高考数学考点10 函数模型及其应用

高考数学考点10 函数模型及其应用

1 考点 10 函数模型及其应用 考纲原文 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类 型增长的含义. （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的 广泛应用. 知识整合 一、常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ( 为常数， ) 反比例函数模型 ( 为常数且 ) 二次函数模型 （ 均为常数， ） 指数函数模型 （ 均为常数， ， ， ） 对数函数模型 （ 为常数， ） 幂函数模型 （ 为常数， ） 二、几类函数模型的增长差异 函数 性质　　  f x ax b  ,a b 0a  ( ) kf x bx  ,k b 0k  2( )f x ax bx c   , ,a b c 0a  ( ) xf x ab c  , ,a b c 0a  0b  1b  ( ) logaf x m x n  , ,m n a 0, 0, 1m a a   ( ) nf x ax b  , ,a b n 0, 1a n   1xy a a   log 1ay x a   0ny x n  2 在(0，＋∞)上的增 减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介 于 指 数 函 数 与 对数函数之间,相 对平稳 图象的变化 随 x 的增大，图象与 轴接近 平行 随 x 的增大，图象与 轴接近 平行 随 n 值 变 化 而 各 有不同 值的比较 存在一个 ，当 时，有 三、函数模型的应用 解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行： （1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中. 用框图表示如下： y x 0x 0x x log n x a x x a  3 重点考向 考向一 二次函数模型的应用 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、 判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问 题. 典例 1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地. 上市时，外商李经理按市场价格 元/千克在本市收购了 千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价 格每天每千克将上涨 元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 元，而且香菇在冷库中 最多保存 天，同时，平均每天有 千克的香菇损坏不能出售.-网 （1）若存放 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数关系 式； （2）李经理如果想获得利润 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购 成本-各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意得， 与 之间的函数关系式为： . （3）设利润为 ，则由（2）得， ， 因此当 时， . 4 又因为 ， 所以李经理将这批香菇存放 天后出售可获得最大利润，为 元. 1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价 500 元/件，又不高于 800 元/件，经试销 调查，发现销售量 y（件）与销售单价 （元/件）可近似看作一次函数 的关系（图象如下图 所示）． （1）根据图象，求一次函数 的表达式； （2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为 S 元, ①求 S 关于 的函数表达式； ②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价． 考向二 指数函数、对数函数模型的应用 （1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表 示为 (其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的 关系. （2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可. 典例 2 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积 变为 .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林面积为 . （1）求 p%的值; （2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年? x y kx b  y kx b  x  1 xy N p  2 a 1 4 2 2 a 5 （3）今后最多还能砍伐多少年? 【解析】（1）由题意得 ,即 , 解得 . （2）设经过 m 年，森林面积变为 , 则 ,即 ，解得 m=5, 故到今年为止,已砍伐了 5 年. 典例 3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 与时间 之间的 关系为 ．已知 后消除了 的污染物，试求： （1） 后还剩百分之几的污染物． （2）污染物减少 所需要的时间．（参考数据： ， ， ） 【解析】（1）由 ，可知 时， ， 当 时， ， 所以 ， 当 时， ， 所以 个小时后还剩 的污染物． （2）当 时，有 ， 解得 ， 所以污染物减少 所需要的时间为 个小时．  101 % 2 aa p   10 11 % 2p  1 101% 1 ( )2p   2 2 a   21 % 2 ma p a  1 10 21 1 1( ) )2 2 10, 2( m m   mg / LP  ht 0e ktP P  5h 10% 10h 50% ln2 0.7 ln3 1.1 ln5 1.6 0e ktP P  0t  0P P 5t    5 5 0 01 10% e e 0.9k kP P P       1 ln0.95k   10t  1ln0.9 10 ln0.815 0 0 0e e 81%P P P P       10 81% 050%P P 1ln0.95 0 050% e t P P 1ln ln2 ln2 0.725 5 5 59 ln9 ln10 ln2 ln5 2ln3 0.7 1.6 2 1.1ln10 t              35 50% 35 6 2．盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少 ，10 天后总量变为原 来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的 ，已知到今天为止，剩余的总量是原来的 ． （1）求 的值； （2）到今天为止，工厂已经开采了几天？ （3）今后最多还能再开采多少天？ 