宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

吴忠中学2019-2020 学年第一-学期期末考试高二年级数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题， 每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，故选A．‎ 考点：1.集合的表示；2.集合的交集．‎ ‎2.等差数列中，，那么的前7项和（ ）‎ A. 22 B. ‎24 ‎C. 26 D. 28‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，则 考点：等差数列的性质 ‎3.在中，已知，则　　‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知直接利用余弦定理求得，则可求．‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎，．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题．‎ ‎4.若向量与向量垂直，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得出关于、的齐次等式，可求得的值.‎ ‎【详解】由于，则，则，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的应用，同时也考查了向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.若满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. 0 B. C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.‎ ‎6.已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意，可得，得，即可求解双曲线的离心率.‎ 详解：由题意，双曲线的一条渐近线过点，‎ 所以，可得，又由，‎ 所以双曲线的离心率为，故选C.‎ 点睛：本题考查了双曲线的离心率的求解，其中熟记双曲线的标准方程及几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎7.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，令即，‎ 当a≥0，x∈R；当a＜0时，解得，或；‎ 因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以，‎ 解得a≥-3，所以实数a的取值范围是[-3，+∞）‎ 考点：函数导数与单调性 ‎8.直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长等于 　‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由点到直线距公式求出圆心到直线距离，再由弦长，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为圆圆心为，半径为；‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 因此，弦长.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查求直线被圆所截的弦长，熟记几何法求解即可，属于基础题型.‎ ‎9.设等比数列的前项和，已知，，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列公比为，根据题中条件求出和的值，然后利用等比数列求和公式可计算出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则，解得，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列求和，解答的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10.在中，内角对应的边分别为，已知，，且，则的面积为（ ）‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理先求出A角，然后算出B角，则面积 ‎【详解】因为，，‎ 所以由正弦定理得 即，得 因为，所以 所以 所以面积 故选：B ‎【点睛】本题考查的是三角形面积的算法，较简单，‎ 要熟记，.‎ ‎11.椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎：由成等比数列得 即 ‎【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题 ‎12.已知函数的导数，则数列的前项和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得、的值，然后利用裂项求和法可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】，，则，得，‎ ‎，，‎ 因此，数列的前项和.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若,，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于,，则,则,故可知答案为．‎ 考点：同角关系式的运用 点评：主要是考查了同角关系式的计算，属于基础题．‎ ‎14.已知抛物线上一点到焦点距离是，则点的坐标是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义可求得点的横坐标，进而可求得该点的纵坐标，由此可得结果.‎ ‎【详解】设点的坐标为，抛物线的准线方程为，‎ 由抛物线的定义可得，，解得，‎ 因此，点的坐标是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.曲线在点M(π，0)处的切线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 所求切线的斜率为：，‎ 由于切点坐标为，故切线方程为：.‎ ‎【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.‎ ‎16.已知、为正实数且，若恒成立，则范围是____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式可求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】已知、为正实数且，，当且仅当时，等号成立，‎ 所以，的最小值为，‎ ‎，即，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数的取值范围，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.求适合下列条件的曲线标准方程.‎ ‎（1）虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程；‎ ‎（2）过点的抛物线的标准方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设双曲线的实轴长为，焦距为，根据题意求出、的值，再分双曲线的焦点在轴上和轴上两种情况讨论，可得出双曲线的标准方程；‎ ‎（2）分两种情况讨论，抛抛物线的焦点在轴上和轴上，分别设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数值，即可得出所求抛物线的标准方程.‎ ‎【详解】（1）设双曲线的实轴长为，焦距为，则，‎ 双曲线的虚轴长为，可得，‎ 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为；‎ 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.‎ 综上所述，所求双曲线的标准方程为或；‎ ‎（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，‎ 将点的坐标代入抛物线的标准方程得，‎ 此时，所求抛物线的标准方程为；‎ 当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，‎ 将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，‎ 此时，所求抛物线的标准方程为.‎ 综上所述，所求抛物线的标准方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线和抛物线标准方程的求解，解答时要注意对双曲线和抛物线的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.已知命题“方程表示双曲线”；命题在上单调递增，若为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出当命题、为真命题时，的取值范围，结合条件为真可得出假真，进而可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】若为真命题，则方程表示双曲线，则，解得，即.‎ 若为真命题，则函数在上单调递增，‎ 则对任意的恒成立，‎ 所以，，解得，即 为真，则假真，所以，可得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，涉及双曲线的方程以及导数与函数的单调性，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数的单调减区间为.‎ ‎（1）求、的值及极值；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，极大值为，极小值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，函数的两个极值点分别为和，利用韦达定理可求得实数、的值，然后分析出函数的单调性，即可求得函数的极大值和极小值；‎ ‎（2）求出函数在区间上的最大值，可得出关于实数的不等式，即可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的单调减区间为，‎ 所以，函数的两个极值点分别为和，‎ ‎，，‎ 则方程两根分别为和，由韦达定理得，解得，‎ 所以，，，列表如下：‎ 极大 极小 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ 函数的极大值为，极小值为；‎ ‎（2），，‎ 当时，，所以，，‎ 对，不等式恒成立，则，即，‎ 解得或，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调区间求参数，同时也考查了利用导数求解函数的极值以及研究函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知四棱锥中，侧面，，‎ 是边长为2的正三角形，底面是菱形，点为的中点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，交于，，欲证，只需证即可，再由题意可证明；‎ ‎（2）由已知条件可得，再求出的体积即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）连结，交于，由于底面为菱形，为中点 又为的中点，，又 ‎（2）过作，垂足为，由于为正三角形，为的中点，由于侧面，由面面垂直的性质得，‎ 由，得.，‎ 因为为的中点， 所以 ‎，‎ 故三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎21.已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【答案】（1） （2）1或－1.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由得．‎ 设点M，N的坐标分别为，，则，，‎ ‎，．‎ 所以|MN|===．‎ 由因为点A（2,0）到直线的距离，‎ 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以．‎ ‎22.已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．‎ ‎(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间；‎ ‎(3)求证：当x>1时， x2＋ln x0．求出f′(x) =x－，当a≤0时f′(x) >0恒成立．故f(x)在 (0，＋∞) 单调递增；当a>0时，令f′(x)>0解得即为f(x)的单调増区间，令f′(x)<0解得即为f(x)的单调减区间．‎ ‎（3）构造函数g(x)＝x3－x2－ln x，利用导数得出g(x)在(1，＋∞)上为单调递增．易得g(x) >0恒成立，进而可得到结论．‎ ‎【详解】(1)解：f′(x)＝x－ ，因为x＝2是一个极值点，‎ 所以2－＝0，所以a＝4.‎ ‎(2)解：因为f′(x)＝x－，f(x)的定义域为x>0，‎ 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ 当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，‎ 令f′(x)>0，得x>，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；‎ 令f′(x)<0，得01时，g′(x)＝>0，‎ 所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．‎ 所以g(x)>g(1)＝>0.‎ 所以当x>1时，x2＋ln x

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