （1）∵D，E分别为 AC，AB的中点， ∴DE∥BC， 又 DE?平面 A 1 CB， ∴DE∥平面 A 1 CB。 ------------------------------- 5分 （2）由已知得 AC⊥BC且 DE∥BC， ∴DE⊥AC， ∴DE⊥A 1 D， 又 DE⊥CD， ∴DE⊥平面 A 1 DC，而 A 1 F?平面 A 1 DC， ∴DE⊥A 1 F，又 A 1 F⊥CD， ∴A 1 F⊥平面 BCDE， ∴A 1 F⊥BE。 ------------------------------10分 18．(12分) 解：(1)由于过点 A的圆的切线只有一条，则点 A在圆上，故 12＋a2＝4，∴a＝±. 当 a＝时，A(1，)，切线方程为 x＋y－4＝0； 当 a＝－时，A(1，－)，切线方程为 x－y－4＝0， ∴a＝时，切线方程为 x＋y－4＝0， a＝－时，切线方程为 x－y－4＝0. -----------------------------------6分 (2)设直线方程为 x＋y＝b， 由于直线过点 A，∴1＋a＝b，a＝b－1. 又圆心到直线的距离 d＝ |b| 2 ， ∴( |b| 2 )2＋( 3 2)2＝4. ∴b＝±.∴a＝±－1. ----------------------------------12分 19.(12分) （Ⅰ） 连接 AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱， 所以 M为 AB′的中点，又因为 N为 B′C′中点，所以 MN∥AC′， 又 MN⊄平面 A′ACC′，AC′⊂平面 A′ACC′，所以 MN∥平面 A′ACC′；------6 分 （Ⅱ）连接 BN，则 V A′-MNC=V N-A′MC=12V N-A′BC=12V A′-NBC=16．解 法二，V A′-MNC=V A′-NBC-V M-NBC=12V A′-NBC=1/6．------------------------------------------------ -------------------------------------12分 20．(12分) （1）设圆心坐标为 ，则圆的方程为： ，又与 相切，则有 ，解得： ， ，所以圆的方程为： ； ----------------------------- 5分 （2）由题意得：当 存在时，设直线 ，设圆心到直线的距离为 ， 则有 ，进而可得： 化简得： ，无解； --------------------------------- 9分 当 不存在时， ，则圆心到直线的距离 ，那么 ， ，满足题意，所以直线 的方程为： . --------12分 21．(12分) （Ⅰ）取 中点 ，连接 ， 中， ，故 是等边三角形，∴ ， 又 ，而 与 相交于 ，∴ 面 ， 故 ，又 ，所以 ， 又∵侧面 底面 于 ， 在底面 内，∴ 面 . --------------------------------- 6分 （Ⅱ）过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ， 即为直线 与 平面 所成的角， 由（Ⅰ）知 ，侧面 底面 ，所以 平面 ，由等边 知 ， 又∵ 平面 ， ∴ ， 由（Ⅰ）知 面 ，所以 ， ∴四边形 是正方形， ∵ ，∴ ， ∴在 中， ， 所以直线 与平面 所成线面角的正弦值为 . --------- 12分 22、(12分) 解：（I）设圆心 C（a，a），半径为 r． 因为圆经过点 A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r， 所以 解得 a=0，r=2， 所以圆 C的方程是 x 2 +y 2 =4． --------------------------------------5分 （II）（文科）因为 ， 所以 ，∠POQ=120°， 所以圆心到直线 l：kx﹣y+1=0的距离 d=1， 又 ，所以 k=0。 ------------------------------------12分 （II）（理科）设圆心 O到直线 l，l 1 的距离分别为 d，d 1 ，四边形 PMQN的面 积为 S． 因为直线 l，l 1 都经过点（0，1），且 l⊥l 1 ，根据勾股定理，有 ， 又根据垂径定理和勾股定理得到， ， ------------------------ ------------9分 而 ，即 当且仅当 d 1 =d时，等号成立，所以 S的最大值为 7．-------------------------------12分 23.（实验班）解：（1）半径已知，所以只需确定圆心即可，设圆心 ， 因为直线 与圆相切，利用圆心到直线的距离 列式求 ；（2） 从 可以看出，这是韦达定理的特征，故把直线方程设为 ，与 （1）所求圆的方程联立，得关于 的一元二次方程，用含有 的代数式表示出 ，进而利用 列方程，求 ，然后用弦长公式求 ，用点到 直线的距离公式求高，面积可求. 试题解析：（I）设圆心为 ，则圆 C的方程为 因为圆 C与 相切 所以 解得： （舍） 所以圆 C的方程为： 4 分 （II）依题意：设直线 l的方程为： 由 得 ∵l与圆 C相交于不同两点 ∴ 又∵ ∴ 整理得： 解得 （舍） ∴直线 l的方程为： 8分 圆心 C到 l的距离 在△ABC中，|AB|= 原点 O到直线 l的距离，即△AOB底边 AB边上的高 ∴ 12分