【数学】2019届一轮复习人教B版 圆锥曲线中的最值、范围问题学案
增分点 圆锥曲线中的最值、范围问题
最值问题
圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法
(1)两种类型
①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；
②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
(2)两种解法
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
[典例] (2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
(1)若ED―→＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF的面积的最大值．
[思路演示]
解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB的方程为x＋2y－2＝0.
设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1
0)，即k＝时，等号成立．
故四边形AEBF的面积的最大值为2.
[解题师说]
由于四边形AEBF中的四个顶点中，A，B为已知定点，E，F为直线y＝kx与椭圆的交点，其坐标一定与k有关，故四边形AEBF的面积可用直线y＝kx的斜率k表示，最后通过变形，利用基本不等式求最值．
[应用体验]
1．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t＞0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．
解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意可知，2b＝＝4，所以b＝2.
又c＝1，故a2＝b2＋c2＝5，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1.
设Q(x0，y0)，因为PM⊥QM，
所以|QM|＝＝
＝ .
若－4t≤－2, 即t≥，
当y0＝－2时，|QM|取得最大值，
|QM|max＝＝，解得t＝＜(舍去)．若－4t＞－2，即0＜t＜，
当y0＝－4t时，|QM|取最大值，且|QM|max＝＝，解得t＝.
综上可知，当t＝时，|QM|的最大值为.
范围问题
解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
[典例] (2018·合肥质检)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
[思路演示]
解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，
则椭圆E的方程为＋＝1.
由得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0，解得c2＝1，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M，
∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，
∴|PM|2＝.
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝.
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
则x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，
∴λ＝，
∵k2>，∴<λ<1.
综上可知，实数λ的取值范围是.
[解题师说]
在关系式λ|PM|2＝|PA|·|PB|中，P，M为已知定点，而A，B两点是动直线l与椭圆的交点，故λ与直线l的斜率有关，应考虑建立λ关于k的函数关系式求解．
[应用体验]
2．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E
上的点．以线段PF1为直径的圆经过F2，且9·＝1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．
解：(1)依题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.
∵椭圆E的离心率等于，
∴c＝a，b2＝a2－c2＝.
∵以线段PF1为直径的圆经过F2，
∴PF2⊥F1F2.
∴|PF2|＝.
∵9·＝1，∴9||2＝＝1.
由解得
∴椭圆E的方程为＋x2＝1.
(2)∵直线x＝－与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－相交，
∴直线l不可能与x轴垂直，
∴设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0.
∵直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，
即m2－k2－9<0.
则x1＋x2＝.
∵线段MN被直线2x＋1＝0平分，
∴2×＋1＝0，即＋1＝0.
由得2－(k2＋9)<0.
∵k2＋9>0，∴－1<0，
∴k2>3，解得k>或k<－.
∴直线l的倾斜角的取值范围为∪.
1．(2018·广东五校协作体诊断)若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且＝2，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
解：(1)由题意知，c＋＝3，
所以b＝c，a2＝2b2，
所以e＝＝ ＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y 2)，
直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)，
因为＝2，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，
即2y2＋y1＝0.①
由(1)知，a2＝2b2，所以椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.
由消去x，得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0，
所以y1＋y2＝.②
由①②知，y2＝－，y1＝.
因为S△AOB＝|y1|＋|y2|，
所以S△AOB＝3·＝3·≤3·＝，当且仅当|k|2＝2，
即k＝±时取等号，
此时直线l的方程为x＝y－1或x＝－y－1，
即x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
2.
(2018·惠州调研)如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|＞|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为BF1⊥x轴，所以点B，
由＝，解得
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)因为＝＝＝λ，所以＝(λ＞2)，
所以PM―→＝－PN―→.
由(1)可知P(0，－1)，设直线MN：y＝kx－1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y，
化简得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.
则(*)
又PM―→＝(x1，y1＋1)，PN―→＝(x2，y2＋1)，则x1＝－x2.
将x1＝－x2代入(*)可得，＝.
因为k＞，所以＝∈(1,4)，
则1＜＜4，且λ＞2，解得4＜λ＜4＋2，
所以实数λ的取值范围为(4,4＋2)．
3．(2018·广西三市第一次联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．
解：(1)∵椭圆C过点，∴＋＝1，①
∵椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点，∴a＝2c，
∵a2＝b2＋c2，∴b2＝a2，②
由①②得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋.
由消去x，并整理得4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，
∴y1＋y2＝－，
∴y0＝＝－，
∴x0＝my0＋＝，∴k＝＝.
①当m＝0时，k＝0；
②当m≠0时，k＝，
∵4m＋＝4|m|＋≥8，
∴0<|k|≤，∴－≤k≤且k≠0.
综合①②可知，直线MA的斜率k的取值范围是－，.
4．已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝·，且≤λ≤.
(1)求椭圆的方程；
(2)求k的取值范围；
(3)求△OAB的面积S的取值范围．
解：(1)由题意知2c＝2，所以c＝1.
因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b＝1，
故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，
所以原点O到直线l的距离为＝1，
即m2＝k2＋1.由
消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，由≤λ≤，得≤k2≤1，
即k的取值范围是∪.
(3)|AB|＝
＝ ，
由≤k2≤1，得≤|AB|≤.
设△OAB的AB边上的高为d，
则S＝|AB|d＝|AB|，
所以≤S≤，
即△OAB的面积S的取值范围是
