2018-2019学年甘肃省兰州一中高二下学期期末考试数学（理）试题 word版
兰州一中2018-2019-2学期高二年级期末考试试题
数 学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是 ( )
A.30 B.42 C.36 D.35
2.不等式|x－5|＋|x＋3|≥6的解集是 ( )
A.[－5，7] B. (－∞，＋∞)
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D. [－4，6]
3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.的展开式中x4的系数为 ( )
A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
5.下列四个不等式：①logx10＋lgx≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.
某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图.
已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论错误的是( )
A.最低气温与最高气温为正相关
B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D.最低气温低于0 ℃的月份有4个
7.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
8.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是 ( )
A. B. C. D.
9.若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，则|2x＋3y＋1|的最大值是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)
ax－1.
(1)当a＝1时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为R，求a的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值为M.
(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2|m＋n|≤|4＋mn|；
(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值.
19.（本小题满分12分）
某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底
余额)，如下表1：
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
表2
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－)
20.（本小题满分12分）
甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.
(1)求ξ＝2的概率；
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.
21. (本小题满分12分)
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
22.（本小题满分12分）
环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
空气污染指数
(0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，300]
(300，＋∞)
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)若按分层抽样的方法，从空气质量等级为良与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；
(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
11
27
11
7
3
1
根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
空气质量优、良
空气质量污染
总计
限行前
限行后
总计
参考数据：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：，其中.
兰州一中2018-2019-2学期期末考试
高二理科数学试题参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
B
C
D
C
A
C
B
D
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
解：(1)令f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|，
则f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|＝
因为a＝1，所以当x≤－时，由－4x＋4>x－1，解得x≤－，
当－＜x≤时，由6＞x－1，解得－＜x≤，
当x＞时，由4x－4>x－1，解得x>.
综上得，所求不等式的解集为R. …………5分
(2)由(1)作函数f(x)的图象，点A，令y＝ax－1，则其过定点P(0，－1)，如图所示，由不等式|2x－5|＋|2x＋1|>ax－1的解集为R，可得
－4≤a＜，即－4≤a＜.所以，所求实数a的取值范围为.
…………10分
18．（本小题满分12分）
(1)证明 ∵f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，∴M＝2.
要证明2|m＋n|≤|4＋mn|，
只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，
∵4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，
∵m，n∈[－2，2]，∴m2，n2∈[0，4]，
∴(m2－4)(4－n2)≤0，
∴4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，
∴4(m＋n)2≤(4＋mn)2，可得2|m＋n|≤|4＋mn|. …………6分
(2)解:由(1)得，a＋2b＝2，
因为a，b∈(0，＋∞)，
所以＋＝(a＋2b)
＝≥＝4，
当且仅当a＝1，b＝时，等号成立.
所以＋的最小值为4. …………12分
19．（本小题满分12分）
解(1)＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55，
＝＝1.2， …………3分
＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，
所以＝1.2t－1.4. …………6分
(2)将t＝x－2 012，z＝y－5，代入＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即＝1.2x－2 410.8. …………9分
(3)因为＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元. …………12分
20．（本小题满分12分）
解(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，
故P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝ .…………4分
(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，则η～B. .…………5分
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
P(η＝1)＝C·×＝，
P(η＝2)＝C·×＝，
P(η＝3)＝C＝， .…………7分
∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1)
＝×＋×＋×＝， .…………9分
P(AB)＝P(ξ＝3)·P(η＝1)＝×＝， .…………10分
∴所求概率为P(B|A)＝＝＝. …………12分
21．(本小题满分12分)
解 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝.
应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
.…………3分
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. .…………4分
设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3.
P(η＝0)＝C＝；
P(η＝1)＝C＝；
P(η＝2)＝C＝；
P(η＝3)＝C＝.
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
η
0
1
2
3
P
.…………7分
E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(或因为η～B，所以E(η)＝3×＝2) .…………8分
(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(η)＝3××＝.
所以D(ξ)2.706，
所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. ………12分
