2018届高三数学一轮复习: 第4章 第2节 课时分层训练25

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2018届高三数学一轮复习: 第4章 第2节 课时分层训练25

课时分层训练(二十五) ‎ 平面向量的基本定理及坐标表示 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.如图422,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:‎ 图422‎ ‎①与;②与;③与;④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(  )‎ ‎ 【导学号:01772147】‎ A.①②  B.①③‎ C.①④  D.③④‎ B [①中,不共线;③中,不共线.]‎ ‎2.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(  )‎ A.-a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b B [设c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),‎ ‎∴∴∴c=a-b.]‎ ‎3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(  ) ‎ ‎【导学号:01772148】‎ A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 D [由题意可得c与d共线,则存在实数λ,使得c=λd,即解得k=-1.c=-a+b=-(a-b)=-d,故c与d反向.]‎ ‎4.如图423,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则 (  )‎ 图423‎ A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= A [由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.]‎ ‎5.(2015·广东茂名二模)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是(  )‎ A.24 B.8‎ C. D. B [∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,‎ 化简得2x+3y=3.又∵x,y均为正数,‎ ‎∴+=×(2x+3y)‎ ‎=≥×=8,‎ 当且仅当=时,等号成立,‎ ‎∴+的最小值是8,故选B.]‎ 二、填空题 ‎6.(2017·陕西质检(二))若向量a=(3,1),b=(7,-2),则a-b的单位向量的坐标是________.‎  [由题意得a-b=(-4,3),则|a-b|==5,则a-b的单位向量的坐标为.]‎ ‎7.(2017·广州综合测评(二))已知平面向量a与b的夹角为,a=(1,),|a-2b|=2,则|b|=________.‎ ‎2 [由题意得|a|==2,则|a-2b|2=|a|2-4|a||b|cos〈a,b〉+4|b|2=22-4×2cos |b|+4|b|2=12,解得|b|=2(负舍).]‎ ‎8.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是________. ‎ ‎【导学号:01772149】‎ m≠ [由题意得=(-3,1),=(2-m,1-m),若A,B,C能构成三角形,则,不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠.]‎ 三、解答题 ‎9.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b). ‎ ‎(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;‎ ‎(2)若=2,求点C的坐标.‎ ‎[解] (1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1).2分 ‎∵A,B,C三点共线,∴∥.‎ ‎∵2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.5分 ‎(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2).7分 ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5,-3).12分 ‎10.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).‎ ‎(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.‎ ‎[解] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),2分 所以解得5分 ‎(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),7分 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.(2016·四川高考)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(  )‎ A.      B. C. D. B [设BC的中点为O,以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-,0),C(,0),A(0,3).又||=1,∴点P的轨迹方程为x2+(y-3)2=1.由=知点M为PC的中点,设M点的坐标为(x,y),相应点P的坐标为(x0,y0),则 ‎∴∴(2x-)2+(2y-3)2=1,‎ 即2+2=,∴点M的轨迹是以H为圆心,r=为半径的圆,∴|BH|==3,∴||的最大值为3+r=3+=,∴||2的最大值为.]‎ ‎2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图424所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________. ‎ ‎【导学号:01772150】‎ 图424‎ ‎4 [以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),‎ 则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),‎ ‎∴a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).‎ ‎∵c=λa+μb,‎ ‎∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),‎ 即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,‎ 解得λ=-2,μ=-,∴=4.]‎ ‎3.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;‎ ‎(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.‎ ‎[解] (1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)‎ ‎=(4t2,2t1+4t2).2分 当点M在第二或第三象限时,有 故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.5分 ‎(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).7分 ‎∵=-=(4,4),‎ =-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,10分 ‎∴与共线,又有公共点A,∴A,B,M三点共线.12分
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