2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练38+空间图形的基本关系与公理

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练38+空间图形的基本关系与公理

课时分层训练(三十八)　‎ 空间图形的基本关系与公理 ‎ (对应学生用书第254页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是(　　)‎ A．①　　　 B．①④‎ C．②③ D．③④‎ A　[显然命题①正确．‎ 由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．‎ 命题③中，两个平面重合或相交，③错．‎ 三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．]‎ ‎2．(2018·秦皇岛模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)‎ A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 D　[∵mα，nα，且A∈m，A∈α，‎ ‎∴n在平面α内，m与平面α相交于点A，‎ ‎∴m和n异面或相交，一定不平行．]‎ ‎3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 D　[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．‎ 若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．‎ 因此l1与l4的位置关系不能确定．]‎ ‎4．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　) 【导学号：00090243】‎ A． B． C． D． B　[连接DF，则AE∥DF，‎ ‎∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．‎ 设正方体棱长为a，‎ 则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，‎ ‎∴cos∠D1FD＝＝.]‎ ‎5．(2018·泰安模拟)如图739，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是(　　)‎ 图739‎ A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，A1，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 D　[连结A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，‎ ‎∴三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，‎ ‎∴C1，M，O三点共线，‎ ‎∴选项A、B、C均正确，选项D错误．]‎ 二、填空题 ‎6. 如图7310所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：‎ 图7310‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线MN与AC所成的角为60°.‎ 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) ‎ ‎【导学号：00090244】‎ ‎③④　[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．‎ 因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]‎ ‎7. (2017·佛山模拟)如图7311所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中 ‎ 点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．‎ 图7311‎ ‎60°　[取A1C1 的中点E，连接B1E，ED，AE，‎ 在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，‎ 设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.]‎ ‎8．(2017·邵阳模拟)如图7312是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ 图7312‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎②③④　[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]‎ 三、解答题 ‎9. 如图7313所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中 ‎ 点．问：‎ 图7313‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 【导学号：00090245】‎ ‎[解]　(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC．‎ 因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1. 2分 又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，‎ 所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，‎ 所以A，M，N，C在同一平面内，‎ 故AM和CN不是异面直线. 5分 ‎(2)直线D1B和CC1是异面直线. 6分 理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，‎ 则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，‎ 所以D1，B，C，C1∈α， 10分 这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，‎ 即D1B和CC1是异面直线. 12分 ‎10．如图7314所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ 图7314‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 三棱锥PABC的体积为 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. 5分 ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角). 8分 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．下图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(　　) 【导学号：00090246】‎ D　[在A图中分别连接PS，QR，‎ 易证PS∥QR，所以P，Q，R，S共面；‎ 在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；‎ 在C图中分别连接PQ，RS，‎ 易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；‎ D图中PS与QR为异面直线，‎ 所以P，Q，R，S四点不共面．]‎ ‎2. 如图7315，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且 ‎ AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．‎ 图7315‎ 　[取DE的中点H，连接HF，GH.‎ ‎ 由题设，HF綊AD，‎ ‎∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．‎ 在△GHF中，可求HF＝，‎ GF＝GH＝，‎ ‎∴cos∠GFH＝＝.]‎ ‎3．已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．‎ ‎[解]　如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，‎ ‎ 则PM∥AB，且PM＝AB，‎ PN∥CD，且PN＝CD，‎ 所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)．‎ 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，‎ ‎①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．‎ 又因为AB＝CD，所以PM＝PN，‎ 则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，‎ 即AB和MN所成的角为60°.‎ ‎②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，‎ 所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.‎ 综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.‎