数学卷·2018届浙江省杭州市七校联考高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届浙江省杭州市七校联考高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎2．已知数列，…是这个数列的第（　　）项．‎ A．10 B．11 C．12 D．21‎ ‎3．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（　　）‎ A．8π B．6π C．4π D．π ‎4．若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎5．已知数列{an}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（　　）‎ A．6 B．9 C．25 D．31‎ ‎6．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（　　）‎ A．一定是异面 B．一定是相交直线 C．不可能是相交直线 D．不可能是平行直线 ‎7．下列结论成立的是（　　）‎ A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2‎ C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c ‎8．下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2‎ C．若a+b=1，则a2+b2≥ D．若a+b=1，则a2+b2≤‎ ‎9．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α C．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α ‎10．在等比数列{an}中，已知a4=3a3，则+++…+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎12．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（　　）‎ A． a3 B． a3 C． a3 D． a3‎ ‎14．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得aman=16a12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（　　）‎ A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值 C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 ‎16．设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2﹣4，﹣2+4] B．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）‎ C．[﹣2+4，+∞） D．（﹣∞，﹣]‎ ‎17．已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}（　　）‎ A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 ‎18．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．‎ ‎19．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为　　，表面积为　　．‎ ‎20．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则an　　，使Sn最大的序号n的值　　．‎ ‎21．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为　　；则xy的最小值为　　．‎ ‎22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎23．已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R ‎（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；‎ ‎（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．‎ ‎24．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：SB=SD；‎ ‎（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．‎ ‎25．各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）‎ ‎（1）求常数p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记bn=，求数列{bn}的前n项和T．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】可以先求出方程x（x﹣1）=0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；‎ ‎【解答】解：x（x﹣1）=0，可得x=1或0，‎ 不等式x（x﹣1）＞0，‎ 解得{x|x＞1或x＜0}，‎ 故选D ‎　‎ ‎2．已知数列，…是这个数列的第（　　）项．‎ A．10 B．11 C．12 D．21‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】可根据数列前几项找规律，求出数列的通项公式，再让数列的第n项等于，即可求出．‎ ‎【解答】解：根据数列前几项，可判断数列的通项公式为an=，假设为数列的第n项，则，‎ 解得，n=11‎ 故选B ‎　‎ ‎3．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（　　）‎ A．8π B．6π C．4π D．π ‎【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积．‎ ‎【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，‎ 故选C ‎　‎ ‎4．若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】根据题意、一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，‎ ‎∴方程mx+2=0的解是2，‎ 则2m+2=0，解得m=﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知数列{an}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（　　）‎ A．6 B．9 C．25 D．31‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】直接利用等差数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由首项a1=1，公差d=2，‎ 得a5=a1+4d=1+4×2=9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（　　）‎ A．一定是异面 B．一定是相交直线 C．不可能是相交直线 D．不可能是平行直线 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】直线b和c有可能在同一平面上，则相交；也有可能不在同一平面上，则异面；如果b∥c，则a∥b与已知矛盾．‎ ‎【解答】解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，‎ ‎∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，‎ 如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；‎ 如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．‎ 如果b∥c，则a∥b与已知a，b是异面直线矛盾；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．下列结论成立的是（　　）‎ A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2‎ C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】A．当c＜0时，不成立；‎ B．取a=﹣1，b=﹣2即可判断出；‎ C．