2018届二轮复习专题10无处不考的函数性质问题学案（全国通用）

2018届二轮复习专题10无处不考的函数性质问题学案（全国通用）

专题10 无处不考的函数性质问题 考纲要求:‎ ‎1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．‎ ‎2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.‎ ‎3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2‎ 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的 ‎(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．‎ ‎2．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．‎ 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．‎ 3、 奇、偶函数的性质 ‎（1）普通性质 ‎①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；‎ ‎③‎ 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.‎ ‎④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．‎ ‎（2）在公共定义域内 ‎①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；‎ ‎③一个奇函数，一个偶函 数的积是奇函数．‎ ‎【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。‎ ‎4．函数的周期性 ‎（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。‎ ‎（2）周期函数的性质：①若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；②若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期；③如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。‎ ‎【注】如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。‎ 应用举例:‎ 类型一、利用函数性质解决函数零点问题 ‎【例1】【2017广东省惠州市高三调研】已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，．如果函数有两个零点，则实数的值为（）‎ A． B．C．0 D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【例2】【2017新疆兵团农二师华山中学月考】已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可化为为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为当时，由，可得可得，即在处的切线方程为，此时函数有且只有个零点，因此若函数有且只有两个零点，则的取值范围为．‎ 类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题 ‎【例3】【2017长郡中学高三入学考试】将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】的图象沿轴向右平移个单位后得到的函数解析式为,因为该函数为偶函数,所以即,由此可知选项C不符合题意,故选C.‎ ‎【例4】将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D. ‎【答案】C 类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题 ‎【例5】【河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试】‎ 设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（）‎ A.B.C.D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】数列是单调递减数列，则f(1)>f(2)>f(3)>…，‎ 所以函数f(x)在x∈N+上是减函数，‎ 故有,解得.‎ 所以实数a的取值范围是 本题选择B选项.‎ ‎【例6】【2017山东济南市高三摸底考试】设ω＞0，若函数f(x)＝sincos在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)‎ A.B.C.D．[1，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】f(x)＝sincos＝sinωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈，故选B.‎ 点评：已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ 类型四、利用函数性质解不等式 ‎【例7】【山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试】‎ 若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式. ‎ ‎【例8】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log‎2a)＋f()≤‎2f(1)，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1,2]B.C D．(0,2]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log‎2a)＋f()≤‎2f(1)⇒f(log‎2a)＋f(－log‎2a)≤‎2f(1)⇒f(log‎2a)≤f(1)，又f(log‎2a)＝f(|log‎2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|log‎2a|≤1⇒－1≤log‎2a≤1，解得.‎ 点评：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．‎ 类型五、利用函数性质解决函数解析式问题 ‎【例9】f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(　　)‎ A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)‎ ‎【答案】C 点评：已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．‎ ‎【例10】设是定义在(－∞,＋∞)上的奇函数,且时,,则时=______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】时,‎ 点评：已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．‎ 类型六、利用函数性质解决函数值问题 ‎【例11】【2017新疆兵团农二师华山中学高三月考】已知是定义在R上的奇函数，是偶函数，当∈(2，4)时，，则=（）‎ A．1B． ‎0C．2D．-2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由是定义在上的奇函数,由是偶函数关于对称 的周期为 ‎，，（奇函数）=,故选B.‎ ‎【例12】【江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试】‎ 设是定义在上的周期为的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则＋＝（）‎ A.3B‎.2C.1D.0‎ ‎【答案】C 点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ 类型七、利用函数性质解决比较大小问题 ‎【例11】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c＞a＞b　　　　　　B．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c ‎【答案】D ‎【解析】根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．，所以b＞a＞c. ‎ ‎【例12】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有(　　)‎ A．f

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