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文档介绍
2020届二轮复习空间向量与立体几何综合课时作业(全国通用)
第十三讲 空间向量与立体几何综合 A组 一、 选择题 1、已知是非零向量,若向量是平面的一个法向量,则“”是“向量所在的直线平行于平面”的( )条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 答案:B 2、已知向量,,且与互相垂直,则k的值是( ) A.1 B. C. D. 【解析】 D 与互相垂直, 解得,故选D. 3、在空间直角坐标系中,平面的法向量为, 已知,则P到平面的距离等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】B 因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离,所以 4、如图,空间四边形中,,分别是,的中点,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析: 如图所示,连结,则由是的中点 可得,又,故 二、填空题 5、若,,则为邻边的平行四边形的面积为 . 【答案】 【解析】 因为,所以,故所求的平行四边形的面积为. 6、如图,已知正方体棱长为4,点在棱上,且,在侧面内作边长为1的正方形,是侧面内一动点,且点到平面距离等于线段的长,则当点运动时,的最小值是( ) A.21 B.22 C.23 D.25 【答案】B 【解析】在上取点,使得,则面,连结,则.在平面上,以所在直线为轴,以所在直线为轴,由题意可知,点轨迹为抛物线,其方程为,点坐标为,设,则(其中,当时,,故. 三、解答题 7.(2017年北京卷理)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4. (I)求证:M为PB的中点; (II)求二面角B-PD-A的大小; (III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【解析】(I)设交点为,连接. 因为平面,平面平面,所以. 因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点. (II)取的中点,连接,. 因为,所以. 又因为平面平面,且平面,所以平面. 因为平面,所以. 因为是正方形,所以. 如图建立空间直角坐标系,则,,, ,. 设平面的法向量为,则,即. 令,则,.于是. 平面的法向量为,所以. 由题知二面角为锐角,所以它的大小为. (III)由题意知,,. 设直线与平面所成角为,则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8.A P B C D 如图,在四棱锥P—ABCD中, ,,且四边形ABCD为菱形,,. (1)求证:; (2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。 【解析】(1)证:取AB边中点G,连接PG,DG,DB。 ∵ ∴ ………2分 又∵四边形ABCD为菱形且 ∴为等边三角形 ∴ A P B C D 又∵ ∴ 又∵ ∴ ………5分 (2)又∵,, G 且 ∴ G A P B C D x y z ∴以G为原点,GA,GD,GP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则 ∴G(0,0,0),,, ∴, ∵,且, ∴ ∴为的法向量,且 设为的法向量 令,则,且 ∴∴ 又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角,故所求二面角的平面角的余弦值为。 9、如图,在斜三棱柱中,点O是的中点,平面. 已知,. (1)求证:; (2)求与平面所成角的正弦值. 【解析】建立如图所示空间直角坐标系O-xyz, 则,,,, (1),,, (2)设,设平面的一个法向量是,则, 令,得 与平面所成角的正弦值为. 10、如图,四边形中,,,,面,,且. (1)求证:面; (2)若二面角的大小为,求与面所成角的正弦值. 【解析】(1)证明:设交于,连接,在中,由余弦定理可得:. ∴,∴, ∵,∴∽. ∴,∴, 又,∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵面,面, ∴面. (2)∵面 ∴,, 分别以所在直线建立如图所示空间直角坐标系, 则,设,则 ∴,, 设平面的法向量为,则 ,即, 取,有 易知平面的一个法向量 ∴ 解得 ∴,易知面的一个法向量, ∴ ∴直线与面所成角的正弦为. 11、如图,已知边长为6的菱形与相交于,将菱形沿对角线折起,使. (1)若是的中点,求证:在三棱锥中,直线与平面平行; (2)求二面角的余弦值; (3)在三棱锥中,设点是上的一个动点,试确定点的位置,使得. 【解析】(1)证明:因为点是菱形的对角线的交点, 所以是的中点, 又点是棱的中点, 所以是的中位线,, 因为平面平面, 所以平面 (2)解:由题意可知,, 因为,所以, 又因为菱形,所以, 建立空间直角坐标系,如图所示, 则, 所以. 设平面的法向量为, 则有,即, 令,则,所以. 因为,所以平面, 平面的法向量与平行, 所以平面的一个法向量为, , 因为二面角的平面角是锐角 所以二面角的余弦值为 (3)解:设,因为是线段上的一个动点,设, 即, 所以, 则, 由,得:,即, 解得: 所以点的坐标为 12.(2017年全国1卷理)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且 (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值. 