2019-2020学年山西省高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．某商场在售的三类食品共200种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为40的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是( )‎ A．8 B．12 C．24 D．30‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据统计图中植物油类食品所占比例，直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由统计图可得，植物油类食品占，因此抽取的植物油类食品的种数是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形统计图的应用，会分析统计图即可，属于基础题型.‎ ‎3．已知，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分段函数解析式，直接计算函数值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，，‎ 因此.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数求值的问题，直接代入即可，属于基础题型.‎ ‎4．下列函数既是奇函数，又在上是减函数的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数奇偶性，以及幂函数的单调性，逐项判断，即可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ A选项，因为，且函数的定义域为，所以函数是偶函数，排除A；‎ B选项，因为且函数的定义域为，所以函数是奇函数；但，根据幂函数的单调性，可得，函数单调递增，排除B；‎ C选项，因为，所以显然是偶函数，排除C；‎ D选项，因为，所以是奇函数；又根据幂函数的单调性可得：在上单调递增，所以在上是减函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定函数解析式，熟记奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于基础题型.‎ ‎5．任取，则事件“”发生的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别解不等式，求出的范围，区间长度比即为所求概率.‎ ‎【详解】‎ 由得，解得：；其对应的区间长度为个单位；‎ 由得，解得：，其对应的区间长度为个单位；‎ 因此，所求概率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式，以及指数与对数不等式的解法即可，属于基础题型.‎ ‎6．若，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对数函数单调性，先比较的大小，确定大致范围；再根据指数函数的性质，确定，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是单调递减函数，，，，‎ 所以；‎ 又根据指数函数的性质可得：，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查比较对数与指数幂的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎7．函数的值域为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由二次函数的性质，求出内函数的值域，再由对数函数的性质，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 令，，‎ 因为是开口向上，对称轴为的二次函数，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ 因此，，即；‎ 又函数单调递增，‎ 所以时，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求对数型复合函数的值域，熟记对数函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎8．函数的图象大致为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数奇偶性的定义，先判断奇偶性，排除CD选项，再计算，排除A，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以函数的定义域为，‎ 又，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称；排除CD选项；‎ 又，排除A.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像的识别，熟记函数奇偶性，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.‎ ‎9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.这个问题用程序框图表示如下，若输入，则输出的结果为( )‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，逐步执行程序框图，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，初始值为：，；‎ 逐步执行框图如下：‎ 第一步：，，进入循环，计算；‎ 第二步：，，进入循环，计算；‎ 第三步：，，进入循环，计算；‎ 第四步：，，进入循环，计算；‎ 第五步：，， 结束循环，输出.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求循环结构框图的输出值，只需逐步执行框图即可，属于常考题型.‎ ‎10．如图是某电商2019年12月1日至12月16日的日销售量（单位：件）统计图，销量小于100称为该商品滞销，销量大于200称为该商品畅销，则下列关于该商品在这16天的销量的说法不正确的是( )‎ A．该商品出现过连续4天畅销 B．该商品畅销的频率为0.5‎ C．相邻两天该商品销量之差的最大值为195‎ D．该商品销量的平均数小于200‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据统计图，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A选项，由统计图可得，12月12号至12月15号四天销量都大于200，故A正确；‎ B选项，由统计图可得，16天内共有8天销量大于200，故畅销的频率为0.5，故B正确；‎ C选项，由统计图可得，12月7号与12月8号两天的销量只差最大，为，故C错；‎ D选项，由统计图可得：16天的总销量为 ‎，‎ 所以其平均数为，故D正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查折线图的应用，会分析折线图即可，属于常考题型.