宁夏育才中学2020届高三第一次月考理科数学试题

宁夏育才中学2020届高三第一次月考理科数学试题

宁夏育才中学高三年级第一次月考 理科数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合A＝{x|x＜4}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则（∁RA）∩B等于（　　）‎ A. {0,1,2,3} B. {5,6} C. {4,5,6} D. {3,4,5,6}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的补运算以及交运算，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据集合的运算，容易知.‎ 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补运算和交运算，属基础题.‎ ‎2.设集合A＝{﹣1,0,1}，B＝{（x,y）|x∈A，y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 9 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的定义，写出其中的元素，即可求得.‎ ‎【详解】根据集合的定义，‎ 容易知，集合中的元素为 合计9个元素，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对集合的理解，以及集合元素的求解，属基础题.‎ ‎3.已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+2≤sinx，则命题p的否定是（　　）‎ A. 不存在x0∈R，使 B. ‎ C. ‎ D. ∀x∈R，x2﹣2x+2＞sinx ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，即可容易选择.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题，且结论要进行否定，‎ 容易得：命题p的否定是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.‎ ‎4.下列说法正确的是（　　）‎ A. 命题p：，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＜0‎ B. 在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的既不充分也不必要条件 C. 若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 D. 命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝‎1”‎的逆否命题为“x≠1，则x2﹣3x+2≠‎‎0”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题否定的求解，且命题真假的判定，逆否命题的求解和充要条件的判断，结合选项，进行逐一判断即可.‎ ‎【详解】对：命题的否定是，故错误；‎ 对：在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的充要条件，故错误；‎ 对：命题p∧q为假命题，则至少有一个为假命题，故错误；‎ 对：“若x2﹣3x+2＝0，则x＝‎1”‎的逆否命题为“x≠1，则x2﹣3x+2≠0，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查逻辑与命题的基础知识，属综合性基础题.‎ ‎5.已知，则“”是“”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出两个不等式所表示的区域，根据其中的包含关系得出正确选项.‎ ‎【详解】不等式表示圆内和圆上，不等式表示直线的右下方.画出图像如下图所示，由图可知，点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要条件的判断.属于基础题.‎ ‎6.函数的图象与直线的交点有几个 （ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由函数的概念，每一个自变量 的值都有唯一的函数值与之对应，因此若函数定义域包含则对应的函数值只有一个，即图像只有一个交点，若函数定义域不包含则图像无交点，故选C 考点：函数的概念 ‎7.函数f（x）的单调增区间为（　　）‎ A. [2，+∞） B. C. D. （﹣∞，﹣1]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】令，‎ 故在区间上单调递减，在上单调递增；‎ 又函数在定义域上单调递增，‎ 故可得函数f（x）在区间上单调递增.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数单调性的判断，属基础题.‎ ‎8.若是上周期为5的奇函数，且满足，则 A. －1 B. ‎1 ‎C. －2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵f(x)是R上周期为5的奇函数 ‎∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2‎ f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,‎ f(3)-f(4)=-2+1=-1‎ ‎9.已知函数，对任意的总有，且，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，f（﹣x）+f（x）=0可知f（x）是奇函数，‎ ‎∵，g（﹣1）=1，‎ 即f（﹣1）=1+1=2‎ 那么f（1）=﹣2．‎ 故得f（1）=g（1）+1=﹣2，‎ ‎∴g（1）=﹣3，‎ 故选：B ‎10.