【数学】2018届一轮复习人教A版 椭圆 教案
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
2.了解圆锥曲线的简单应用.
3.理解数形结合的思想.
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
答案
常数(大于|F1F2|)
1.判断正误
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.( )
答案:(1)× (2)×
2.已知椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P
到另一个焦点的距离为________.
解析:⇒|PF2|=7.
答案:7
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1
(a>b>0)
+=1
(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为____;短轴B1B2的长为____
焦距
|F1F2|=____
离心率
e=∈______
a,b,c
的关系
c2=______
答案
2a 2b 2c (0,1) a2-b2
3.(选修1-1P42第2(1)题改编)已知椭圆+=1的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
解析:因为椭圆+=1的焦点在x轴上.所以解得6
b>0).因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,所以解得故椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
5.(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
解析:由题意可得B(-a,),C(a,),F(c,0),则由∠BFC=90°得·=(c+a,-)·(c-a,-)=c2-a2+b2=0,化简得c=a,则离心率e===.
答案:
热点一 椭圆的定义及标准方程
【例1】 (1)过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )
A.2 B.4
C.8 D.2
(2)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】 (1)因为椭圆方程为4x2+y2=1,所以a
=1.根据椭圆的定义,知△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4.
(2)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,=,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6,故椭圆方程为+=1.
【答案】 (1)B (2)A
【总结反思】
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|;通过整体代入可求其面积等.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
(1)已知动圆M过定点A(-3,0)并且与定圆B:(x-3)2+y2=64相切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.-=1
(2)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
解析:(1)因为点A在圆B内,所以过点A的圆与圆B只能内切,因为B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|,所以动点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其方程为+=1,又a=4,c=3,b2=7,所以方程为+=1.故选A.
(2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a,⊥,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2.所以|PF1||PF2|=2b2,所以S△PF1F2=|PF1||PF2|=×2b2=b2=9.所以b=3.
答案:(1)A (2)3
热点二 椭圆的几何性质
考向1 求椭圆的离心率(或取值范围)
【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设E(0,m),则直线AE的方程为-+=1,由题意可知M(-c,m-),(0,)和B(a,0)三点共线,则=,化简得a=3c,则C的离心率e==.
【答案】 A
考向2 根据椭圆的性质求值或范围
【例3】 (1)(2017·安庆模拟)P为椭圆+=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则·的取值范围是( )
A.[0,15] B.[5,15]
C.[5,21] D.(5,21)
(2)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)·=(+)·(+)=(+)·(-)=2-2=||2-4,因为a-c≤||≤a+c,即3≤||≤5,所以·
的范围是[5,21].
(2)由椭圆方程知c==1,
所以F1(-1,0),F2(1,0).
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得y=,所以y0=±.
设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),
所以·=y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点,
所以-≤y1≤,·的最大值为.
【答案】 (1)C (2)B
【总结反思】
(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆+=1(a>b>0),有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·安徽淮南一模)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:(1)不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以|AF|+|BF|=|BF2|+|BF|=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=,又e∈(0,1),所以e∈.
(2)由题意,得A1(-2,0),A2(2,0),设P(x0,y0)(x0≠±2),则有+=1,整理,得=-.因为k=,k=,所以k·k
==-,又k∈[-2,-1],所以k∈,故选C.
答案:(1)A (2)C
热点三 直线与椭圆的位置关系
【例4】 (2016·四川卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
【解】 (Ⅰ)由已知,a=2b.
又椭圆+=1(a>b>0)过点P(,),故+=1,解得b2=1,所以椭圆E的方程是+y2=1.
(Ⅱ)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求椭圆C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解:(1)根据a2-b2=c2及题设知M,=,得2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).
故椭圆C的离心率为.
(2)设直线MN与y轴的交点为D,
由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
即
代入C的方程,得+=1.②
将①及a2-b2=c2代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,
故a=7,b=2.
1.涉及椭圆定义的题目,要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a”这个特征.充分利用定义.“回到定义中去”是一个很重要的思想方法.
2.求椭圆方程的方法
(1)直接法:根据所给条件判断焦点位置,并确定a,b的值,按标准方程写出方程,其中难点为确定a,b的值.
(2)待定系数法:先设出字母系数的方程,根据条件建立字母系数的方程并求解,然后代入所设方程而得方程,其中难点是建立字母系数的方程.
3.离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表达,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.
4.直线与圆锥曲线的关系问题,一般可以直接联立方程,把方程组转化成关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解.