2019-2020学年浙江省之江教育评价高二上学期期中数学联考试题（解析版）

2019-2020学年浙江省之江教育评价高二上学期期中数学联考试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省之江教育评价高二上学期期中数学联考试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接根据集合的补集与交集的定义，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ 根据集合补集的定义，由全集，集合，得，又由，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的补集和交集运算，属基础题.‎ ‎2．已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A．-2 B．-1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由平面向量共线的坐标表示，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ 根据平面向量共线的坐标表示，有，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.‎ ‎3．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为，，‎ ‎，可得．‎ 又，，解得．‎ 则．‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4．已知函数，则（ ）‎ A．2 B． C． D．-2‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，所以.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 综上，.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用分段函数求值的问题，属基础题.‎ ‎5．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎6．正三棱锥的侧棱长为2，高为1，则该正三棱锥的底面周长为（ ）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出正三棱锥的底面边长，利用正三棱锥的几何性质列方程，由此求得正三棱锥的底面边长，进而求得正三棱锥的底面周长.‎ ‎【详解】‎ 设正三棱锥的底面边长为，根据正三棱锥的几何性质可知在底面的射影为底面中心，为中点，三点共线，所以 ‎.在中由勾股定理得，即，解得.所以底面周长为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎7．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 ‎【答案】A ‎【解析】根据线线、线面、面面有关定理，对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，根据面面垂直的判定定理可知，A选项正确.‎ 对于B选项，直线可能平行，故B选项错误.‎ 对于C选项，直线可能异面，故C选项错误.‎ 对于D选项，可能相交，故D选项错误.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线线、线面、面面有关命题的真假性的判断，属于基础题.‎ ‎8．如图1，直线将矩形分为两个直角梯形和，将梯形 沿边翻折，如图2，在翻折过程中（平面和平面不重合），下列说法正确的是（ ）‎ A．存在某一位置，使得平面 B．存在某一位置，使得平面 C．存在某一位置，使得 D．在翻折过程中，恒有直线平面 ‎【答案】D ‎【解析】根据线线、线面、面面有关定理，对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，假设存在某一位置，使得平面，由于平面平面，根据线面平行的性质定理有，由图可知这与四边形是直角梯形矛盾，故A选项错误.‎ 对于B选项，假设存在某一位置，使得平面，则，由图可知这与四边形是直角梯形矛盾，故B选项错误.‎ 对于C选项，根据异面直线的知识可知，与是异面直线，故C选项错误.‎ 对于D选项，由于，所以平面平面，所以在翻折过程中，恒有直线平面.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线性、线面位置关系的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎9．如图，在等腰三角形与中，，平面平面，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，利用向量的夹角公式，计算出异面直线与夹角的余弦值，由此求得异面直线与所成的角.‎ ‎【详解】‎ 由于在等腰三角形与中，，平面平面，根据面面垂直的性质定理可知平面，平面，所以.依题意设，由于是等腰直角三角形斜边的中点，所以.设异面直线与所成的角为，则，由于，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.‎ ‎10．已知正四面体，点在线段上，且，二面角，，的平面角分别记为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正四面体的几何性质，比较的大小.根据正四面体的几何性质，比较的大小.由此得出，，的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由正四面体的几何性质可知二面角和二面角相等.由图可知，二面角比二面角大，即.‎ 由正四面体的几何性质可知二面角和二面角相等.由图可知，二面角比二面角小，即.‎ 综上所述，.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面角的大小比较，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的底面半径为______，体积为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设出圆柱的底面半径，根据截面面积列方程，求得底面半径和高，进而求得圆柱的体积.‎ ‎【详解】‎ 设圆柱底面半径为，由于圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，所以圆柱的高为，且，解得.则圆柱的体积为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆柱的体积计算，考查圆柱轴截面有关的计算，属于基础题.‎ ‎12．在中，已知，，，则______，的面积为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理得.由三角形的面积公式得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎13．某几何体的三视图如图所示（单位：），其正视图为等边三角形，则该几何体的体积为______，表面积为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据三视图判断出几何体的结构，由此计算出几何体的体积和表面积.