【解析】(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD. 又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面内做,垂足为, 由(1)可知,平面,故,可得平面. 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系. 由(1)及已知可得,,,. 所以,,,. 设是平面的法向量,则 ,即, 可取. 设是平面的法向量,则 ,即, 可取. 则, 所以二面角的余弦值为. B组 一、 选择题 1、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为 A. B. C.与相交不垂直 D. 【答案】D 【解析】 ,而点不在内,故 2、在正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图建系,设正方形棱长为2,则,, 则,,∵,即, 即异面直线与所成角为. 3、空间四边形中,,,,点在上,且,点为中点,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意 ;又 ,,,.故选B. 4、正四棱柱中,,则与平面所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,则,取,设与平面所成的角为,则 图3 二、填空题 5、如图3,在棱长为的正方体内(含正方体表面)任取一点,则的概率 . 【解析】由几何概型的计算公式得. 6、在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,,. 已知G与E分别为和的中点,D与F分别为线段和 上的动点(不包括端点). 若,则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【解析】 建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则( ),,,().所以,. 因为,所以,由此推出 .又, ,从而有 . 三、解答题 7、如图,在三棱柱中,已知,,,. (1)证明:; (2)若,求二面角的余弦值. 【解析】(1)连结,在中, ∵ ∴. 又,∴由勾股定理的逆定理,得为直角三角形. ∴. ∵,,, ∴平面. ∵平面 ∴ (2)在中,∵,,则由勾股定理的逆定理,得为直角三角形, ∴. 以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则,,,. 设平面的法向量为. 由. 令,则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为. 由. 令,则平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为,易知为锐角. ∴. 8、如图,四棱锥中,底面是平行四边形,且平面 ,,与底面所成角为. (I)证明:平面平面; (II)求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值. 【解析】(I) 底面是平行四边形,且, 又平面, ,面… 平面平面 (II)平面,与底面所成角为 在中, 在中, ,故 , 设与相交于点,取的中点,连结,则 平面,平面 以分别为轴方向建立空间直角坐标系,则 , , ,, 设平面的法向量 由 得 ,取 , 则 故平面的一个法向量为 由 得 ,取 ,则 平面的一个法向量 设平面与平面所成二面角为,且因为为锐角. ,即平面与平面所成二面角的余弦值为 9、如图,在空间几何体中,平面平面,与都是边长为2的等边三角形,,点在平面上的射影在的平分线上,已知和平面所成角为. (1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值. 【解析】证明:由题意知,与都是边长为2的等边三角形,取中点,连接,则.又∵平面平面,平面,作平面,那么,根据题意,点落在上,∵和平面所成角为,∴.∵,∴,∴四边形是平行四边形,∴.∵平面,平面,∴平面 (2)由已知,两两互相垂直,故以为轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,得. ∴,设平面的一个法向量为. ∵,∴.令∴取 又∵平面的一个法向量, ∴. 又由图知,所求二面角的平面角为锐角,∴二面角的余弦值. 10、如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,∥,,平面⊥底面,为的中点,是棱上的点,,,. (1)求证:平面⊥平面; (2)若二面角大小的为 ,求的长. 【解析】(1)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点, ∴四边形BCDQ为平行四边形, ∴CD // BQ (2分) ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴BQ⊥平面PAD.∵BQ平面MQB,∴平面MQB⊥平面PAD (5分) (2)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD. (6分) 如图,以Q为原点建立空间直角坐标系. 则,,,, 由 ,且,得 所以 又, ∴ 平面MBQ法向量为 由题意知平面BQC的法向量为 ∵二面角M-BQ-C为60° ∴,∴ ∴ (C组) 一、 选择题 1、在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A. B.且 C.且 D.