【数学】2019届一轮复习人教A版 指数与指数函数 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 指数与指数函数 学案

第8讲　指数与指数函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．了解指数函数模型的实际背景．‎ ‎2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．‎ ‎3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．‎ ‎4．知道指数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，6‎ ‎2015·天津卷，7‎ ‎2015·山东卷，14‎ ‎2015·江苏卷，7‎ ‎1．指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查．‎ ‎2．指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查．‎ ‎3．指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等．‎ 分值：5分 ‎1．根式 ‎(1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果__xn＝a__，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N*‎ 当n是奇数时，正数的n次方根是一个__正数__，负数的n次方根是一个__负数__‎ 零的n次方根是零 当n是偶函数时，正数的n次方根有__两个__，这两个数互为__相反数__‎ ‎±(a>0)‎ 负数没有偶次方根 ‎(2)两个重要公式 ‎①＝ ‎②()n＝__a__(注意：a必须使有意义)．‎ ‎2．有理数的指数幂 ‎(1)幂的有关概念 ‎①正分数指数幂：a＝！！！　　###(a>0，m，n∈N*，且n>1)；‎ ‎②负分数指数幂：a－＝！！！　　###＝！！！　　###(a>0，m，n∈N*，且n>1)．‎ ‎③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__.‎ ‎(2)有理数指数幂的性质 ‎①aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈Q)；‎ ‎②(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q)；‎ ‎③(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q)．‎ ‎3．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1‎ ‎00时，__y>1__；‎ x<0时，__00时，__01__‎ 在R上是__增函数__‎ 在R上是__减函数__‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)与()n都等于a(n∈N*)．(　×　)‎ ‎(2)‎2a·2b＝‎2a b．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)‎ ‎(4)若am0且a≠1)，则m1时，mn.‎ ‎(5)正确．y＝2－x＝x，根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数．‎ ‎2．函数f(x)＝的定义域是(　A　)‎ A．(－∞，0]　　　 B．[0，＋∞)‎ C．(－∞，0)　　　 D．(－∞，＋∞)‎ 解析　∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0.‎ ‎3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　A　)‎ A．(1,5)　　　 B．(1,4)　　　　‎ C．(0,4)　　　 D．(4,0)‎ 解析　当x＝1时，f(x)＝5.‎ ‎4．不等式2x2－x<4的解集为__{x|－10，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(1，a)，(0,1)，和一条渐近线y＝0.‎ ‎(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象．‎ ‎(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．‎ ‎【例2】 (1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　D　)‎ ‎(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是__[－1,1]__.‎ 解析　(1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，故选D．‎ ‎(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，‎ 由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．‎ 三　指数函数的性质及应用 指数函数性质问题的类型及解题思路 ‎(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．‎ ‎(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．‎ ‎(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．‎ ‎【例3】 已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；‎ ‎(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．‎ 解析　(1)∵f(x)＝ex－x，‎ ‎∴f′(x)＝ex＋x，‎ ‎∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数．‎ ‎∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．‎ ‎(2)存在，由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立 ‎⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立 ‎⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立 ‎⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立 ‎⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，‎ 又2≥0，∴2＝0，∴t＝－，∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．‎ ‎1．(2018·山东德州一模)已知a＝，b＝，c＝，则(　D　)‎ A．ac，∴b0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)＝(　A　)‎ A．1　　　 B．a　　　‎ C．2　　　 D．a2‎ 解析　∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0，又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A．‎ ‎3．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　B　)‎ A．(0，＋∞)　　　 B．(1，＋∞)　　　　‎ C．[1，＋∞)　　　 D．(－∞，＋∞)‎ 解析　令2x＝t(t>0)，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1．∴所求值域为(1，＋∞)，故选B．‎ ‎4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　B　)‎ A．　　　 B．　　　　‎ C．2　　　 D．4‎ 解析　∵在[0,1]上y＝ax与y＝loga(x＋1)具有相同的单调性，∴f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调，∴f(0)＋f(1)＝a，‎ 即a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化简得1＋loga2＝0，解得a＝.‎ 易错点　忽视对含参底数的讨论 错因分析：对数函数、指数函数的底数含字母参数时，要分底数大于1和大于0小于1讨论．‎ ‎【例1】 已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)在R上为增函数，求a的取值范围．‎ 解析　①当a>1时，ax在R上为增函数，y＝a－x＝x在R上为减函数，∴y＝ax－a－x为增函数．‎ ‎∵f(x)为增函数，∴>0，解得a>3或a<－3，‎ 又∵a>1，∴a>3.‎ ‎②当00，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　D　)‎ A．(0,1)∪(1，＋∞)　　　 B．(0,1)‎ C．(1，＋∞)　　　 D． 解析　方程|ax－1|＝‎2a(a>0，且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝‎2a有两个交点．‎ ‎①当01时，如图②，‎ 而y＝‎2a>1不符合要求．‎ ‎∴0f(c)>f(b)，‎ 结合图象知00，‎ ‎∴0<‎2a<1．‎ ‎∴f(a)＝|‎2a－1|＝1－‎2a<1，‎ ‎∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－‎2a>‎2c－1，‎ ‎∴‎2a＋‎2c<2，故选D．‎ 二、填空题 ‎7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是__(0,1)__.‎ 解析　因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)>f(－3)，‎ 所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以>1，解得01)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a＝__3__.‎ 解析　y＝a2x＋2ax－1(a>1)，令ax＝t，则y＝t2＋2t－1，此二次函数图象开口向上，对称轴为t＝－1，‎ 又a>1，所以当t＝a，即x＝1时取最大值，所以a2＋‎2a－1＝14，‎ 解得a＝3.‎ ‎9．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是__①③④__(只需写出所有真命题的编号)．‎ ‎①函数f(x)的图象关于原点对称；‎ ‎②函数f(x)在R上不具有单调性；‎ ‎③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；‎ ‎④当01时，函数f(|x|)的最大值是0.‎ 解析　∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当01时，f(|x|)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)取最小值为0，⑤假．综上，真命题是①③④.‎ 三、解答题 ‎10．化简：(1)(a>0，b>0)；‎ ‎(2) －＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.‎ 解析　(1)原式＝ ‎＝a＋＋－1·b1＋－2－＝ab－1．‎ ‎(2)原式＝－＋－－＋1‎ ‎＝＋500－10(＋2)＋1‎ ‎＝＋10－10－20＋1‎ ‎＝－.‎ ‎11．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.‎ ‎(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)有最大值3，求a的值．‎ 解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．‎ ‎(2)令g(x)＝ax2－4x＋3＝a2＋3－，∵f(x)有最大值，∴g(x)应有最小值，且g(x)min＝3－(a>0)，‎ ‎∴f(x)max＝3－＝3，∴3－＝－1，∴a＝1．‎ ‎12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.‎ 解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.‎ 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.‎ 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．‎ 又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0‎ 等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得解集为t.‎