安徽省肥东县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题（理）（共建班）

安徽省肥东县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题（理）（共建班）

肥东二中2019-2020学年度第二学期期中考试 高二年级 肥东二中与合肥六中共建班数学试卷（理）‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.对抛物线，下列描述正确的是（ ）‎ A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向上，焦点为 ‎3.若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. 5 D. 16‎ ‎4. 计算定积分等于（ ）‎ A. B. e C. D. ‎5.已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则的周长是（ ）‎ A. B. ‎6 ‎C. D. 12‎ ‎6.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎7.下列椭圆中最扁的一个是（ ）‎ A. B. C. D. ‎8.与曲线相切，且与直线垂直的直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎9.设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎10.设，若函数有大于零的极值点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎11.设，分别为曲线的左、右焦点，P是曲线与的一个交点，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎12.已知函数，则函数的大致图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 曲线在点处的切线斜率为______．‎ ‎14. 过点且与抛物线只有1个公共点的直线有          条 ‎15. 若函数，则          ．‎ ‎16. 已知椭圆的左顶点为A，过O点作一条直线MN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，，则_________‎ 三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17. 已知抛物线的焦点为F，准线方程是．‎ ‎（1）求此抛物线的方程 ‎（2）设点M在此抛物线上，且，若O为坐标原点，求的面积．‎ ‎18. 已知曲线与在第一象限内的交点为P．‎ ‎（1）求曲线在点P处的切线方程 ‎（2）求两条曲线所围图形如图所示阴影部分的面积S．‎ ‎19. 已知椭圆，在椭圆上求一点P，使P到直线l：的距离最短，并求出最短距离．‎ ‎20.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量吨与每吨产品的价格元吨之间的关系式为，且生产x吨的成本为元问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？利润收入成本 ‎21.已知函数 ‎ ‎（1）当时，求函数的最小值 ‎（2）求函数的单调区间和极值．‎ ‎ ‎ ‎22.已知动点P与点和点连线的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程 ‎（2）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线分别交于点M，N，求线段MN长度的最小值．‎ 肥东二中2019-2020学年度第二学期期中考试 高二年级 肥东二中与合肥六中共建班数学参考答案（理）‎ ‎1、【答案】C ‎【解析】【分析】 本题主要考查函数的导数的求解，运用函数的导数运算法则是解决本题的关键，属于基础题． 根据函数的导数公式进行判断即可． 【解析】 解：，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选C． ‎ ‎2、【答案】A ‎【解析】【分析】本题主要考查抛物线的几何性质． 化成标准方程即可求解 【解答】解：抛物线方程， 化成标准方程形式为， 可得其开口向上，焦点坐标为． 故选A． 3、【答案】B ‎【解析】【分析】本题考查了导数的基本概念，属于基础题． 平均变化率为，即可得出结果． 【解答】解：因为， 所以． 故选B． 4、【答案】B ‎【解析】【分析】本题考查了微积分基本定理，属于基础题，利用微积分基本定理即可得出． 【解答】解：， 定积分．‎ ‎5、【答案】C ‎【解析】【分析】本题考查椭圆的定义及标准方程，属于基础题． 由题意利用椭圆的定义可求得周长． 【解答】‎ 解：设椭圆的另一焦点为F， 则，‎ ， 由条件可得， 的周长是 ．‎ ‎6、【答案】A ‎【解析】解：数 ， 根据单调性与不等式的关系可得： ，即 所以函数的单调递减区间是 故选：A ‎． 利用函数的单调递减区间，求出导函数，解不等式 本题考查了导数在判断单调性中的应用，难度不大，属于常规题．‎ ‎7【答案】B ‎【解析】【分析】本题考查椭圆的性质和几何意义，属于简单题． 依次求出各个选项中椭圆的离心率，利用椭圆的离心率与椭圆的圆扁情况，即可求解． 【解答】‎ 解：由，得 由，得 由，得 由，得． 因为的离心率最大， 所以最扁的椭圆为． 故选B．‎ ‎ 8、【答案】C ‎【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题． 由导数的几何意义可得所求直线的斜率，根据两直线垂直可求得，即可求得切线方程． 【解答】解：设切点为， 由导数的几何意义可得所求直线的斜率， 又直线的斜率为， 所以 ‎， 解得，则，， 所以所求直线的方程为， 即， 故选C． 9、【答案】C ‎【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的应用，解题的关键是熟练掌握椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，属于基础题． 根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，即可求出的值． 