2015年高考数学（理科）真题分类汇编J单元　计数原理

2015年高考数学（理科）真题分类汇编J单元　计数原理

‎ 数 学 ‎ ‎ J单元　计数原理 ‎ J1　基本计数原理 J2　排列、组合 ‎12．J2[2015·广东卷] 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)‎ ‎12．1560　[解析] 根据题意知写了A＝40×39＝1560(条)．‎ ‎18．J2、K2、K6、K4[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎18．解：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意，A1与A2相互独立，A‎1A2与A‎1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A‎1A2，B2＝A‎1A2＋A‎1A2，C＝B1＋B2.‎ 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以 P(B1)＝P(A‎1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，‎ P(B2)＝P(A‎1A2＋A‎1A2)＝P(A‎1A2)＋P(A‎1A2)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)‎ ‎＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)‎ ‎＝×1－＋1－×＝.‎ 故所求概率P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B3，.‎ 于是P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝，‎ P(X＝2)＝C21＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为E(X)＝3×＝.‎ ‎6．J2[2015·四川卷] 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 ‎6．B　[解析] 由题意知，万位上排4时，有2×A个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A个，故共有5×A＝120(个)．‎ ‎22．J2、J3、K2(1)已知n为正整数，在(1＋x)2n与(1＋2x3)n展开式中x3项的系数相同，求n的值．‎ ‎(2)设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球．从袋中随机取出3个球，求取出的白球比红球多的概率．‎ 解：(1)(1＋x)2n中x3项的系数为C，(1＋2x3)n中x3项的系数为2n.‎ 由C＝2n，得＝2n，‎ 解得n＝2.‎ ‎(2)从袋中取出3个球，总的取法有C＝35(种)；‎ 其中白球比红球多的取法有C＋C·C＝13(种)．‎ 因此取出的白球比红球多的概率为.‎ J3　二项式定理 ‎11．J3[2015·安徽卷] 的展开式中x5的系数是________．(用数字填写答案)‎ ‎11．35　[解析] Tr＋1＝C(x3)7－r＝C·x21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，因此x5的系数为C＝35.‎ ‎9．J3[2015·广东卷] 在(－1)4的展开式中，x的系数为________．‎ ‎9．6　[解析] 展开式的通项Tr＋1＝C()4－r(－1)r(0≤r≤4)，令4－r＝2，得r＝2，所以x的系数是C＝6.‎ ‎3．J3[2015·湖北卷] 已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．212 B．211‎ C．210 D．29‎ ‎3．D　[解析] 因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选D.‎ ‎15．J3[2015·全国卷Ⅱ] (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.‎ ‎15．3　[解析] (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a ‎，第二个因式取Cx及Cx3；另一部分来自第一个因式取x，第二个因式取Cx0，Cx2及Cx4.所以系数之和为aC＋aC＋C＋C＋C＝‎8a＋8＝32，所以a＝3.‎ ‎10．J3[2015·全国卷Ⅰ] (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ ‎10．C　[解析] [(x2＋x)＋y]5的通项Tr＋1＝C(x2＋x)ry5－r，由题意取r＝3，得 T4＝C(x2＋x)3y2＝C(x＋1)3x3y2，记(x＋1)3的通项T′r′＋1＝Cxr′，‎ 由题意得r′＝2，所以x5y2的系数为C·C＝30.‎ ‎9．J3[2015·北京卷] 在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________．(用数字作答)‎ ‎9．40　[解析] 展开式的通项Tr＋1＝C25－rxr，令r＝3，得C25－3＝40.‎ ‎11．J3[2015·福建卷] (x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________．(用数字作答)‎ ‎11．80　[解析] (x＋2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r·2r(0≤r≤5，且r∈N)，令5－r＝2，得r＝3，所以x2的系数为C·23＝80.‎ ‎ J4 单元综合 ‎6．[2015·绵阳二诊] 某人从{W，X，Y，Z}中选2个不同的字母，从{0，2，6，8}中选3 个不同的数字编拟车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有(　　)‎ A．198个 B．180个 C．216个 D．234个 ‎ ‎6．A　[解析] 不选2时，有AA＝72(种)选法；选2，不选Z时，有CCAA＝72(种)选法；选2和Z时，若2在数字的中间，有ACC＝36(种)选法，若2在数字的第三位，有AA＝18(种)选法．根据分类计数原理，共有72＋72＋36＋18＝198(种)选法，故选A.‎ ‎4．[2015·衡水中学月考] 若(x2＋2)的展开式中x2的系数是250, 则实数m的值为 (　　)‎ A．±5 B．5 ‎ C．± D. ‎4．C　[解析] 的展开式的通项为Cx－2(5－r)·(－mx)r＝C(－m)rx3r－10，由3r－10＝2得r＝4，系数为C(－m)4＝‎5m4，所以2×‎5m4＝250，得m＝±.‎ ‎12．[2015·浙江重点中学协作体一模] 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有________种．‎ ‎12．26　[解析] 青蛙不能跳1次、2次或4次到达D点，故青蛙的跳法只有下列两种：‎ ‎(1)青蛙跳3次到达D点，有ABCD，AFED两种跳法；(2)青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D，只能到达B或F，则共有AFEF，ABAF，AFAF，ABCB，ABAB，AFAB这6种跳法，随后两次跳法各有四种，比如由F出发的有FEF，FED，FAF，FAB共四种，因此共有6×4＝24(种)跳法，故共有24＋2＝26(种)跳法．‎ ‎6．[2015·浙江重点中学协作体一模] 将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有(　　)‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ‎6．A　[解析] 展开式的通项为Tr＋1＝C·x(r＝0，1，2，…，n)，∴前三项的系数分别是1，，.∵前三项的系数成等差数列，∴2·＝1＋，∴n＝8.当n＝8时，Tr＋1＝C·x(r＝0，1，2，…，8)，故展开式中x的指数是整数的项共有3个．‎