由a＞b，c＜d，可得a﹣c＞b﹣d；‎ D．利用不等式的基本性质即可判断出．‎ ‎【解答】解：对于A．当c＜0时，不成立；‎ 对于B．取a=﹣1，b=﹣2，不成立；‎ 对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；‎ 对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2‎ C．若a+b=1，则a2+b2≥ D．若a+b=1，则a2+b2≤‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据基本不等即可求出判断．‎ ‎【解答】解：对于A：（a+1）（+1）=1+1+a+≥2+2=4，故A不正确，‎ 对于B，当0＜x＜1时，lnx+＜0，故B不正确，‎ ‎∵a+b=1，则a2+b2≥=，当且仅当a=b=，故C正确，D不正确，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α C．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在C中，a与b平行或异面；在D中，b与α相交、平行或b⊂α．‎ ‎【解答】解：由α为平面，a、b为两条不同的直线，知：‎ 在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；‎ 在B中，若a⊥α，a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；‎ 在C中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；‎ 在D中，若a∥α，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．在等比数列{an}中，已知a4=3a3，则+++…+=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a4=3a3，可得q=3，可得+++…+=q+q2+q3+…+qn，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵a4=3a3，‎ ‎∴q=3，‎ ‎∴+++…+=q+q2+q3+…+qn===．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1就是异面直线A1E与GF所成的角．‎ ‎【解答】解：由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，‎ ‎∵A1E∥B1G，‎ ‎∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角．‎ 连接FB1，‎ 在三角形FB1G中，AA1=AB=2，AD=1，‎ B1F==‎ B1G==，‎ FG==，‎ B1F2=B1G2+FG2．‎ ‎∴∠FGB1=90°，‎ 即异面直线A1E与GF所成的角为90°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，‎ 故锥体的高为，‎ 又∵锥体的体积为，‎ 故锥体的底面面积为2，‎ A中图形的面积为4，不满足要求；‎ B中图形的面积为π，不满足要求；‎ C中图形的面积为2，满足要求；‎ D中图形的面积为，不满足要求；‎ 故选：C ‎　‎ ‎13．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（　　）‎ A． a3 B． a3 C． a3 D． a3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形，我们根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：若一个四面体有五条棱长都等于a，‎ 则它必然有两个面为等边三角形，如下图 由图结合棱锥的体积公式，‎ 当这两个平面垂直时，底面积是定值，高最大，‎ 故该四面体的体积最大，‎ 此时棱锥的底面积S=×a2×sin60°=，‎ 棱锥的高h=，‎ 则该四面体的体积最大值为V=×a2×=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎14．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得aman=16a12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】应先从等比数列入手，利用通项公式求出公比q，然后代入到aman=16a12中，可得到关于m，n的关系式，再利用基本不等式的知识解决问题．‎ ‎【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，由a7=a6+2a5，得到a6q=a6+2，解得q=﹣1或q=2，‎ 因为{an}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=﹣1舍弃．‎ 所以，q=2‎ 因为aman=16a12，所以，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），‎ 所以≥，‎ 当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．‎ 故选A ‎　‎ ‎15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（　　）‎ A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值 C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】通过直线AC垂直平面平面BB1D1D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB1，AD1，判断A1C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．‎ ‎【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；‎ ‎∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；‎ ‎∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；‎ ‎∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA﹣BEF为定值．D正确；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎16．设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2﹣4，﹣2+4] B．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）‎ C．[﹣2+4，+∞） D．（﹣∞，﹣]‎ ‎【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．‎ ‎【分析】若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，‎ 则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立，‎ 由对勾函数的图象和性质，可得 y=x+，（x≥2）在x=2时，取最小值，‎ 故m≤﹣4=﹣，‎ 即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]，‎ 故选：D ‎　‎ ‎17．已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}（　　）‎ A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况．‎ ‎【解答】解：‎ 令，则t是区间（0，1]内的值，而=，‎ 所以当n=1，即t=1时，an取最大值，使最接近的n的值为数列{an}中的最小项，‎ 所以该数列既有最大项又有最小项．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎18．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意得：，，‎ 得．‎ ‎∴，‎ 令ab﹣1=m，则m＞0，‎ 所以．‎ 则的最小值为4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．‎ ‎19．