黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

大庆中学2019---2020学年度上学期期中考试 高二年级文科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题)‎ 一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.直线经过点和，则直线的倾斜角为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出直线的斜率后可得其倾斜角.‎ ‎【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，‎ 根据，而，故，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.‎ ‎2.点是抛物线：上一点，若到的焦点的距离为8，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，到的焦点的距离等于到抛物线准线的距离，列式求解。‎ ‎【详解】解：，则.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查抛物线的定义以及焦半径公式，是基础题。‎ ‎3.直线与直线平行，则（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线平行的等价条件得出关于的方程，即可求出的值.‎ ‎【详解】直线与直线平行，，解得或，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，解题时要熟悉两直线平行的等价条件，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意知，圆心在直线2x＋y＝0上，∴2－m＝0，解得m＝4，‎ ‎∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆的半径为3.‎ ‎5.椭圆的焦距为，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 2或 C. D. 1或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将方程化为椭圆的标准方程，分情况讨论焦点的位置，然后根据求的值.‎ ‎【详解】椭圆化为标准方程： ， ‎ 当焦点在轴时，，，那么 ‎ ‎；‎ 当焦点在轴时，，，那么，‎ ‎，‎ 或.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，本题易错点是忽略椭圆焦点的位置，造成丢解情况，属于基础题型.‎ ‎6.经过点作圆的弦,使点为弦的中点，则弦所在直线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知为弦AB的中点，可得直线与过圆心和点的直线垂直，可求的斜率，然后用点斜式求出的方程。‎ ‎【详解】由题意知圆的圆心为， ，由，得，∴弦所在直线的方程为，整理得.选A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程，属于基础题。‎ ‎7. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4,‎ ‎∴xP=3,yP==2,‎ 因此S△POF=×2×=2.故选C.‎ ‎8.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过，与双曲线的左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义得到，，再由题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为直线过，与双曲线的左支交于两点，，且双曲线的实轴长为，‎ 由双曲线的定义可得，，，‎ 所以的周长.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查双曲线中焦点三角形的周长问题，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.‎ ‎9.如图，过抛物线（）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作垂直于准线于点，则，根据，可得，得，再根据抛物线的定义和性质，得到，即可求解.‎ ‎【详解】设，作垂直于准线于点，则，‎ 又，可得，所以，则,‎ 设，则，解得，‎ 又由，且，‎ 所以，解得，所以抛物线的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题设条件和抛物线的几何性质，得出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知椭圆C：的右焦点为F，直线l：，点，线段AF交椭圆C于点B，若，则＝(　　)‎ A. B. 2‎ C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，，易知F(1,0)，根据，得，，根据点B在椭圆上，求得n=1，进而可求得 ‎【详解】根据题意作图：‎ 设点，．‎ 由椭圆C： ，知，，，‎ 即，所以右焦点F(1,0)．‎ 由，得．‎ 所以，且.‎ 所以，.‎ 将x0，y0代入，‎ 得.解得，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.‎ ‎11.已知分别为双曲线的左，右焦点。过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为的中点，的面积为4，则双曲线E的方程为（ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的一条渐近线方程，联立直线x+y＝c可得P，Q的坐标，再由中点坐标公式，可得a＝b，由三角形的面积公式可得c，进而得到a，b，可得双曲线的方程．‎ ‎【详解】双曲线E：l（a＞0，b＞0）一条渐近线方程为yx，‎ 代入直线x+y＝c，可得P（，），‎ 且Q（0，c），（c，0），‎ 点P为QF2的中点，可得c，‎ 可得a＝b，‎ ‎△QF1F2的面积为4，即•2c•c＝4，‎ 解得c＝2，a＝b，‎ 则双曲线的方程为1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和中点坐标公式，以及化简运算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中，设设 ，，则根据余弦定理写出，解得，根据条件可知 ，求离心率的范围.‎ ‎【详解】设 ，，‎ 若椭圆上存在点使得，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 即 ，‎ ‎ ，‎ 即，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质与应用，涉及余弦定理，以及不等式关系的建立，意在考查转化思想和计算能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长.‎ ‎【详解】为椭圆的两个焦点 ‎ 由椭圆的定义可得 ‎ ‎ 的周长为，‎ 故答案为32.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，推理计算能力，属于中档题.‎ ‎14.已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为_____________．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用双曲线的性质及条件列a,b,c的方程组，求出c可得.‎ ‎【详解】因为双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，所以,解得，所以双曲线的焦距为4.故答案为4.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.圆与圆的公共弦的长为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两圆相减得公共弦的方程为，再选定其中一个圆与公共弦的方程，利用弦长公式求得公共弦长为。‎ ‎【详解】圆与圆相减得：‎ ‎，圆，所以圆心为，半径为，圆心到直线距离，‎ 所以公共弦长，故填：。