2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷（解析版）

2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷（解析版）

‎2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．（5分）己知α为第二象限角，cosa=﹣，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎2．（5分）在△ABC中，已知sinA=2cosB•sinC，则△ABC的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定 ‎3．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，2），则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣2， B．（﹣3， C．（﹣∞，﹣3）∪，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪，+∞）‎ ‎4．（5分）若a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为，方差为0.21，则a1，a2，a3，…a20，这21个数据的方差为（　　）‎ A．0.19 B．0.20 C．0.21 D．0.22‎ ‎5．（5分）已知α+β=，则（1+tanα）（1+tanβ）的值是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．4‎ ‎6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为116，124，118，122，120，五名女生的成绩分别为118，123，123，118，123，下列说法一定正确的是（　　）‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎8．（5分）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”‎ D．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎9．（5分）已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和sn有最大值，则使得sn＞0的n的最大值为（　　）‎ A．11 B．12 C．21 D．22‎ ‎10．（5分）设2a=3，2b=6，2c=12，则数列a，b，c成 （　　）‎ A．等差数列 B．等比数列 C．非等差也非等比数列 D．既等差也等比数列 ‎11．（5分）老师要求同学们做一个三角形，使它的三条高分别为：，1，，则（　　）‎ A．同学们做不出符合要求的三角形 B．能做出一个锐角三角形 C．能做出一个直角三角形 D．能做出一个钝角三角形 ‎12．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13．（5分）已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是　 　．‎ ‎14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为　 　．‎ ‎15．（5分）已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an=（n∈N*）．若不等式λSn≥an﹣2016对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）在△ABC中若sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB，则sin2Atan2B最大值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ 分数段 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎18．（12分）已知△ABC中，是AC边上的中线．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求AC的长．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；‎ ‎（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=atanB．‎ ‎（Ⅰ）求A﹣B的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos2B﹣sinA的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知单调递增的等比数列{an}中，a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，‎ ‎（1）求an ‎（2）设bn=loan，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn．‎ ‎22．（12分）已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．‎ ‎（1）设bn=an+1﹣2an，求证{bn}是等比数列 ‎（2）设，求证{Cn}是等差数列 ‎（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．（5分）己知α为第二象限角，cosa=﹣，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵α为第二象限角，cosα=﹣，‎ ‎∴sinα==，‎ ‎∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在△ABC中，已知sinA=2cosB•sinC，则△ABC的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定 ‎【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．‎ ‎【解答】解：sinA=2cosB•sinC，‎ 可得：sin（B+C）=2cosB•sinC，‎ 即：sinBcosC+cosBsinC=2cosB•sinC，‎ sin（B﹣C）=0，‎ 可得：B=C．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查三角形的判断与应用，两角和与差的三角函数的三角函数，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，2），则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣2， B．（﹣3， C．（﹣∞，﹣3）∪，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪，+∞）‎ ‎【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，2），‎ ‎∴，，且a＜0．‎ 即，．‎ ‎∴不等式cx2+bx+a＜0可化为，即．解得．‎ ‎∴关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集是{x|}．‎ 故选B．‎ ‎【点评】熟练掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为，方差为0.21，则a1，a2，a3，…a20，这21个数据的方差为（　　）‎ A．0.19 B．0.20 C．0.21 D．0.22‎ ‎【分析】根据平均数与方差的概念，计算即可得出答案．‎ ‎【解答】解：a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为，方差为0.21，‎ ‎∴s2=×[+++…+]=0.21‎ ‎∴+++…+=4.2‎ ‎∴则a1，a2，a3，…a20，这21个数据的，‎ 方差为 s′2=×[+++…++]‎ ‎=×4.2=0.20．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知α+β=，则（1+tanα）（1+tanβ）的值是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．4‎ ‎【分析】由α+β=，得到tan（α+β）=1，利用两角和的正切函数公式化简tan（α+β）=1，即可得到所求式子的值．