2011年数学理(重庆)高考试题

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2011年数学理(重庆)高考试题

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷(理工农医类)‎ 满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答题前,务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡规定的位置上.‎ ‎ 2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选其他答案标号.‎ ‎ 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.‎ ‎ 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.‎ ‎ 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.“”是“”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要 ‎3.已知,则 ‎ A. B. ‎2 ‎ C.3 D.6‎ ‎4.的展开式中的系数相等,则n=‎ ‎ A.6 B.‎7 ‎ C.8 D.9‎ ‎5.下列区间中,函数在其上为增函数的是 ‎ A.(- B. C. D.‎ ‎6.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且C=60°,则ab的值为 ‎ A. B. C. 1 D.‎ ‎7.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是 ‎ A. B.‎4 ‎ C. D.5‎ ‎8.在圆 内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎ A. B. C.1 D.‎ ‎10.设m,k为整数,方程在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为 ‎ A.-8 B.‎8 ‎ C.12 D.13‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案写在答题卡相应位置上 ‎11.在等差数列中,,则__________‎ ‎12.已知单位向量,的夹角为60°,则__________‎ ‎13.将一枚均匀的硬币投掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________‎ ‎14.已知,且,则的值为__________‎ ‎15.设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为__________‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16.(本小题满分13分)‎ 设,满足,求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎17.(本小题满分13分)(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分)‎ 某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中:‎ ‎ (Ⅰ)恰有2人申请A片区房源的概率;‎ ‎ (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 ‎18.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)‎ 设的导数满足,其中常数.‎ ‎ (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎ (Ⅱ) 设,求函数的极值. ‎ ‎19.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)‎ 如题(19)图,在四面体中,平面平面,,,.‎ ‎ (Ⅰ)若,,求四面体的体积;‎ ‎ (Ⅱ)若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分.)‎ 如题(20)图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为.‎ ‎ (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎ (Ⅱ)设动点满足:,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分)‎ 设实数数列的前n项和,满足 ‎ (I)若成等比数列,求和;‎ ‎ (II)求证:对 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分50分.‎ ‎1—5 CADBD 6—10 ACBCD 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分25分.‎ ‎11.74 12. 13. 14. 15.‎ 三、解答题:满分75分.‎ ‎16.(本题13分)‎ 解:‎ ‎ ‎ 由 因此 当为增函数,‎ 当为减函数,‎ 所以 又因为 故上的最小值为 ‎17.(本题13分)‎ 解:这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ (I)解法一:所有可能的申请方式有34种,恰有2人申请A片区房源的申请方式种,从而恰有2人申请A片区房源的概率为 解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A,则 从而,由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知,恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ (II)ξ的所有可能值为1,2,3.又 综上知,ξ有分布列 ξ ‎ 1 2 3‎ P ‎ ‎ 从而有 ‎18.(本题13分)‎ 解:(I)因故 令 由已知 又令由已知 因此解得 因此 又因为故曲线处的切线方程为 ‎ (II)由(I)知,‎ 从而有 令 当上为减函数;‎ 当在(0,3)上为增函数;‎ 当时,上为减函数;‎ 从而函数处取得极小值处取得极大值 ‎19.(本题12分)‎ ‎ (I)解:如答(19)图1,设F为AC的中点,由于AD=CD,所以DF⊥AC.‎ 故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,‎ 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,‎ 且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=.‎ 在Rt△ABC中,因AC=2AF=,AB=2BC,‎ 由勾股定理易知 故四面体ABCD的体积 ‎ (II)解法一:如答(19)图1,设G,H分别为边CD,BD的中点,则FG//AD,GH//BC,从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.‎ ‎ 设E为边AB的中点,则EF//BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB.又由(I)有DF⊥平面ABC,‎ ‎ 故由三垂线定理知DE⊥AB.‎ 所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角,由题设知∠DEF=60°‎ 设 在 从而 因Rt△ADE≌Rt△BDE,故BD=AD=a,从而,在Rt△BDF中,,‎ 又从而在△FGH中,因FG=FH,由余弦定理得 因此,异面直线AD与BC所成角的余弦值为 解法二:如答(19)图2,过F作FM⊥AC,交AB于M,已知AD=CD,‎ 平面ABC⊥平面ACD,易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM,FC,FD分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系F—xyz.‎ 不妨设AD=2,由CD=AD,∠CAD=30°,易知点A,C,D的坐标分别为 显然向量是平面ABC的法向量.‎ 已知二面角C—AB—D为60°,‎ 故可取平面ABD的单位法向量,‎ 使得 设点B的坐标为,有 易知与坐标系的建立方式不合,舍去.‎ 因此点B的坐标为所以 从而 故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 ‎20.(本题12分)‎ 解:(I)由 解得,故椭圆的标准方程为 ‎ (II)设,则由 得 因为点M,N在椭圆上,所以 ‎,‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为F1,F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因,因此两焦点的坐标为 ‎21.(本题12分)‎ ‎ (I)解:由题意,‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ (II)证法一:由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因,由①得 要证,由①只要证 即证 此式明显成立.‎ 因此 最后证若不然 又因矛盾.‎ 因此 证法二:由题设知,‎ 故方程(可能相同).‎ 因此判别式 又由 因此,‎ 解得 因此 由,得 因此
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