‎ ‎11．已知函数，则不等式的解集为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇偶性的概念，判断函数的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式.‎ ‎【详解】‎ 因为的定义域为，‎ 由可得，函数是奇函数；‎ 根据幂函数单调性可得，单调递增；所以函数是增函数；‎ 所以不等式可化为，‎ 因此，解得：.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.‎ ‎12．已知函数若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先画出函数的图像，令，将原方程化为，根据函数图像，得到关于的方程有两不等的实根，且两根分别介于和之间；再令，根据二次函数零点分布情况，即可列出不等式，求出结果.‎ ‎【详解】‎ 画出函数的图像如下： ‎ 令，则方程可化为方程，‎ 由图像可得：当时，函数与直线有个不同的交点；‎ 当时，函数与直线有个不同的交点；‎ 又关于的方程有五个不同的实数根，‎ 所以只需关于的方程有两不等的实根，且两根分别介于和 之间；‎ 令，‎ 则有，即，解得，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，熟记二次函数零点分布情况，灵活运用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 为使有意义，只需，‎ 解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.‎ ‎14．计算：______.‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】根据指数幂与根式的互化，由指数运算法则，以及对数运算法则，直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎15．成语“半斤八两”意思是一个半斤，一个八两，“半斤”是指用“十两秤”来称某种物体的重量，“八两”是指用“十六两秤”来称该物体的重量为八两，比喻彼此一样，不相上下.成语出自宋·无名氏《张协状元》戏文第28出：“两个半斤八两，各家归去不须嗔.”事实上“十六两秤”是我国古代曾经使用非常广泛的一种称重衡器，秤杆上一两一星，每斤共计16克星，分别代表北斗七星、南斗六星和福禄寿.买卖交易时，短1两“减福”，短2两“亏禄”，缺3两“折寿”，商家以“货真价实，童叟无欺”自律.“十六两秤”的计数采用的是十六进制，即“逢十六进一”，若用A表示10，那么转换为十进制为______.（用数字作答）‎ ‎【答案】2576‎ ‎【解析】根据进位制的转换公式，直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由其它进位制转换为十进制，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎16．已知函数是奇函数，且在上单调递减，则实数______；实数的取值范围用区间表示为______.‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】先由奇函数的性质，得到，求出；再由二次函数的单调性，以及奇函数的性质，得到函数在区间上单调递减，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是奇函数，‎ 所以，即，解得：；‎ 因此 根据二次函数的性质，可得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 又因为，所以由奇函数的性质可得：函数在区间上单调递减；‎ 因为函数在上单调递减，‎ 所以只需： ，即，解得.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及函数在某区间的单调性求参数的问题，熟记分段函数的性质，以及奇函数的性质即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．设.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)指出函数的单调区间（不必证明）.‎ ‎【答案】(1)；(2)的单调增区间是，单调减区间是.‎ ‎【解析】（1）根据换元法，令，即可结合已知条件求出结果；‎ ‎（2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令，即，‎ 代入，可得，‎ 所以 ‎(2)因为，根据指数函数单调性，可得：‎ 函数的单调增区间是，单调减区间是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数解析式，以及求指数型函数的单调区间，灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.‎ ‎18．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：‎ 红灯个数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6个及6个以上 概率 ‎0.02‎ ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.03‎ ‎(1)求表中字母的值；‎ ‎(2)求至少遇到4个红灯的概率；‎ ‎(3)求至多遇到5个红灯的概率.‎ ‎【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.‎ ‎【解析】（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出的值；‎ ‎（2）根据互斥事件的概率计算公式，由题中数据，即可求出结果；‎ ‎（3）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得，解得.‎ ‎(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以 ‎，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.‎ ‎(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式，以及概率的性质即可，属于常考题型.‎ ‎19．一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下表格.