‎ ‎【解答】解：由α+β=，得到tan（α+β）=tan=1，‎ 所以tan（α+β）==1，即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ，‎ 则（1+tanα）（1+tanβ）=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2．‎ 故选C ‎【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知及基本不等式可求c2≥ab，由余弦定理可得cosC≥，结合范围C∈（0，π），可求C的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵a2+b2=2c2≥2ab，（当且仅当a=b时等号成立），即c2≥ab，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosC==≥=，（当且仅当a=b时等号成立），‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴C∈（0，]．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为116，124，118，122，120，五名女生的成绩分别为118，123，123，118，123，下列说法一定正确的是（　　）‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎【分析】根据抽样方法的特点，知既不是分层抽样，也不是系统抽样；从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，能求出方差．由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：根据抽样方法的特点，可知既不是分层抽样，也不是系统抽样，‎ 故A，B是错的，‎ 从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故D是错的，‎ 根据公式，求得五名男生成绩的方差为，‎ 五名女生成绩的方差为，‎ ‎∴这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故C正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意抽样方法、方差、平均数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”‎ D．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ ‎【解答】解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，‎ 在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；‎ 在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；‎ 在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；‎ 在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查互斥而不对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和sn有最大值，则使得sn＞0的n的最大值为（　　）‎ A．11 B．12 C．21 D．22‎ ‎【分析】由，它们的前n项和Sn有最大可得a11＞0，a11+a12＜0，a12＜0，从而有a1+a21=2a11＞0，a1+a22=a11+a12＜0，从而可求满足条件的n的值．‎ ‎【解答】解：由，它们的前n项和Sn有最大值，可得数列的d＜0，‎ ‎∴a11＞0，a11+a12＜0，a12＜0，‎ ‎∴a1+a21=2a11＞0，a1+a22=a11+a12＜0，‎ 使得Sn＞0的n的最大值n=21，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是灵活利用和公式及等差数列的性质．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设2a=3，2b=6，2c=12，则数列a，b，c成 （　　）‎ A．等差数列 B．等比数列 C．非等差也非等比数列 D．既等差也等比数列 ‎【分析】根据对数的定义求出a=log23，b=log26，c=log212；b﹣a=c﹣b，得到a、b、c是等差数列．而，所以a、b、c不是等比数列．‎ ‎【解答】解：因为2a=3，2b=6，2c=12，根据对数定义得：a=log23，b=log26，c=log212；‎ 而b﹣a=log26﹣log23=log2=log22=1；‎ c﹣b=log212﹣log26=log22=1，‎ 所以b﹣a=c﹣b，数列a、b、c为等差数列．‎ 而，所以数列a、b、c不为等比数列．‎ 故选A ‎【点评】考查学生会确定等差、等比数列的关系，以及会根据对数定义化简求值．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）老师要求同学们做一个三角形，使它的三条高分别为：，1，，则（　　）‎ A．同学们做不出符合要求的三角形 B．能做出一个锐角三角形 C．能做出一个直角三角形 D．能做出一个钝角三角形 ‎【分析】设三条高线对应的边长分别为2，1，，最大边对应的角为θ，由余弦定理可得 cosθ=﹣＜0，得出结论．‎ ‎【解答】解：它的三条高分别为：，1，，‎ 设三角形的面积为S，则三条高线对应的边长不妨分别为2，1，，‎ 最大边对应的角为θ，‎ 由余弦定理可得：=4+1﹣4cosθ，‎ 可得：cosθ=﹣＜0，可得：θ 为钝角，‎ 故三角形为钝角三角形，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理得应用，在（0，π）上余弦值的符号，设出边长分别为2，1，是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由于二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．‎ ‎【解答】解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），‎ 所以⇒ac=4⇒c=，‎ 所以====‎ ‎ ‎ 由于 （当且仅当a=6时取等号）‎ 所以．‎ 故答案为：C ‎【点评】此题考查了二次函数的值域，变量的替换及利用均值不等式求最值．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13．（5分）已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是　　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（，）．‎ 化目标函数z=x﹣3y为y=，‎ 由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为　81　．‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=1，a=2‎ 满足条件k≤3，执行循环体，a=6×2+1=13．k=3‎ 满足条件k≤3，执行循环体，a=13×6+3=81．k=5‎ 此时，不满足条件k≤3，退出循环，输出a的值为81．‎ 故答案为：81．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an=（n∈N*）．若不等式λSn≥an﹣2016对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最小值为　　．‎ ‎【分析】由已知数列递推式求得数列首项和公差，进一步求得数列通项和前n项和，代入λSn≥an﹣2016，分离参数λ，然后利用二次函数求得最值得答案．‎ ‎【解答】解：由an=，得an2=S2n﹣1，‎ 令n=1，n=2，‎ 得，即，‎ ‎∵an≠0，解得a1=1，d=2，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎．‎ 由不等式λSn≥an﹣2016，得λn2≥2n﹣1﹣2016=2n﹣2017．‎ ‎∴．‎ 由二次函数的性质可知，当，即n=2017时，．‎ ‎∴实数λ的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在△ABC中若sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB，则sin2Atan2B最大值是　3﹣2　．