【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版8-4空间中的平行关系学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版8-4空间中的平行关系学案

‎§8.4　空间中的平行关系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.‎ 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.‎ ‎1.平行直线 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.‎ 基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.‎ ‎2.直线与平面平行 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅‎ a⊂α，b⊄α，‎ a∥b a∥α a∥α，a⊂β，‎ α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅‎ a∥b ‎3.平面与平面平行 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅‎ a⊂β，b⊂β，‎ a∩b＝P，‎ a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 概念方法微思考 ‎1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？‎ 提示　不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.‎ ‎2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？‎ 提示　平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(　×　)‎ ‎(2)平行于同一条直线的两个平面平行.(　×　)‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　×　)‎ ‎(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　√　)‎ ‎(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)‎ ‎(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)‎ A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案　D 解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.‎ ‎3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.‎ 答案　平行 解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，‎ 在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，‎ 所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，‎ 而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，‎ 所以BD1∥平面ACE.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.(2019·荆州模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是(　　)‎ A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，n⊂α，则m∥n C.若m∥α，n⊥α，则m∥n D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案　D 解析　对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.‎ ‎5.若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)‎ A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 答案　A 解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.‎ ‎6.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：‎ ‎①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；‎ ‎③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.‎ 其中能推出α∥β的条件是______.(填上所有正确的序号)‎ 答案　②④‎ 解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；‎ 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；‎ 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.‎ 题型一　直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 例1　如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.‎ 求证：GF∥平面ADE.‎ 证明　方法一　如图，取AE的中点H，连接HG，HD，‎ 又G是BE的中点，‎ 所以GH∥AB，且GH＝AB.‎ 又F是CD的中点，‎ 所以DF＝CD.‎ 由四边形ABCD是矩形得 AB∥CD，AB＝CD，‎ 所以GH∥DF，且GH＝DF，‎ 从而四边形HGFD是平行四边形，‎ 所以GF∥DH.‎ 又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，‎ 所以GF∥平面ADE.‎ 方法二　如图，取AB的中点M，连接MG，MF.‎ 又G是BE的中点，可知GM∥AE.‎ 又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，‎ 所以GM∥平面ADE.‎ 在矩形ABCD中，‎ 由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.‎ 又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE.‎ 所以MF∥平面ADE.‎ 又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，‎ 所以平面GMF∥平面ADE.‎ 因为GF⊂平面GMF，‎ 所以GF∥平面ADE.‎ 命题点2　直线与平面平行的性质 例2　(2019·东三省四市教研联合体模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.‎ ‎(1)证明：EF∥平面PDC；‎ ‎(2)求点F到平面PDC的距离.‎ ‎(1)证明　取PC的中点M，连接DM，MF，‎ ‎∵M，F分别是PC，PB的中点，‎ ‎∴MF∥CB，MF＝CB，‎ ‎∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴DE∥CB，DE＝CB，‎ ‎∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，‎ ‎∴EF∥DM，‎ ‎∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，‎ ‎∴EF∥平面PDC.‎ ‎(2)解　∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，‎ 在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，‎ ‎∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，‎ ‎∴CB⊥平面PAB，‎ ‎∴CB⊥PB，则PC＝，‎ ‎∴PD2＋DC2＝PC2，‎ ‎∴△PDC为直角三角形，其中PD⊥CD，‎ ‎∴S△PDC＝×1×＝，‎ 连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，‎ 设E到平面PDC的距离为h，‎ ‎∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ 则×h×＝×1×××1，‎ ‎∴h＝，∴F到平面PDC的距离为.‎ 思维升华　判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点).‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).‎ ‎(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).‎ 跟踪训练1　(2019·沈阳联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且＝＝λ(λ≠0).‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)当λ＝时，求点D到平面AFB的距离.‎ ‎(1)证明　∵＝＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC.‎ ‎∵BC∥AD，∴EF∥AD.‎ 又EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD.‎ ‎(2)解　∵λ＝，‎ ‎∴F是PC的中点，‎ 在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，‎ ‎∴PC＝＝，‎ ‎∴PF＝PC＝.‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA⊂平面PAC，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.‎ 又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，‎ 又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，‎ ‎∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝PC＝.‎ 连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，‎ 在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝，AB＝1，‎ ‎∴S△ABF＝，‎ 又S△ABD＝1，点F到平面ABD的距离为1，‎ ‎∴由VF－ABD＝VD－AFB，得×1×1＝×d×，‎ 解得d＝，‎ 即点D到平面AFB的距离为.‎ 题型二　平面与平面平行的判定与性质 例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，‎ ‎∴GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面.‎ ‎(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，‎ ‎∴A1G∥EB，A1G＝EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，‎ ‎∴A1E∥GB.‎ 又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 引申探究 ‎1.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 证明　如图所示，连接A1C，AC1，交于点M，‎ ‎∵四边形A1ACC1是平行四边形，‎ ‎∴M是A1C的中点，连接MD，‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴A1B∥DM.‎ ‎∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，‎ ‎∴DM∥平面A1BD1，‎ 又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，‎ ‎∴四边形BDC1D1为平行四边形，‎ ‎∴DC1∥BD1.‎ 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，‎ ‎∴DC1∥平面A1BD1，‎ 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，‎ 因此平面A1BD1∥平面AC1D.‎ ‎2.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值.‎ 解　连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1.‎ 由平面BC1D∥平面AB1D1，‎ 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，‎ 所以BC1∥D1O，‎ 则＝＝1.‎ 同理，AD1∥C1D，‎ 又AD∥C1D1，‎ 所以四边形ADC1D1是平行四边形，‎ 所以AD＝D1C1，‎ 又AC＝A1C1，‎ 所以＝，‎ 所以＝1，即＝1.‎ 思维升华　证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义.‎ ‎(2)面面平行的判定定理.‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.‎ ‎(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.‎ 跟踪训练2　(2018·包头质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点.‎ ‎(1)求证：平面BDM∥平面EFC；‎ ‎(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积.‎ ‎(1)证明　如图，设AC与BD交于点N，‎ 则N为AC的中点，连接MN，‎ 又M为棱AE的中点，‎ ‎∴MN∥EC.‎ ‎∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，‎ ‎∴MN∥平面EFC.‎ ‎∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，‎ 且BF＝DE，‎ ‎∴BF∥DE且BF＝DE，‎ ‎∴四边形BDEF为平行四边形，‎ ‎∴BD∥EF.‎ ‎∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，‎ ‎∴BD∥平面EFC.‎ 又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM，‎ ‎∴平面BDM∥平面EFC.‎ ‎(2)解　连接EN，FN.‎ 在正方形ABCD中，AC⊥BD，‎ 又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.‎ 又BF∩BD＝B，BF，BD⊂平面BDEF，‎ ‎∴AC⊥平面BDEF，‎ 又N是AC的中点，‎ ‎∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，‎ ‎∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝，‎ ‎∴三棱锥A－CEF的体积为.‎ ‎‎ 题型三　平行关系的综合应用 例4　如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.‎ ‎(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；‎ ‎(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.‎ ‎(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，‎ ‎∴EF∥HG.‎ ‎∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，‎ ‎∴EF∥平面ABD.‎ 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，‎ ‎∴AB∥平面EFGH.‎ 同理可证，CD∥平面EFGH.‎ ‎(2)解　设EF＝x(0

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