‎ 日期 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)画出散点图，并判断服装类商品的优惠金额与销售额是正相关还是负相关；‎ ‎(2)根据表中提供的数据，求出与的回归方程；‎ ‎(3)若2019年春节期间商场预定的服装类商品的优惠金额为10万元，估计该商场服装类商品的销售额.‎ 参考公式：‎ 参考数据：‎ ‎【答案】(1)散点图见解析，正相关；(2)；(3)万元.‎ ‎【解析】（1）根据题中数据，描点，即可得出散点图；从而可得相关性；‎ ‎（2）根据题中数据，求出，，根据最小二乘法求出与，即可得出回归直线方程；‎ ‎（3）根据（2）的结果，将代入，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)散点图如图所示.‎ 由图可知，服装类商品的优惠金额与销售额是正相关.‎ ‎(2)，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以线性回归方程为.‎ ‎(3)由(2)可知，当时，，即服装类商品的优惠金额为10万元时，该商场服装类商品的销售额约为万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绘制散点图，求回归直线方程，以及由回归直线方程进行预测，熟记最小二乘法求回归直线方程即可，属于常考题型.‎ ‎20．滨海市政府今年加大了招商引资的力度，吸引外资的数量明显增加.一外商计划在滨海市投资两个项目，总投资20亿元，其中甲项目的10年收益额（单位：亿元）与投资额（单位：亿元）满足，乙项目的10年收益额（单位：亿元）与投资额（单位：亿元）满足，并且每个项目至少要投资2亿元.设两个项目的10年收益额之和为.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)如何安排甲、乙两个项目的投资额，才能使这两个项目的10年收益额之和最大？‎ ‎【答案】(1)28亿元；(2)甲项目投资额为2亿元，乙项目投资额为18亿元时，这两个项目的10年收益额之和最大为80亿元.‎ ‎【解析】（1）根据题意，先得到甲乙两项目的投资额，进而可求出收益；‎ ‎（2）根据题意，列出函数关系式，得到，，再由二次函数的性质，即可得出最值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可知甲项目投资为10亿元，乙项目投资亿元，‎ 所以（亿元）.‎ ‎(2)由题意可知乙项目的投资额为，且解得，‎ 所以，，‎ 所以当时，的最大值为（亿元）.‎ 即甲项目投资额为2亿元，乙项目投资额为18亿元时，这两个项目的10年收益额之和最大，为80亿元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数模型的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎21．某企业对设备进行技术升级改造，为了检验改造效果，现从设备改造后生产的大量产品中抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，统计整理为如图所示的频率分布直方图：‎ ‎(1)估计该企业所生产产品的质量指标的平均数和中位数（中位数保留一位小数）；‎ ‎(2)若产品的质量指标在内，则该产品为残次品，生产并销售一件残次品该企业损失1万元；若产品的质量指标在范围内，则该产品为特优品，生产一件特优品该企业获利3万元.把样本中的残次品和特优品取出合并在一起，在从中任取2件产品进行销售，那么该企业收入为多少万元的可能性最大？‎ ‎【答案】(1)17.08，17.1；(2)2万元.‎ ‎【解析】（1）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值；由中位数两侧频率之和均为，根据题中数据，即可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得，在这100件产品中，残次品有2件，设为，特优品有4件，设为；用列举法，分别列举出“这6件产品中随机抽取2件”，“抽到2件残次品”，“抽到1件残次品”，“抽到2件特优品”对应的基本事件，基本事件个数比即为所求概率，比较概率大小，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由频率分布直方图可得估计平均数为：‎ ‎；‎ 设中位数为，则易知中位数，‎ 所以，解得，‎ 即产品的质量指标的中位数约为17.1.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知在这100件产品中，残次品有2件，设为，特优品有4件，设为.从这6件产品中随机抽取2件包含以下基本事件：‎ ‎，共15个基本事件.‎ 若抽到2件残次品，该企业损失2万元，即收入为万元，该事件包含1个基本事件，则概率为 若抽到1件残次品，1件特优品，该企业收入2万元，该事件包含8个基本事件：‎ 则概率为.‎ 若抽到2件特优品，该企业收入6万元，其概率为 综上可知，该企业收入2万元的可能性最大，为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查由频率分布直方图求平均数与中位数，以及计算古典概型的概率，熟记概率计算公式，以及平均数与中位数的求法即可，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数（为自然底数），且.‎ ‎(1)当时，对任意的，都有不等式，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若函数是上的减函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】（1）根据得，将原不等式化为，推出对任意的恒成立，求出的最大值，即可得出结果；‎ ‎（2）先由函数单调性的定义，判断函数在上是增函数，根据题意，得到在上恒大于0或恒小于0，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时，，因为，所以，‎ 所以不等式可化为，‎ 即对任意的恒成立，‎ 又在上单调递减，‎ 所以，‎ 因此只需，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎(2)设，且，‎ 所以 因为，且，所以 即 所以函数在上是增函数，‎ 若要使函数是上的减函数，‎ 则在上恒大于0或恒小于0，‎ 即或，‎ 所以或，‎ 又因为，所以或.‎ 综上，若函数是上的减函数，‎ 则的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查由不等式恒成立求参数，以及由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记函数单调性，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.‎