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体是四分之三个圆锥，由于正视图是边长为的等边三角形，所以几何体的高为，母线长为.所以体积为，表面积为.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三视图还原为原图，考查组合体体积和表面积的计算，属于基础题.‎ ‎14．已知正数，满足，则的最小值为______，的最小值为______.‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】（1）由，得，结合，得，解不等式，即可得到本题答案；‎ ‎（2）巧用“1”，由，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，结合，得，即 ‎，解得，所以的最小值为4；‎ ‎（2）由题，得，所以的最小值为.‎ 故答案为：（1）4；（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值.‎ ‎15．已知数列的前项和，，则等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得数列的通项公式，判断出数列是等差数列并求得公差，由此求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 当时，当时，，当时上式也满足，所以数列的通项公式为，为等差数列，且公差为.所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知求，考查等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎16．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由三棱柱的体积为2，得，又由 ‎，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ 设BC的中点为D，的中点为，，‎ 由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，‎ 由三棱柱的体积为2，得，即，‎ 由题，得，‎ 所以，外接球表面积 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三棱柱的外接球与不等式的综合问题，数形结合是解决本题的关键.‎ ‎17．如图，棱长为1的正方体中，为的中点，为对角线上的动点，为棱上的动点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将三角形和三角形展开成平面图形，点到直线的距离，也即的最小值.‎ ‎【详解】‎ 将三角形和三角形展开成平面图形如下图所示.过作，交于，交于，则是的最小值.过作，交于.三角形和三角形是全等的直角三角形.设，则，所以.所以.所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线段和的最小值的求法，考查空间想象能力，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎18．如图，直三棱柱中，，，，，、分别为、的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）利用中位线和平行公理，证得，由此证得平面.‎ ‎（2）判断出是异面直线与所成的角，解三角形求得异面直线与所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于分别是,的中点，所以，又，则，由平面，平面，则平面.‎ ‎（2）由于，则为异面直线与所成的角，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）求函数在上的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】化简解析式.‎ ‎（1）根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调增区间；‎ ‎（2）根据三角函数值域的求法，求得函数在上的值域.‎ ‎【详解】‎ 依题意.‎ ‎（1）由，解得，所以的单调增区间为.‎ ‎（2）由于，所以，所以.所以在上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎20．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，平面平面且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）取中点，连接，则 ‎，根据面面垂直的性质定理，证得，结合，由此证得平面，由此证得.‎ ‎（2）作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，所以，又因为，则平面平面，则.‎ ‎（2）过作交于点，由（1）知，，所以平面，平面，则，所以为二面角的平面角.因为三角形为等边三角形，令，则，，则.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21．如图，平面平面，且为正方形，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）通过计算证明证得，结合面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，结合证得平面；‎ ‎（2）利用等体积法求得到平面的距离，进而求得线面角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，由余弦定理得，所以，所以.由于平面平面，且两个平面相交与，所以平面，所以，又因为，所以平面.‎ ‎（2）根据,，则，因为，设到平面的距离为，则，解得.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22．已知定义在上的函数.‎ ‎（1）当时，写出的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间；减区间；（2）.‎ ‎【解析】（1）当时，将写为分段函数的形式，由此求得的单调区间.‎ ‎（2）对分成三种情况进行分类讨论，结合分段函数的解析式、单调区间和根的分布，求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，所以的增区间为；减区间为.‎ ‎（2）当时，，所以在上都是单调函数，故在每个区间内各有一根.在内有一根，需满足，解得.在内有一根，需满足得.在内有一根，需满足.综上得.‎ 当时，，在上都是单调函数，故在每个区间内各有一根. 在，内各有一根，需满足，得.在内有一根，需满足，成立.‎ 综上得.‎ 当时，，此时只有两个单调区间，方程不可能有三个不同的根.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的性质，方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