陕西省汉中市2020届高三教学质量检测数学（文）试题

陕西省汉中市2020届高三教学质量检测数学（文）试题

汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试 文科数学 本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）‎ A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．‎ 考点：集合运算．‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 对应的点的坐标为在第二象限 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.‎ ‎3.若，则下列不等式中不成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到，然后逐项判断.A.根据绝对值的性质，有成立判断.B.由不等式乘法性质，有成立判断.C.由不等式乘法性质，有成立判断.D.取特殊值判断.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，即，故A正确，‎ 所以，即 ，故B正确 ，‎ 所以，即，故C正确，‎ 当时，，故D错误.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎4.总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5‎ 个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ‎7816 ‎ ‎6572 ‎ ‎0802 ‎ ‎6314 ‎ ‎0702 ‎ ‎4369 ‎ ‎9728 ‎ ‎0198 ‎ ‎3204 ‎ ‎9234 ‎ ‎4935 ‎ ‎8200 ‎ ‎3623 ‎ ‎4869 ‎ ‎6938 ‎ ‎7481 ‎ A. 08 B. ‎07 ‎C. 02 D. 01‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.‎ 考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.‎ ‎5.已知函数，则下列判断错误的是（ ）‎ A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 可得 对于A，的最小正周期为,故A正确；‎ 对于B，由，可得，故B正确；‎ 对于C，正弦函数对称轴可得：‎ 解得：，‎ 当，，故C正确；‎ 对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：‎ 解得：‎ 若图象关于点对称，则 解得：，故D错误；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知平面内一条直线l及平面，则“”是“”的（　　）‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立，‎ 当时，不一定成立，‎ 即“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.‎ ‎7.设 ,则(  )‎ A. 10 B. ‎11 ‎C. 12 D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．‎ ‎【详解】∵f（x），‎ ‎∴f（5）＝f[f（11）]‎ ‎＝f（9）＝f[f（15）]‎ ‎＝f（13）＝11．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．‎ ‎8.在直角中，，，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 在直角中，，，，， ， ‎ 若，则 ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎9.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令圆的半径为1，则，故选C．‎ ‎10.函数y=sin2x的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎11.若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线始终平分圆的圆周，则圆心在直线上，则有，再利用“‎1”‎的代换，转化为，然后利用基本不等式求解.‎ ‎【详解】圆的圆心是：，‎ 因为直线始终平分圆的圆周，‎ 所以圆心在直线上，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，取等号.‎ 所以的最小值为：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎12.对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：先解一元二次不等式得，再根据定义求结果.‎ 详解：因为，所以 因为，所以,‎ 选C 点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若双曲线的离心率为2，则________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 双曲线的离心率为2，‎ ‎∴ ‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎14.在中，内角的对边分别是，若，，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理：‎ 可得 根据余弦定理：‎ 由已知可得：‎ 故可联立方程：‎ 解得：.‎ 由 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎15.三棱锥中，底面，，底面中，边，则三棱锥外接球的体积等于___________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为外接圆圆心，为球心，由球的性质知平面；利用正弦定理可求得外接圆半径；根据四边形为矩形，得到，利用勾股定理构造方程组即可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.‎ ‎【详解】设为外接圆圆心，为三棱锥外接球球心，则平面 作，垂足为 由正弦定理可知外接圆直径： ‎ 平面，平面 ‎ 又， ‎ 四边形为矩形 ‎ 设，‎ 在和中，勾股定理可得：，解得：‎ 三棱锥外接球体积：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够根据球的性质，得到球心与底面外接圆圆心连线必垂直于底面，从而根据底面外接圆圆心的位置和外接圆半径确定球心的位置，并利用勾股定理构造出方程求得外接球半径.‎ ‎16.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.‎ 点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.设等差数列满足，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和及使得最小的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）；时，取得最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.‎ ‎（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，‎ 得 解得 数列的通项公式为 ‎（2）由（1）知 时，取得最小值.‎ ‎【点睛】本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，，，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知可得，，即可证明结论；‎ ‎（Ⅱ）底面，，根据已知条件求出梯形面积，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：因为底面，平面，‎ 所以.因为，，‎ 所以.又，‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，‎ 在中，，‎ ‎，‎ 又因为，则.‎ 又，，‎ 所以四边形为矩形，四边形为梯形.‎ 因为，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 于是四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，注意空间垂直之间的转化，考查椎体的体积，属于基础题.‎ ‎19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.‎ ‎（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；‎ ‎（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？‎ 是否做操 是否近视 不做操 做操 近视 ‎44‎ ‎32‎ 不近视 ‎6‎ ‎18‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）人（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率直方图可知第一组，第二组，第三组的人数，进而可知后三组的人数，再根据后三组的频数成等差数列，计算出后三组频数，得到5.0以上的频率即可.‎ ‎（2）根据列联表提供的数据，利用公式，计算出，再与表对比即可.‎ ‎【详解】（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，‎ 因为后三组的频数成等差数列，共有（人）‎ 所以后三组频数依次为24，21，18，‎ 所以视力在5.0以上的频率为0.18，‎ 故全年级视力在5.0以上的人数约为人 ‎（2），‎ 因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.‎ ‎【点睛】本题主要考查样本估计总体频率直方图和独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件 得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.‎ ‎（1），，‎ 又是等腰三角形，所以，‎ 把点代入椭圆方程，求得，‎ 所以椭圆方程；‎ ‎（2）由题易得直线、斜率均存在，‎ 又，所以，‎ 设直线代入椭圆方程，‎ 化简得，‎ 其一解为，另一解为，‎ 可求，‎ 用代入得，，‎ 为定值.‎ 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率 ‎21.已知函数，且其导函数的图像过原点.‎ ‎（1）若存在，使得，求的最大值；‎ ‎（2）当时，求函数的零点个数.‎ ‎【答案】（1）（2）函数共有三个零点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得到，根据得，从而有.将存在，使得，转化为有解，再利用基本不等式求解范围即可..‎ ‎（2）当时，根据当时，，当时，，当时，，得到的极大值是，的极小值是，然后再探究，，，的正负号即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以 由得，所以.‎ 因为存在，使得，‎ 所以上有解，‎ 而 所以，当且仅当时，取等号.‎ 所以的最大值为.‎ ‎（2）当时，令，得，‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 所以的极大值，的极小值 又，，‎ ‎.‎ 所以函数在区间，，内各有一个零点，‎ 故函数共有三个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的零点以及方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；‎ ‎（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.‎ ‎【答案】(1) .(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；‎ ‎（2）设两点对应的参数分别为，，将直线 的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.‎ ‎【详解】（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，‎ 又由，可得，即，‎ 所以曲线的普通方程为.‎ 由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即 直线的方程为，即.‎ ‎（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.‎ 化简得：，则.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数.当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时；（2）由 等价于 ‎，解之得.‎ 试题解析： （1）当时，.‎ 解不等式，得.‎ 因此，的解集为.‎ ‎（2）当时，，‎ 当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ①‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是.‎ 考点：不等式选讲.‎