‎ ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系、弦长公式的应用，考查数形结合思想与运算求解能力。‎ ‎16.已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于，两点，与其准线交于点（点在点，之间），若，且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的倾斜角为，利用抛物线的定义并结合条件可求出，利用同角三角函数的基本关系求出直线的斜率，于此得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理与抛物线的定义，结合弦长可求出的值。‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 过点作，垂足为点，设直线的倾斜角为锐角，则，‎ 与抛物线的定义得，‎ 所以，，，，‎ 又知抛物线的焦点为，所以，直线的方程为，‎ 设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，‎ 消去并整理得，由韦达定理得，‎ 由抛物线的定义可得，解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及抛物线的焦点弦长的计算，在抛物线的焦点弦长的计算，常用办法就是将直线与抛物线的方程联立，结合韦达定理与抛物线的定义求解，在求解时，适当分析抛物线的几何性质，寻找边与角的关系，可以简化计算。‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18---22题每小题12分，共70分）‎ ‎17.已知直线经过点（－2，5），且斜率为 ‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入点斜式方程求直线 的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.‎ ‎【详解】（1）由点斜式方程得，，∴.‎ ‎（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，‎ 解得：或.‎ ‎∴或 ‎【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.‎ ‎18.已知圆外有一点，过点作直线.‎ ‎(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.‎ ‎【答案】(1) 或(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(1)当斜率不存在时，直线的方程为，当斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，可求得，则直线方程可求；(2)由直线的倾斜角求得斜率，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再由垂径定理求得直线被圆所截得的弦长.‎ 试题解析：(1)当斜率不存在时，直线的方程为；‎ 当斜率存在时，设直线的方程为，‎ 则，解得，所以方程为，‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为，‎ ‎，所求弦长为.‎ ‎19.已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，弦的中点的横坐标为，.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题得，再利用抛物线的定义求p的值，即得抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，.根据已知求出k=2, 设与直线平行的直线的方程为，根据直线和抛物线相切求出b的值得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，，‎ 因为的中点的横坐标为，所以.‎ 根据抛物线定义知.‎ 所以，解得，‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，.‎ 则由得.‎ 所以，即，解得.‎ 设与直线平行的直线的方程为，‎ 由得.‎ 依题知，解得.‎ 故所求的切线方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，‎ ‎（l）求椭圆的方程：‎ ‎（2）若直线的倾斜角为度，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件，得到，再由离心率求出，进而得到值，从而可求出椭圆方程；‎ ‎（2）由题中条件，得到直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由条件知，，又由离心率知，‎ ‎，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）由条件知，直线的方程为，‎ 联立椭圆方程，‎ 得到，‎ 易知，设，，‎ 则由韦达定理，，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆的弦长，熟记椭圆的标准方程，以及弦长公式即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知抛物线上一点到其焦点的距离为.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）若斜率为的直线与抛物线交于、两点，点为抛物线上一点，其横坐标为1，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1），；（2）为定值，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义可得，解出将代入到抛物线方程即可得的值；（2）设直线的方程为，设，，联立直线与抛物线运用韦达定理可得，根据斜率的定义化简可得，进而可得结果.‎ ‎【详解】（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，‎ 即，解得，‎ ‎∴抛物线方程为，‎ 点在抛物线上，得，∴。‎ ‎（2）设直线的方程为，设，，‎ 消元化简得，‎ 当即即时，直线与抛物线有两交点，‎ ‎∴。‎ 点坐标为(1，1)，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 所以为定值。‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，根的判别式、韦达定理，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．‎ ‎22.定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是4，椭圆长轴长是2，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点.‎ ‎（1）求椭圆，的方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆于点，，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为，椭圆的方程是（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，直接利用椭圆的定义得到答案.‎ ‎（2）设直线的方程为，联立方程得到，‎ ‎，，利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由已知，=1，‎ ‎∵椭圆与椭圆的离心率相等，即，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为，椭圆的方程是；‎ ‎（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.‎ 联立：，得，即，‎ ‎∴，设，，‎ 则，，∴，‎ 的高即为点到直线：的距离，‎ ‎∴的面积，‎ ‎∵，等号成立当且仅当，即时成立 ‎∴，即的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆关系，面积最值，将面积用韦达定理表示出来是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎ ‎