2018届二轮复习 基本初等函数 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 基本初等函数 学案（ 江苏专用）

专题1：基本初等函数 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．已知函数f(x)＝，①若f(x)≥2，则x的取值范围为 ．②f(x)在区间[－1，3]的值域为 ．‎ 答案：①[－，＋∞)；②[2，4].‎ ‎2．①若f(x2＋1)＝x2，则f(x)＝ ．②已知f[f(x)]＝9＋4x，且f(x)是一次函数，则f(x)＝ ．‎ ‎③已知函数满足2f(x)＋f()＝x，则f(2)＝ ；f(x)＝ ．‎ 答案：①x－1(x≥1)；②2x＋3或－2x－9；③，x－．‎ ‎3．①若二次不等式f(x)＜0的解集为(1，2)，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，2)，则f(x)＝ ．‎ ‎②已知f(x)＝－x2＋2x－2，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，则h(t)＝ ．‎ 答案：①x2－x＋；②．‎ ‎4．①已知2≤()，则函数y＝()的值域为 ．‎ ‎②设loga＜2，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案：①[，81]；②(0，)∪(1，＋∞).‎ ‎5． ①lg25＋lg2lg50＝ ．②已知函数y＝log(x2－2x＋2)，则它的值域为 ．‎ ‎③已知函数y＝log(2－ax)在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案：①1；②(－∞，0]；③.‎ ‎6．①函数f(x)＝lgx－sinx零点的个数为 ．‎ ‎②函数f(x)＝2x＋x－4零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则k＝ ．‎ 答案：①3；②1.‎ 二、方法联想 ‎1．分段函数 方法：分段函数，分段处理．‎ 变式1. 设函数, .‎ 答案：9‎ ‎（分段函数求值）‎ 变式2.设函数f(x)=，若f(f(b))=-2，求实数b的值.‎ 答案：b=或-2.‎ ‎（已知函数值，求自变量的值）‎ 变式3.已知函数，，则方程实根的个数为 ‎ ‎ 答案：4‎ ‎（分段函数与方程）‎ ‎ 变式4.已知函数，若，则的取值范围是 .‎ 答案：[－2，0]‎ ‎（分段函数与不等式）‎ 变式5、已知函数，若关于的方程有8个 不同的实数根，则的取值范围是　　　　．‎ ‎ 答案：(0，3)‎ ‎ （分段函数与零点）‎ 变式6、设函数若,则函数的最小值为 .‎ ‎(去掉绝对值转化为分段函数问题,分段函数的最小值是每段函数的最小值的较小值)‎ ‎2．解析式求法 方法1 换元法、整体代换法；方法2 待定系数法；方法3 方程组法．‎ 变式1、若,则 .‎ 答案： ‎ ‎ (整体换元)‎ 变式2、若,则 . ‎ 答案：‎ ‎ (函数代换)‎ ‎3．二次函数 二次函数解析式求法 一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ 二次函数最值求法 求二次函数最值，根据其图像开口方向考虑对称轴与区间的相对位置关系，即左、中偏左、中偏右、右，再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍),本质是确定函数在相应区间上的单调性． ‎ 变式1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的顶点为(-1，10)，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的解析式.‎ 答案：f(x)=－2x2－4x+8‎ ‎（求二次函数解析式）‎ ‎ 变式2、函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式及g(a)的最大值.‎ ‎ 答案：，g(a)=‎ ‎ （分段讨论，求二次函数的最值）‎ ‎4．指数函数 ‎ (1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底．‎ ‎(2)与指数函数有关的值域问题，方法一：复合函数法，转化为利用指数函数的单调性；方法二：换元法．‎ 变式1、的定义域为,则实数的取值范围是 . ‎ 答案： ‎ ‎(关于的函数)‎ 变式2：若不等式3>对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.‎ 答案：[0，1).‎ ‎(解简单的指数不等式）‎ ‎5．对数函数 ‎(1)对数式化简可利用公式logbn＝logab将底数和真数均化成最简形式．‎ ‎(2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底．‎ ‎ 注意:定义域的限定(真数大于零).‎ 变式1、 已知函数,若,则 . ‎ 答案：‎ ‎ (利用图像确定范围)‎ 变式2、若函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R，则实数m的取值范围是　　　　.‎ 答案：m≤1.‎ ‎（对数函数的定义域与值域）‎ ‎6．零点问题 方法1 数形结合法；‎ 方法2 ‎ 连续函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反之不一定成立．‎ 二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上存在唯一一个零点． ‎ ‎ 变式1、判断函数f(x)=log2(x+2)-x在区间[1，3上是否存在零点.‎ 答案：存在 解答：方法一：因为f(1)=log23-1>log22-1=0，f(3)=log25-32x＋m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎(考查二次函数的解析式,不等式恒成立)‎ 解 (1)由f(0)＝1得，c＝1，‎ ‎∴f(x)＝ax2＋bx＋1.‎ 又f(x＋1)－f(x)＝2x ‎∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，‎ ‎∴∴.因此，f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．‎ ‎∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．‎ ‎14.已知函数f(x)＝－，常数a＞0.‎ ‎(1)设m·n＞0，证明：函数f(x)在[m，n]上单调递增；‎ ‎(2)设0＜m＜n且f(x)的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．‎ ‎(考查函数的单调性,方程解的分布)‎ ‎(1)证明　任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝·.‎ 因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，‎ 即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[m，n]上单调递增．‎ ‎(2)解　因为f(x)在[m，n]上单调递增，‎ f(x)的定义域、值域都是[m，n]⇔f(m)＝m，f(n)＝n，‎ 即m，n是方程－＝x的两个不等的正根 ‎⇔a2x2－(2a2＋a)x＋1＝0有两个不等的正根．‎ 所以Δ＝(2a2＋a)2－4a2＞0，＞0⇒a＞.‎ 即常数a的取值范围是.‎ ‎15.已知函数， 若，且对任意实数均有成立.‎ ‎(1)求的表达式；‎ ‎（2）当时，是单调函数，求的取值范围.‎ ‎(考查分段函数解析式，函数的单调性)‎ ‎(1) (2) 或 ‎16.设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0，a，c∈R)．‎ ‎(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；‎ ‎(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？‎ ‎(考查不等式恒成立,函数零点)‎ 解　(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝，由条件a>c>0，得2a>a＋c，‎ 故<＝<1，‎ 即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，‎ 且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．‎ 若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，‎ 则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，‎ 即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，所以00，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.‎ 因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝.而f＝<0，‎ 所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．‎