【解答】解：由椭圆的定义可得， 由中位线定理可得轴，， 令，可得，即有，，则． 故选C． ‎ ‎10、【答案】A ‎【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题． 求导可得，令得，则，求解即可． 【解答】解：，要使函数有大于零的极值点，则． 令，得，则，即，所以故选A．‎ ‎ 11、【答案】B ‎【解析】【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用，属于简单题． 根据，分别为曲线的左、右焦点，设P是曲线与的第一象限的交点，进而求得三角形的三条边的长，再利用余弦定理即可求解． 【解答】解：曲线与曲线 的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点． 则，， 解得，． 又， 在中，由余弦定理可求得， 故选B． ‎ ‎12、（共建班）【答案】A ‎【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数单调性与最值计算，属于中档题． 判断的奇偶性和单调性，计算最值，从而得出函数图象． 【解答】 解：， 是偶函数，图象关于y轴对称，排除D； 当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，也即最小值，排除B，C． 故选：A． 13、【答案】2‎ ‎【解析】解：由已知得：， ． 故答案为：2‎ ‎． 先求出函数的导数，然后将代入即可． 本题考查导数的几何意义以及切线的斜率，属于基础题．‎ ‎14、【答案】3‎ ‎【解析】【分析】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 设直线方程与抛物线方程联立，对k分类讨论，结合二次方程判别式得到结论． 【解答】解：易知过点且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有1个公共点． 当斜率存在时，设直线方程为，与联立，整理得， 当时，方程是一元一次方程，有1个解，满足只有1个公共点 当时，由，可得，此时只有1个公共点， 所以满足题意的直线有3条． 15、【答案】0‎ ‎【解析】【分析】本题考查了函数导数的运算，属于基础题． 对函数进行求解，再求出，然后即可得的解析式，再进行后面的计算即可得． 【解答】解：因为，所以令，则，所以，即，，所以，， ‎16、（共建班）【答案】 ‎【解析】【分析】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题中的定值问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 根据题意设，从而即可得到关于y的值，经化简即可得． 【解答】 解；设，则，由题意知， 所以， 又点M在椭圆上，所以 ‎， 代入上式得． 故答案为．‎ ‎17、【答案】解：因为抛物线的准线方程为， 所以，得， 所以抛物线的方程为．‎ 设， 因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义，知，得．‎ 将代入方程，得，‎ 所以的面积为．‎ ‎【解析】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题． 利用抛物线的简单性质得出：抛物线准线与y轴的距离为，所以最后写出抛物线的方程即可； 先设，利用抛物线的定义得到点M到抛物线焦点F的距离为求得，再将代入抛物线求出，最后利用三角形面积公式求解即可．‎ ‎18、【答案】解：由题可知，曲线与在第一象限内的交点为．‎ 的导函数， 则，‎ 又切点的坐标为，‎ 所以曲线在点P处的切线方程为，即．‎ 由曲线与，可得两曲线的交点坐标为，，‎ 所以两条曲线所围图形的面积．‎ ‎【解析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 先通过解方程组求交点的坐标，再根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可； 先确定积分区间，再确定被积函数，从而可求由两条曲线曲线：与：所围图形的面积． ‎ ‎19、【答案】解：设与直线平行且与椭圆相切的直线为，‎ 联立方程得9y22，‎ 令22，‎ 解得或，‎ 与直线l距离最近的切线方程为，‎ 最小距离为．‎ 由得 即．‎ ‎【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，属基础题目，由直线与椭圆相离，设椭圆的切线然后求切线方程，直线l与切线间的距离即为最短距离．‎ ‎20、【答案】解：每月生产x吨时的利润为 ．‎ 由，‎ 解得，舍去．‎ 因为在内只有一个点使， 且时，；时，； 故就是最大值点， 且最大值为元．‎ 所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．‎ ‎【解析】‎ 本题考查利用导数解决实际问题，利用导数求最值，考查函数模型的应用，属于中档题． 根据条件得到利润函数，再利用导数求出最大值及相应的x的值即可．‎ ‎21.（共建班）【答案】解：函数的定义域为 当时，，， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为4．‎ 当时，，因此的单调递增区间为，这时函数无极值 当时，．‎ 当x变化时，，的变化情况如下：‎ x ‎0‎ 极小值 因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为 且当时，函数取得极小值．‎ ‎【解析】本题主要考查导数的问题． 先利用求导公式求出导函数，再利用基本不等式求最小值； ‎ 先求出导函数，再对a进行讨论当时，函数为增函数，没有极值；当时，列出表格即可求得单调区间和极值．‎ ‎22.(共建班)【答案】解：设，由题意知，即，‎ 化简得曲线C的方程为．‎ 由题意知直线AQ的斜率存在且不为零，设其方程为．‎ 由知，得，‎ 所以直线BQ的方程为．‎ 将分别代入直线AQ，BQ的方程，得，，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号，所以线段MN的长度的最小值为．‎ ‎【解析】本题考查动点轨迹方程的求法及两点间的距离公式，属于中档题， 设，由两直线的斜率之积为，直接整理即可， 设AQ的直线方程为，从而得到BQ的方程为 ‎． 进而渴求M，N两点的坐标，得到的表达式，利用基本不等式即可求解， ‎