2019届二轮复习专题1

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第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 ‎1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.‎ ‎2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．‎ 知识梳理 ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎4.　集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：‎ ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件．‎ 典型例题 考点一　四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝‎4”‎的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A.“若x＝4，则x2－3x－4＝‎0”‎为真命题 B.“若x≠4，则x2－3x－4≠‎0”‎为真命题 C.“若x≠4，则x2－3x－4≠‎0”‎为假命题 D.“若x＝4，则x2－3x－4＝‎0”‎为假命题 ‎【答案】C ‎【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.‎ ‎(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 ‎【答案】B ‎【解析】 由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.‎ ‎ (3) [2017·郑州模拟]给出以下四个命题：‎ ‎①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；‎ ‎④若ab是正整数，则a，b都是正整数．‎ 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】　①③‎ 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．‎ ‎3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ ‎【变式训练1】‎ ‎ (1)[2017·宁夏银川]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝‎0”‎的逆否命题是(　　)‎ A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0‎ B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0‎ ‎【答案】D ‎【解析】　将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.‎ ‎（2）已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤‎1”‎，则下列结论正确的是(　　)‎ A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞‎1”‎，是真命题 B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 ‎【答案】D ‎（3）[2018·唐山检测]给出下列四个命题：‎ ‎①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；‎ ‎③“若a>b，则a2>b‎2”‎的逆否命题；‎ ‎④“若x≤－3，则x2－x－6>‎0”‎的否命题；‎ 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】　　①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝‎1”‎，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题；④“若x>－3，则x2－x－6≤‎0”‎，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．‎ 考点二　充分条件与必要条件的判定 ‎【例2】（1）“x(x－1)＝‎0”‎是“x＝‎1”‎的________条件．‎ ‎【答案】必要不充分条件．‎ ‎【解析】x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x(x－1)＝0.故“x(x－1)＝‎0”‎是“x＝1”的必要不充分条件．‎ ‎(2)[2015·安徽卷]设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的________条件．‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】因为p：x＜3，q：－1＜x＜3，所以q⇒p，但pq，所以p是q成立的必要不充分条件．‎ ‎（3)[2014·浙江卷]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．‎ ‎(4) [2016·四川高考]设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．‎ ‎（5)(2017·衡阳一模)“a＝‎1”‎是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B 规律方法　充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.‎ ‎(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠‎1”‎是“x≠1或y≠‎1”‎的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝‎1”‎是“xy＝‎1”‎的何种条件.‎ ‎【变式训练2】 (1)设x∈R，则“|x－2|<‎1”‎是“x2＋x－2>‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】　|x－2|<1⇔10⇔x>1或x<－2.‎ 由于{x|11或x<－2}的真子集，‎ 所以“|x－2|<‎1”‎是“x2＋x－2>‎0”‎的充分不必要条件．‎ ‎(2) 给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　A ‎【解析】因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pq，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件．‎ ‎（3）(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎（4）“a＝‎2”‎是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】 “a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．‎ ‎（5） (2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵<，∴－<θ－<，即0<θ<.‎ 显然0<θ<时，sin θ<成立．‎ 但sin θ<时，由周期函数的性质知0<θ<不一定成立．‎ 故0<θ<是sin θ<的充分而不必要条件．‎ 考点三　充分条件、必要条件的应用 ‎【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．‎ ‎【答案】[0,3]‎ ‎【题点发散1】　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎【答案】不存在 ‎【解析】若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴∴ 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎【题点发散2】　把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．‎ ‎【答案】m的取值范围是[9，＋∞)‎ ‎【解析】由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则解得m≥9，‎ 即所求m的取值范围是[9，＋∞)．‎ ‎．‎ 规律方法　根据充要条件求参数的取值范围 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将﹁p，﹁q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．‎ ‎【变式训练3】‎ ‎（1）已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)‎ ‎【答案】A ‎ (2)[2017·江西南昌模拟]已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　)‎ A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)‎ C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】　条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，‎ 又因为p是q的充分不必要条件，所以有解得m≥9.‎ ‎（3）已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0‎ B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0‎ D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤‎0”‎．故选D. ‎ ‎2．[2015·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β Dα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．‎ ‎3. [2018·广东六校联考] “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)‎ A．m> B．00 D．m>1‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－‎4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.‎ ‎4.(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】　x>yx>|y|(如x＝1，y＝－2).‎ 但x>|y|时，能有x>y.‎ ‎∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.‎ ‎5．[2018·江西模拟]若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝‎2”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B.‎ ‎6．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥‎0”‎是“|x－1|≤‎1”‎的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】∵2－x≥0，∴x≤2.‎ ‎∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.‎ ‎∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，‎ ‎∴“2－x≥‎0”‎是“|x－1|≤‎1”‎的必要而不充分条件．‎ ‎7．[2018·天津模拟]设x∈R，则“|x－2|<‎1”‎是“x2＋x－2>‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　A[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎【解析】|x－2|<1⇔－10⇔x<－2或x>1.由于(1,3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x－2|<‎1”‎是“x2＋x－2>‎0”‎的充分而不必要条件．‎ ‎8.已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】A ‎9．[2015·重庆卷]“x＞‎1”‎是“log(x＋2)＜‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解析】∵ x＞1⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴ x＞1是log(x＋2)＜0的充分而不必要条件．‎ ‎10．[2016·四川卷]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A．必要不充分条 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，故选A.‎