考向三 分段函数模型的应用 （1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式 构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数． （2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规 律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． （3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． 典例 4 某公司利用 线上、实体店线下销售产品 ，产品 在上市 天内全部售完.据统计，线上日销售 量 、线下日销售量 （单位：件）与上市时间 天的关系满足： ，产品 每件的销售利润为 (单位：元)（日销售量 线上日销售量 线下日销售量）. （1）设该公司产品 的日销售利润为 ，写出 的函数解析式； （2）产品 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于 元？ 【解析】（1）由题意可得： 当 时，日销售量为 ，日销售利润为： ； 当 时 ， 日 销 售 量 为 ， 日 销 售 利 润 为 ： %p 1 16 2 4 %p 7 ； 当 时 ， 日 销 售 量 为 ， 日 销 售 利 润 为 ： . 综上可得： 3．某种商品的市场需求量 （万件）、市场供应量 （万件）与市场价格 （元/件）分别近似地满足下列 关系： ， ．当 时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平 衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量； （2）若该商品的市场销售量 （万件）是市场需求量 和市场供应量 两者中的较小者，该商品的市 场销售额 （万元）等于市场销售量 与市场价格 的乘积． ①当市场价格 取何值时，市场销售额 取得最大值； ②当市场销售额 取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每 件商品征税多少元？ 考向四 函数模型的比较 根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数 模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型. 1y 2y x 1 70y x   2 2 20y x  1 2y y P 1y 2y W P x x W W 8 典例 5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为 10 万件，12 万件，13 万件，为了预测以后每个月的产量， 以这 3 个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 （单位：万件）与月份 的关系. 模拟函数 ；模拟函数 .-网 （1）已知 4 月份的产量为 13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？ （2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过 15 万件，请选用合适的模拟函数预测 6 月份的产量. 【解析】（1）若用模拟函数 1： ， 则有 ，解得 ， 即 ，当 时， ． 若用模拟函数 2： ， 则有 ，解得 ， 即 ，当 时， ． 所以选用模拟函数 1 较好． （2）因为模拟函数 1： 是单调增函数，所以当 时，生产量远大于他的最高限量； 模拟函数 2： 也是单调增函数，但生产量 ，所以不会超过 15 万件，所以应该选用模拟 函数 2： 好． 当 时， ， 所以预测 6 月份的产量为 万件. 4．某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得 万元到 万元的投资利益，现准备制定一个对 科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超 y x 1: by ax cx   2: xy m n s   by ax cx   10 12 2 2 13 3 3 a b c ba c ba c               1 25, 3,2 2a b c    3 25 2 2 xy x   4x  13.75y  xy m n s   2 3 10 12 13 mn s mn s mn s         18, , 142m n s    314 2 xy   4x  13.5y  3 25 2 2 xy x   12x  314 2 xy   14y  314 2 xy   6x  3 614 2 13.875y    13.875 9 过 万元，同时奖金不超过收益的 ． （1）请分析函数 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因． （2）若该公司采用函数模型 作为奖励函数模型，试确定最小正整数 的值． 考点冲关 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若 要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 与时间 的关系，可选用 A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 2．已知三个变量 随变量 变化的数据如下表： 则反映 随 变化情况拟合较好的一组函数模型是 A． B． C． D． 3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在 280 万元及以下的 税率为 ；超过 280 万元的部分按 征税．现有一家公司的实际缴税比例为 ， 则该公司的年收入是 A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校 2017 年全年投入科研经费 1300 万元，在 此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 ，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2000 万元 的年份是( )(参考数据： ， ， ) A．2020 年 B．2021 年 2150 xy   10 3 2 x ay x   y x 1 2 3, ,y y y x 1 2 3, ,y y y x 2 1 2 3 2, 2 , logxy x y y x   2 1 2 3 22 , , logxy y x y x   2 1 2 2 3log , , 2xy x y x y   2 1 2 2 32 , log ,xy y x y x   %p  2 %p   0.25 %p  560 420 350 320 12% lg1.12 0.05 lg1.3 0.11 lg2 0.30 10 C．2022 年 D．2023 年 5．一个容器装有细沙 ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， 后剩余的细沙量为 ，经过 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ） ，容器中的沙子只有开 始时的八分之一. A． B． C． D． 