高中数学选修第3章3_2第1课时同步练习

高中数学选修第3章3_2第1课时同步练习

高中数学人教A版选2-1 同步练习 直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)‎ A．l⊥α　　　　　　　　　　　 B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 解析：选D.∵a·u＝－3＋4－1＝0，‎ ‎∴a⊥u，∴l∥α或l⊂α.‎ 若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 解析：选C.∵≠≠，‎ ‎∴α与β不平行．‎ 又∵u·v＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0.‎ ‎∴α，β相交但不垂直．‎ 平面α，β的法向量分别为m＝(1，2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________．‎ 解析：由α⊥β知，m·n＝0.‎ ‎∴－2－8－2k＝0，解得k＝－5.‎ 答案：－5‎ 已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为__________．‎ 解析：设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，‎ 由题意可得：＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)．‎ 由 得 令x＝1，得y＝z＝1.∴n＝(1，1，1)．‎ 答案：(1，1，1)(答案不惟一)‎ ‎[A级　基础达标]‎ 设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　)‎ A．2 B．－4‎ C．4 D．－2‎ 解析：选C.∵α∥β，∴(1，2，－2)＝λ(－2，－4，k)，‎ ‎∴k＝4.‎ 已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)‎ A．(1，－1，1) B. C. D. 解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．‎ 对于选项A，＝(1，0，1)，则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，‎ 则·n＝·(3，1，2)＝0.故选B.‎ 已知平面α内的三点A(0，0，1)、B(0，1，0)、C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 解析：选A.＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，‎ n·＝(－1，－1，－1)·(0，1，－1)‎ ‎＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，‎ n·＝(－1，－1，－1)·(1，0，－1)‎ ‎＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，‎ ‎∴n⊥，n⊥.‎ ‎∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.‎ 已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量的坐标为__________．‎ 解析：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令z＝1，得 ‎∴平面ABC的一个法向量n＝，则平面ABC的单位法向量为±＝±.‎ 答案：或 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是__________．‎ 解析：·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；‎ ·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；‎ 是平面ABCD的法向量，∴③正确；④错误．‎ 答案：①②③‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎(1)求面ABCD的一个法向量；‎ ‎(2)求面A1BC1的一个法向量；‎ ‎(3)若M为CD的中点，求面AMD1的一个法向量．‎ 解：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a.‎ ‎(1)∵面ABCD即为坐标平面xOy，‎ ‎∴n1＝(0，0，1)为其一个法向量．‎ ‎(2)连接B1D，∵B1D⊥面A1BC1，‎ 又∵＝(0，a，0)－(a，0，a)＝(－a，a，－a)，‎ ‎∴n2＝＝(－1，1，－1)为面A1BC1的一个法向量．‎ ‎(3)设n3＝(x0，y0，z0)为面AMD1的一个法向量，‎ ‎∵＝，＝(0，a，a)，‎ ‎∴.‎ 令x0＝2，则y0＝－1，z0＝1，‎ ‎∴n3＝(2，－1，1) 为面AMD1的一个法向量．‎ ‎[B级　能力提升]‎ 已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)‎ A．－3或1 B．3或－1‎ C．－3 D．1‎ 解析：选A.|a|＝ ＝6，∴x＝±4，‎ 又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，‎ ‎∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，‎ 当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，若E为A‎1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)‎ A．AC B．BD C．A1D D．A‎1A 解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.‎ 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，‎ ‎∴＝，‎ ＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，‎ ＝(－1，0，－1)，＝(0，0，－1)．‎ ‎∵·＝0，∴CE⊥BD.‎ 已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝__________．‎ 解析：∵·＝0，‎ ‎∴3＋5－2z＝0，即z＝4.‎ ‎∵＝(x－1，y，－3)，‎ ⊥平面ABC，‎ ‎∴即 解之得 即＝.‎ 答案： 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1∥平面ACD1.‎ 证明：法一：以D为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为2，‎ 则A(2，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，O1(1，1，2)，‎ ‎∴＝(－2，0，2)，‎ ＝(0，－2，2)，‎ ＝(－1，－1，2)，‎ ‎∴＝＋，‎ ‎∴与，共面，‎ 又BO1⊄平面ACD1，‎ ‎∴BO1∥平面ACD1.‎ 法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取AC的中点O，连接D1O，则O(1，1，0)，‎ ‎∴＝(1，1，－2)．‎ 又＝(－1，－1，2)，∴＝－，‎ ‎∴∥.‎ 又∵D1O与BO1不共线，∴D1O∥BO1.‎ 又BO1⊄平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.‎ (创新题)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD；‎ ‎(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．‎ 解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，‎ 设AD＝a，‎ 则D(0，0，0)、A(a，0，0)、B(a，a，0)、C(0，a，0)、‎ E、P(0，0，a)、F.‎ ‎(1)证明：·＝·(0，a，0)＝0，‎ ‎∴EF⊥DC.‎ ‎(2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)，‎ ‎∴＝，‎ 由题意要使GF⊥平面PCB，‎ 只需·＝·(a，0，0)‎ ‎＝a＝0，‎ ‎∴x＝.‎ ·＝·(0，－a，a)‎ ‎＝＋a＝0，∴z＝0.‎ ‎∴点G的坐标为，即点G为AD的中点．‎