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为　　，表面积为　　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，‎ 如图：‎ 其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，‎ AB=BC=，SA=SB=SC=2，‎ 底面△ABC的面积为：，‎ 后侧面△SAC的面积为：，‎ 左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，‎ 故底边上的高为： =，‎ 故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，‎ 故几何体的表面积：，‎ 几何体的体积V==，‎ 故答案为：，‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则an　=﹣2n+7　，使Sn最大的序号n的值　3　．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】设公差为d（d≠0），由条件、等差数列的通项公式、等比中项的性质列出方程组，求出首项和公差，再求出an；由等差数列的前n项和公式求出Sn，利用配方法化简后，由一元二次函数的性质求出取Sn最大值时对应的n．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，d≠0，‎ ‎∵a2=3，a4，a5，a8成等比数列，‎ ‎∴，‎ 又d≠0，解得a1=5，d=﹣2，‎ ‎∴an=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7；‎ ‎∴Sn==﹣n2+6n=﹣（n﹣3）2+9，‎ ‎∴当n=3时，Sn取到最大值为9，‎ 故答案为：=﹣2n+7；3．‎ ‎　‎ ‎21．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为　16　；则xy的最小值为　12　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x，y＞0，且 +=1，‎ ‎∴x+3y=（x+3y）（ +）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y取等号．‎ 因此x+3y的最小值为16．‎ ‎∵x＞0，y＞0，且+=1，‎ ‎∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．‎ 则xy的最小值为12．‎ 故答案为：16，12‎ ‎　‎ ‎22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是　[]．　．‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．‎ ‎【解答】解：如下图所示：‎ 分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，‎ ‎∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，‎ ‎∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，‎ ‎∴MN∥平面AEF；‎ ‎∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，‎ ‎∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，‎ ‎∴A1N∥平面AEF，‎ 又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，‎ ‎∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，‎ 则P必在线段MN上，‎ 在Rt△A1B1M中，A1M===，‎ 同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，‎ ‎∴△A1MN为等腰三角形，‎ 当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，‎ A1O===，‎ A1M=A1N=，‎ 所以线段A1P长度的取值范围是[]．‎ 故答案为：[]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎23．已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R ‎（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；‎ ‎（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）若a=1，不等式f（x）≥1可化为：x2+x﹣1≥1，即x2+x﹣2≥0，解得答案；‎ ‎（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，分类讨论可得不同情况下不等式的解集．‎ ‎【解答】解：（1）若a=1，不等式f（x）≥1可化为：x2+x﹣1≥1，即x2+x﹣2≥0，‎ 解得：x∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），‎ ‎（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，‎ 当﹣＜1，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，1）；‎ 当﹣=1，即a=﹣时，不等式的解集为∅；‎ 当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（1，﹣）．‎ ‎　‎ ‎24．如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：SB=SD；‎ ‎（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据线面垂直以及线段的垂直平分线的性质证明即可；‎ ‎（Ⅱ）由线线平行面面平行从而推出线面平行即可．‎ ‎【解答】证明：如图示：‎ ‎（Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，‎ 又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，‎ 所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分线，所以SB=SD，‎ ‎（Ⅱ）取AB中点N，连接DM，MN，DN，‎ ‎∵M是SA的中点，∴MN∥BE，‎ ‎∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，‎ ‎∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，‎ 所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，‎ 故DM∥平面SBC．‎ ‎　‎ ‎25．各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）‎ ‎（1）求常数p的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记bn=，求数列{bn}的前n项和T．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）根据a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p，令n=1，解方程即可求得结果；‎ ‎（2）由2Sn=2an2+an﹣1，知2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），所以（an﹣an﹣1﹣1）（an+an﹣1）=0，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（3）根据求出数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p ‎∴2a1=2pa12+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1；‎ ‎（2）2Sn=2an2+an﹣1，①‎ ‎2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），②‎ ‎①﹣②即得（an﹣an﹣1﹣）（an+an﹣1）=0，‎ 因为an+an﹣1≠0，所以an﹣an﹣1﹣=0，‎ ‎∴‎ ‎（3）2Sn=2an2+an﹣1=2×，‎ ‎∴Sn=，‎ ‎∴=n•2n Tn=1×21+2×22+…+n•2n③‎ 又2Tn=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n2n+1 ④‎ ‎④﹣③Tn=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2‎ ‎∴Tn=（n﹣1）2n+1+2‎ ‎　‎