6．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元．当销售单价为 6 元 时，日均销售量为 480 桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加 1 元，日均销售量就减少 40 桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为 A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积 随时间 的变化规律是 （ 为 自然对数的底数），其中 为初始值.若 ，则 的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考 数据： 8．某种产品的产销量情况如图所示，其中： 表示产品各年年产量的变化规律； 表示产品各年的销售量 变化情况.有下叙述： （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； （3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增. 你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）. 3cma mint  3e cmbty a  8min min 8 16 24 32 6.5 8.5 10.5 11.5 V t 1 10 0e t V V   e 0V 0 3 VV  t lg3 0.4771, lge 0.4343) 11 9．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇 企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品 销售量 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费 万元之间的函数关系为 （其中推广促 销费不能超过 5 万元）.已知加工此农产品还要投入成本 万元（不包括推广促销费用），若加 工后的每件成品的销售价格定为 元/件. （1）试将该批产品的利润 万元表示为推广促销费 万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费） （2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 10．某电动小汽车生产企业，年利润 （出厂价 投入成本） 年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投 入成本为 万元/辆，出厂价为 万/辆，年销售量为 辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车， 提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为 （ ），则出厂 价相应提高的比例为 .同时年销售量增加的比例为 . （1）写出本年度预计的年利润 （万元）与投入成本增加的比例 的函数关系式； （2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？ w x 3 2 xw  33 w w     304 w     y x    1 1.2 10000 x 0 1x  0.75x 0.6x y x 12 11．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是 ,经过一定时间 后,温度 将满足 = ,其中 是环境温度, 称为半衰期.现有一杯用 195F 热水冲的速溶 咖啡,放在 75F 的房间内,如果咖啡降到 105F 需要 20 分钟,问降温到 95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度 单位,答案精确到 0.1，参考数据: ） 12．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然 和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有 色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某 行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 . （1）设 年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的 倍，请用 表示 ; （2）若 ，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？ 参考数据： , . 13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一 (0 1)x x  n a ,a n x 10%x  lg2 0.301 lg3 0.477 13 定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度 （单位：尾/立方米）的函 数．当 不超过 尾/立方米时， 的值为 千克/年；当 时， 是 的一次函数，且当 时， ． （1）当 时，求 关于 的函数的表达式． （2）当养殖密度 为多大时，每立方米的鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出 最大值． 直通高考 1．（2014 湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则该 市这两年生产总值的年平均增长率为 A． B． C． D． 2．（2015 四川理科）某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位： ）满足函数关系 （ 为自然对数的底数，k，b 为常数）.若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_________小时. 参考答案 1．【解析】（1）由题意可得 ，解得 ， 所以所求的表达式为 ． V x x 4 V 2 4 20x  V x 20x  0V  0 20x  V x x p q 2 p q ( 1)( 1) 1 2 p q   pq ( 1)( 1) 1p q   C ekx by  e 2.718  C C C 变式拓展 400 600 300 700 k b k b          1 1000 k b       14 （2）①由（1）得 ． ②由①可知， ，其图象开口向下，对称轴为 ， 所以当 时， ． 即该公司可获得的最大毛利润为 62500 元，此时相应的销售单价为 750 元/件． （3）设今后最多还能再开采 天，则 ， 即 ，即 ，得 ， 故今后最多还能再开采 25 天． 3．【解析】（1）令 ，得 ， 故 ，此时 ． 答：平衡价格是 30 元，平衡需求量是 40 万件． n  2 11 %4 16 na p a  5 10 21 1 2 2 n           5 10 2 n  25n  1 2y y 70 2 20x x    30x  1 2 40y y  15 ②设政府应该对每件商品征税 元，则供应商的实际价格是每件 元， 故 ， 令 ，得 ， 由题意可知上述方程的解是 ，代入上述方程得 ． 