‎ ‎【分析】由sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB，得，可得角C．‎ 则sin2Atan2B=sin（﹣2B）tan2B=cos2B×=cos2B×‎ 令1+cos2B=t，t∈（1，2），则cos2B×==﹣（t+）即可 ‎【解答】解：∵△ABC中，有sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB，∴‎ ‎⇒cosC=，即C=．‎ 则2A+2B=‎ 则sin2Atan2B=sin（﹣2B）tan2B=cos2B×=cos2B×‎ 令1+cos2B=t，t∈（1，2），则cos2B×=‎ ‎=﹣（t+）‎ 故t=时，sin2Atan2B最大值3﹣2．‎ 故答案为：3﹣2‎ ‎【点评】本题考查了三角恒等变形，正、余弦定理，不等式的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ 分数段 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；‎ ‎（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；‎ ‎（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；‎ ‎（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；‎ ‎（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，‎ 数学成绩在[60，70）的人数为：，‎ 数学成绩在[70，80）的人数为：，‎ 数学成绩在[80，90）的人数为：，‎ 所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．‎ ‎【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知△ABC中，是AC边上的中线．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求AC的长．‎ ‎【分析】（1）利用△ABD的面积与△CBD的面积相等，即，即可求；‎ ‎（2）用余弦定理，BD2+AD2﹣2•BD•AD•cos∠ADB=AB2，①，BC2=BD2+AD2﹣2•BD•AD•cos∠ADB，…②，①+②得AB2+BC2=2BD2+2AD2，求出AD，即可求AC的长．‎ ‎【解答】解：（1）因为BD是AC边上的中线，‎ 所以△ABD的面积与△CBD的面积相等，‎ 即，‎ 所以． …（5分）‎ ‎（2）在△ABC中，因为AB=1，，‎ 利用余弦定理，BD2+AD2﹣2•BD•AD•cos∠ADB=AB2，①，‎ BC2=BD2+AD2﹣2•BD•AD•cos∠ADB，…②‎ ‎①+②得AB2+BC2=2BD2+2AD2，所以，所以AC=1． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，m∈R．‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，求实数m，n的值；‎ ‎（2）若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据题意，根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出m、n的值；‎ ‎（2）根据题意得出，解不等式组即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，关于x的不等式x2+mx﹣1＜0的解集是{x|﹣2＜x＜n}，‎ 所以方程x2+mx﹣1=0的实数根为﹣2和n，‎ 由根与系数的关系得，‎ m=，n=；‎ ‎（2）对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，‎ 可得，‎ 解得﹣＜m＜0，‎ 即实数m的取值范围是（﹣，0）．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质应用问题，体现了转化的数学思想，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=atanB．‎ ‎（Ⅰ）求A﹣B的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos2B﹣sinA的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB，再利用正弦定理即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用二次函数的单调性、三角函数的单调性与值域即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB（1分）‎ 又由正弦定理得，sinBcosB=sinAsinB，（3分）‎ 所以cosB=sinA（4分）‎ 又△ABC是钝角三角形，所以． （6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知（8分）‎ 又由，所以，‎ 所以，（10分）‎ 又由于函数在上单调递增，‎ 所以cos2B﹣sinA的取值范围为．（12分）‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、二次函数的单调性、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知单调递增的等比数列{an}中，a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，‎ ‎（1）求an ‎（2）设bn=loan，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn．‎ ‎【分析】（1）设等比数列{an}的公比是q，利用等比数列的通项公式和等差中项的性质列出方程，结合条件求出等比数列的首项、公比，再求出an；‎ ‎（2）由（1）和对数的运算求出bn，利用等差数列的前n项和公式求出Sn．‎ ‎【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比是q，‎ 因为a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，‎ 所以，解得或，‎ 因为等比数列{an}是递增数列，所以，‎ 则an=2•2n﹣1=2n；‎ ‎（2）由（1）得，bn=loan=bn=lo2n=﹣n，‎ 所以Sn=b1+b2+…+bn=﹣（1+2+3+…+n）=﹣，‎ 即Sn=﹣．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式，等差中项的性质，以及等差数列的前n项和公式，考查方程思想和计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．‎ ‎（1）设bn=an+1﹣2an，求证{bn}是等比数列 ‎（2）设，求证{Cn}是等差数列 ‎（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式．‎ ‎【分析】（1）利用递推公式可把已知转化为an+1=4an﹣2an﹣1，从而有，从而可得数列{bn}为等比数列 ‎（2）由（1）可得bn=an+1﹣2an=3•2n﹣1，要证数列{cn}为等差数列⇔为常数，把已知代入即可 ‎（3）由（2）可求an=（3n﹣4）•2n﹣2，代入sn+1=4an+2可求sn+1，进而求出sn ‎【解答】解：（1）Sn+1=Sn+an+1=4an﹣1+2+an+1‎ ‎∴4an+2=4an﹣1+2+an+1‎ ‎∴an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）‎ 即：且b1=a2﹣2a1=3‎ ‎∴{bn}是等比数列 ‎（2）{bn}的通项bn=b1•qn﹣1=3•2n﹣1‎ ‎∴‎ 又 ‎∴{Cn}为等差数列 ‎（3）∵Cn=C1+（n﹣1）•d ‎∴‎ ‎∴an=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）‎ Sn+1=4•an+2=4•（3n﹣1）•2n﹣2+2=（3n﹣1）•2n+2‎ ‎∴Sn=（3n﹣4）2n﹣1+2（n∈N*）‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了利用递推公式转化“和”与“项”进而求数列的通项公式，采用构造证明等差（等比数列）也是数列中的重点，要注意掌握运用．‎ ‎　‎