人教版高三数学总复习课时作业11

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人教版高三数学总复习课时作业11

课时作业11 函数与方程 一、选择题 ‎1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(  )‎ A.,0 B.-2,0‎ C. D.0‎ 解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.‎ 答案:D ‎2.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f·f<0,则方程f(x)=0在[-1,1]内(  )‎ A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析:由f(x)在[-1,1]上是增函数,且f·f<0,知f(x)在上有唯一零点,所以方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一实数根.‎ 答案:C ‎3.函数f(x)=-|x-5|+2x-1的零点所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ 解析:依题意得f(0)·f(1)>0,f(1)·f(2)>0,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)>0,故f(x)的零点所在区间是(2,3),故选C.‎ 答案:C ‎4.(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(  )‎ A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}‎ C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}‎ 解析:当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3x]=-x2-3x,易求得g(x)解析式g(x)=当x2-4x+3=0时,可求得x1=1,x2=3,当-x2-4x+3=0时可求得x3=-2-,x4=-2+(舍去),故g(x)的零点为1,3,-2-,故选D.‎ 答案:D ‎5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex-ax,若函数在R上有4个零点,则a的取值范围是(  )‎ A.(e,+∞) B.(-∞,e)‎ C.(0,+∞) D.(-∞,0)‎ 解析:当x=0时,f(0)=1,当x≥0时,f′(x)=ex-a,要使函数在R上有4个零点,必有a>0.令f′(x)=0得x=lna,所以当x∈(0,lna)时,f(x)为减函数,当x∈(lna,+∞)时,f(x)为增函数,只需f(lna)=elna-alna=a-alna<0,即a>e.所以a∈(e,+∞).‎ 答案:A ‎6.(2014·山东卷)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(  )‎ A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)‎ 解析:画出f(x)=|x-2|+1的图象如图所示.‎ 由数形结合知识,可知若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点.‎ 所以函数g(x)=kx的图象应介于直线y=x和y=x之间,所以k的取值范围是.‎ 答案:B 二、填空题 ‎7.函数f(x)=的零点个数为________.‎ 解析:法1:令f(x)=0,得或解得x=-3或x=e2,所以函数f(x)有两个零点.‎ 法2:画出函数f(x)的图象(图略)可得,图象与x轴有两个交点,则函数f(x)有两个零点.‎ 答案:2‎ ‎8.已知函数f(x)=-m|x|有三个零点,则实数m的取值范围为________.‎ 解析:‎ 函数f(x)有三个零点等价于方程=m|x|有且仅有三个实根.当m=0时,不合题意,舍去;当m≠0时,∵=m|x|⇔=|x|(x+2),作函数y=|x|(x+2)的图象,如图所示,由图象可知m应满足0<<1,解得m>1.‎ 答案:m>1‎ ‎9.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为________.‎ 解析:如图,当x∈[0,5]时,结合图象知f(x)与g(x)的图象共有5个交点,故在区间[-5,0]上共有5个交点;‎ 当x∈(0,10]时,结合图象知共有9个交点.‎ 故函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]上共有14个零点.‎ 答案:14‎ 三、解答题 ‎10.已知函数f(x)=x3-x2++.‎ 证明:存在x0∈,使f(x0)=x0.‎ 证明:令g(x)=f(x)-x.‎ ‎∵g(0)=,g=f-=-,‎ ‎∴g(0)·g<0,又函数g(x)在上连续,‎ ‎∴存在x0∈,使g(x0)=0,即f(x0)=x0.‎ ‎11.是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.‎ 解:∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)=92+>0,‎ ‎∴若存在实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.‎ f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,‎ 所以a≤-或a≥1.‎ 检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.‎ 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.‎ 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.‎ ‎②当f(3)=0时,a=-,‎ 此时f(x)=x2-x-.‎ 令f(x)=0,即x2-x-=0,‎ 解得x=-或x=3.‎ 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.‎ 综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞).‎ ‎1.方程log5x=|sinx|的解的个数为(  )‎ A.1 B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:函数y=log5x和y=|sinx|的图象的交点的个数即为方程解的个数,作出这两个函数的图象(如图),log5<1,=1,但当x>2π时,log5x>1,而|sinx|≤1,故两个函数图象有三个交点,即原方程有三个解.‎ 答案:B ‎2.已知定义在R上的函数f(x)满足:在[-1,1)上,f(x)=且f(x ‎+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(  )‎ A.-7 B.-6‎ C.-8 D.0‎ 解析:∵f(x)=,且f(x+2)=f(x),又g(x)==2+,∴g(x-2)-2=.可知当x≠2k-1,k∈Z时,函数f(x),g(x)的图象都关于(-2,2)对称.‎ 由图象可得:方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的实根有3个,设分别为x1,x2,x3,则可取x1=-3,x2满足-50.当x>0,a≥2时,函数y=f(x)与y=a|x|有一个交点;当x>0,01时,函数y=f(x)与y=a|x|有两个交点;当x<0,a=1时,函数y=f(x)与y=a|x|有三个交点;当x<0,00.‎ ‎∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.‎ ‎(2)∵g(x)=-4lnx=x--4lnx-2(x>0),‎ ‎∴g′(x)=1+-=.‎ 当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎(3,+∞)‎ g′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎  极大值  极小值  当0
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