答：政府应该对每件商品征税 7.5 元． 4．【解析】（1）对于函数模型 ， 当 时, 为增函数, , 所以 恒成立, 但当 时, ,即 不恒成立, 故函数模型 不符合公司要求. (2)对于函数模型 ,即 ， 当 ,即 时单调递增, 为使 对于 恒成立,即要 ,即 , 为使 对于 恒成立, 即要 , 即 恒成立, 即 恒成立, t  x t  2 2 20y x t   1 2y y  70 2 20x x t     35x  7.5t  16 又 ,故只需 ,所以 . 综上, ,故最小的正整数 的值为 . 1．【答案】D 【解析】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意； 要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧 增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求； 要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于 1 的数，而此时指数函数增长的速 度也是越来越快的，也不满足要求； 对于对数函数，当底数大于 1 时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选 D. 2．【答案】B 【解析】从题表格可以看出，三个变量 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 的增长 速度最快，呈指数函数变化，变量 的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选 B. 3．【答案】D 【解析】设该公司的年收入为 a 万元，则 280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，解得 a= =320．故选 D． 4．【答案】B 【 解 析 】 若 年 是 第 一 年 ， 则 第 年 科 研 费 为 ， 由 ， 可 得 ，得 ，即 年后，到 年科研经费超过 万 元，故选 B． 5．【答案】B 【解析】依题意有 = ,即 ，两边取对数得 . 当容器中只有开始时的八分之一时，有 ，两边取对数得 ，所以再经过的时间为 24-8=16 .故选 B． 考点冲关 1 2 3, ,y y y 1y 3y 280 2 2 0.25   2018 n 1300 1.12n 1300 1.12 2000n  lg1.3 lg1.12 lg2n  0.05 0.19, 3.8, 4n n n    4 2021 2000 8e ba  1 2 a 8e b  1 2 ln2 81 ln28 ln ln2, , e2 8 t b b y a          ln2 ln2 8 81 1e , e8 8 t t a a     ln2 1ln 3ln2, 248 8t t      min 17 6．【答案】D 【解析】设定价在进价的基础上增加 x 元，日销售利润为 y 元，则 y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200， 由于 x＞0，且 520﹣40x＞0，所以 0＜x＜13. 即 y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13． 所以，当 时，y 取最大值． ∴销售单价应定为 元.故选 D. 7．【答案】11 【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为 时，需要经过的时间为 ， 则 ，即 ，所以 ， 所以 . 8．【答案】（2），（3） 【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线 斜率大，上升快， 斜率小，上升慢， 所以随着 的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重. 9．【解析】（1）由题意知 ， ∴ . （2）∵ ， ∴ . 当且仅当 时，上式取“ ” ， ∴当 时， . 答：当推广促销费投入 3 万元时，利润最大，最大利润为 27 万元. 520 6.580x   5 6.5 11.5  0 3 VV  t 1 010 0e 3 t VV   1 110 1e 33 t   11 ln3 ln310 t     lg3 0.477110ln3 10 10 11lge 0.4343t       30 3 9 63 184 3 30 2 2 3 xy w w x w xw w w x                        63 18 0 52 2 3 xy xx     63 18 2 2 3 xy x     63 1 36 1 3633 32 2 3 2 3y x xx x                   1 3633 2 3 272 3x x      3x   3x  max 27y  18 11．【解析】依题意，可令 ， ， ， ，代入式子得 ， 解得 . 又若 ，代入式子得 ，则 . ∴ . 答：降温到 95F 约需要 25.9 分钟. 12．【解析】（1）依题意得： ，则 ，则 . （2）设 年后年产能不超过 2017 年的 25%，则 ，即 ， 即 ， ，则 ， ， ∵ ，且 ， ∴ 的最小值为 14.！网 答：至少要到 2031 年才能使年产能不超过 2017 年的 25%.  21 2 2 1 lg3 0.477110log 10log 6 10 log 3 1 10 1 10 1 25.96 lg2 0.3010t                     1 nx a  1 nx a  1 nx a  n  1 10% 25%n  9 1 10 4 n     9 1lg lg10 4n   2lg3 1 2lg2n    2lg2 1 2lg3n   301 23n  30113 1423  *nN n 19 （ ）依题意并由（1）可得 ， 当 时， 为增函数，故 ； 当 时， ， 故 ． 所以，当 时， 的最大值为 ． 当养殖密度为 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为 千克/立方米． 1．【答案】D 【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为 ,则有 ,故选 D. 2．【答案】24 【解析】由题意，得 ，即 ， 于是当 x＝33 时， ＝24(小时). 2   2 2 ,0 4, 1 5 ,4 20,8 2 x x x f x x x x x         N N 0 4x   f x    max 4 4 2 8f x f    4 20x       22 21 5 1 120 108 2 8 12.58f x x x x x x            max 10 12.5f x f  0 20x   f x 12.5 10 12.5 直通高考 ( 0)x x      21 1 1x p q      1 1 1x p q     22 192 e 48 e b k b    11 192 e 1 e2 b k    33 11 3 31e (e ) e ( ) 1922 k b k by      20