2019届二轮复习不等式选讲作业

2019届二轮复习不等式选讲作业

不等式选讲 ‎1.已知函数f(x)＝|x＋2|－2|x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≥－2.‎ ‎(2)对任意x∈[a，＋∞)，都有f(x)≤x－a成立，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)f(x)＝f(x)≥－2，‎ 当x≤－2时，x－4≥－2，即x≥2，所以x∈∅；‎ 当－2＜x＜1时，3x≥－2，即x≥－，‎ 所以－≤x＜1，‎ 当x≥1时，－x＋4≥－2，即x≤6，所以1≤x≤6，‎ 综上，不等式f(x)≥－2的解集为.‎ ‎(2)f(x)＝函数f(x)的图象如图所示：‎ 令y＝x－a，－a表示直线的纵截距，当直线过(1，3)点时，－a＝2；‎ 所以当－a≥2，即a≤－2时成立；‎ 当－a＜2，即a＞－2时，令－x＋4＝x－a，得x＝2＋，‎ 所以a≥2＋，即a≥4时成立，‎ 综上可知a的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞).‎ ‎2.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1].‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ ‎(1)解　∵f(x＋2)＝m－|x|，‎ ‎∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}.‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，‎ a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ‎＝3＋＋＋ ‎≥3＋2＋2＋2＝9.‎ 当且仅当a＝2b＝3c＝3时，等号成立.‎ 因此a＋2b＋3c≥9.‎ ‎3.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.‎ ‎(1)解不等式：|g(x)|＜5.‎ ‎(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)由||x－1|＋2|＜5得－5＜|x－1|＋2＜5，‎ 所以－7＜|x－1|＜3，可得不等式的解集为(－2，4).‎ ‎(2)因为任意x1∈R，都有x2∈R，‎ 使得f(x1)＝g(x2)成立，‎ 所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，‎ 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，‎ 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，‎ 所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).‎ ‎4.设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.‎ 求证：(1)a＋b＋c≥；‎ ‎(2) ＋ ＋ ≥(＋＋).‎ 证明　(1)要证a＋b＋c≥，‎ 由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).‎ 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2 (当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得.∴原不等式成立.‎ ‎(2) ＋ ＋ ＝.‎ 由于(1)中已证a＋b＋c≥.‎ 因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.‎ 即证a＋b＋c≤1，‎ 即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.‎ 而a＝≤，‎ b≤，c≤.‎ ‎∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca (a＝b＝c＝时等号成立).∴原不等式成立.‎ ‎5.(2016·许昌、新乡、平顶山模拟)(1)解不等式：|2x－1|－|x|＜1；‎ ‎(2)设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).‎ ‎(1)解　当x＜0时，原不等式可化为－2x＋x＜0，‎ 解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在；‎ 当0≤x＜时，原不等式可化为－2x－x＜0，‎ 解得x＞0，又∵0≤x＜，∴0＜x＜；‎ 当x≥时，原不等式可化为2x－1－x＜1.‎ 解得x＜2，又∵x≥，∴≤x＜2，‎ 综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}.‎ ‎(2)证明　|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|‎ ‎＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|‎ ‎＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|‎ ‎＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，‎ ‎∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).‎ ‎6.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，‎ M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，‎ 解得x>－1，所以－1

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