且 【答案】D 【解析】 三棱锥在平面上的投影为,所以, 设在平面、平面上的投影分别为、,则在平面、上的投影分别为、,因为,,所以, 故选D. 2、已知棱长为2的正方体,是过顶点圆上的一点,为中点,则与面所成角余弦值的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,连结,交于点,过作的垂线交延长,交于,结合图形得与面所成角余弦值是与面所成角余弦值的最小值,过作的平行线交圆于,此时与面 所成角余弦值的取最大值,由此能求出与面所成角余弦值的取值范围. 3、如图,正方体中,是棱的中点,是侧面上的动点,且平面,则与平面所成角的正切值构成的集合是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则由题设,即,令,则,所以由平面,则,即,也即,所以.因平面的法向量为,故与平面所成角的正弦值,正切值,令,则,所以,即,所以应选D. 4、在正三棱锥中,底面边长,侧棱,,分别是线段,上的动点(可以和端点重合),则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】如下图所示,设,,,, ∴ ,∴当,时, ,当,或时,,即的取值范围是,故选A. 二、填空题 5、直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M、N分别是A1B1、M N A C B z x y C1 B1 A1 A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 【解析】 如图,分别以C1B1,C1A1,C1C为x,y,z轴,建立坐标系, 令CA=2,则A(0,2,2),B(2,0,2), M(1,1,0),N(0,1,0). ∴ =(-1,1,-2), =(0,-1,-2). cos===, 6、如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则的最大值为 . 【解答】:(求解对照)以A为坐标原点,AB为轴,AQ为轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方形的边长为2,则 设,其中, , ,令,则 当,即M在Q时,取最大值. 三、解答题 7、三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设,分别是线段,的中点,为线段上的点,且. (1) 证明:为线段的中点; (2) 求二面角的余弦值. 【解析】(1)由三棱锥及其侧视图、俯视图知,在三棱锥中: 平面平面,.设为的中点,连接,.于是,且,所以平面,进而. 因为,分别为线段,的中点,所以,又,于是. 假设不是线段的中点,则直线与直线是平面内相交直线,从而平面,这与矛盾.所以是线段的中点. (2)过作交于,因为,所以;又因为,所以即为二面角的平面角.连接,在中,,(其中),所以. 8、如图,矩形中,(),将其沿翻折,使点到达点的位置,且二面角的直二面角. (1)求证:平面平面; (2)设是的中点,二面角的平面角的大小为,当时,求的取值范围. 【解析】(Ⅰ)二面角为直二面角, 平面 平面 平面平面 (Ⅱ)解法1:如图,以为坐标原点,以长为一个单位长度, 建立如图空间直角坐标系, 则 则 设平面的法向量为 则,取,则 同理设平面的法向量为 解法2:过作于,过作于,连,则 则二面角的平面角为 为的中点 由,得 9、如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,为棱的中点. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值; (Ⅲ)若为中点,棱上是否存在一点,使得,若存在,求出的值,若不存在,说明理由. 【解析】(Ⅰ)证明:因为底面, 所以. 因为, z y x E B C D A P 所以. 由于, 所以有. …………………4分 (Ⅱ)解:依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图), 不妨设,可得,,, . 由为棱的中点,得. 向量,. 设为平面的法向量,则即. 不妨令,可得(1,1,1)为平面的一个法向量. 所以 . 所以,直线与平面所成角的正弦值为. (Ⅲ)解:向量,,. 由点在棱上,设. 故 . 由,得, 因此,,解得. 所以 . 10、如图1,在等腰梯形中,,,, 为中点,点分别为的中点.将沿折起到的位置,使得平面平面(如图2). (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值; (Ⅲ)侧棱上是否存在点,使得平面? 若存在,求出的值;若不 存在,请说明理由. 【解析】(Ⅰ)如图1,在等腰梯形中, 由,,,为中点, 所以为等边三角形.如图2, 因为为的中点,所以. 又因为平面平面, 且平面平面, 所以平面,所以. (Ⅱ)连结,由已知得,又为的中点, 所以. A1 xzX yzX zzX F O B C D E P 由(Ⅰ)知平面, 所以, 所以两两垂直. 以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系(如图). 因为,易知. 所以, 所以. 设平面的一个法向量为, 由 得 即 取,得. 设直线与平面所成角为, 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. (Ⅲ)假设在侧棱上存在点,使得平面. 设,. 因为, 所以. 易证四边形为菱形,且, 又由(Ⅰ)可知,,所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由,得. 所以侧棱上存在点,使得平面,且. 查看更多