已知，则在下列区间中，有实数解的是（ ）‎ A. （－3，－2） B. （－1，0） C. （2，3） D. （4，5）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：在区间（a，b）有实数解,则有f(a)·f(b)<0,‎ 据此计算，故选B．‎ 考点：本题主要考查函数零点存在性定理．‎ 点评：简单题，解答此类问题，可利用代数法，也利用数形结合法．‎ ‎11.已知函数f（x）＝ax﹣4+1（a＞0，且a≠1）的图象经过定点A，而点A在幂函数g（x）＝xα的图象上，则α＝（　　）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出恒过的定点，代入幂函数即可求得.‎ ‎【详解】容易知恒过定点，‎ 代入幂函数可得，‎ 解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数恒过的定点，以及幂函数解析式的求解.‎ ‎12.已知f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为 ( )‎ A. 6 B. ‎13 ‎C. 22 D. 33‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由得，设，则，，所以当时，．故选B．‎ ‎【点睛】在求函数的最值（或其他问题）时，一定要注意函数的定义域，问题都应在定义域求解，否则易出错．本题如果不求函数的定义域，易得最大值为22．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.若a＝log23，则‎2a+2﹣a＝___．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数式可容易求得，代值即可解得.‎ ‎【详解】因为，故可得，则，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数式和指数式的计算，属基础题.‎ ‎14.幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值为___‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出幂函数的解析式，待定系数求得解析式，再求函数值.‎ ‎【详解】设幂函数的解析式，‎ 故可得，解得，‎ 故，‎ 故.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，属基础题.‎ ‎15.若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 无论a取何值，函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)都具有单调性，因而将x=1和x=0可得到最大与最小值，代入即可求解．‎ ‎【详解】函数f(x)＝ax＋loga(x＋1) [0,1]上有单调性 将x=1和x=0代入可得最大值与最小值 所以 ‎ 解得 ‎【点睛】本题考查了对数单调性的简单应用，属于基础题．‎ ‎16.已知函数是定义在实数集R上奇函数，且在区间上是单调递增，若，则的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数中的变量化简，再确定函数f（x）是在实数集R 上单调递增，利用函数的单调性，即可求得x的取值范围．‎ ‎【详解】∵lg2•lg50+（lg5）2=（1﹣lg5）（1+lg5）+（lg5）2=1‎ ‎∴f（lg2•lg50+（lg5）2）+f（lgx﹣2）＜0，可化f（1）+f（lgx﹣2）＜0，‎ ‎∵函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，‎ ‎∴f（lgx﹣2）＜f（﹣1）‎ ‎∵函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调递增，‎ ‎∴函数f（x）是在实数集R上单调递增 ‎∴lgx﹣2＜﹣1‎ ‎∴lgx＜1‎ ‎∴0＜x＜10‎ 故答案为（0，10）．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，解题的关键是确定函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知命题：“∃x∈[﹣1,1]，使等式m＝x2﹣x成立”是真命题．‎ ‎（1）求实数m的取值集合M；‎ ‎（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）M＝[,2]；（2）[0,2]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的值域，即可求得的取值范围；‎ ‎（2）对参数进行分类讨论，根据集合之间的关系，即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意知，方程x2﹣x﹣m＝0在[﹣1,1]上有解，‎ 即m的取值范围为函数y＝x2﹣x＝（x）2在[﹣1，1]上的值域，‎ ‎∴M＝[,2]． ‎ ‎（2）①当a＝1时，解集N为空集，满足题意；‎ ‎②当a＞1时，a＞2﹣a，‎ 此时集合N＝{x|2﹣a＜x＜a}，‎ 若满足题意，则只需且，解得， ‎ 与取交集可得 ‎③当a＜1时，a＜2﹣a，‎ 此时集合N＝{x|a＜x＜2﹣a}，‎ 若满足题意，则只需且，解得 与a＜1取交集可得.‎ 综上：a的取值范围是[0,2]．‎ ‎【点睛】本题考查由集合之间的关系求参数的范围，属基础题.‎ ‎18.已知函数f（x）=ax–1（x≥0）．其中a>0且a≠1．‎ ‎（1）若f（x）的图象经过点，求a的值；‎ ‎（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意函数 图象过点，代入即可求解得值；‎ ‎（2）由函数，可得，再分两种情况讨论，即可求解函数的值域.‎ ‎【详解】（1）由题意函数 图象过点，‎ 所以，则；‎ ‎（2）f（x）=ax–1（x≥0），‎ 由x≥0得x–1≥–1，‎ 当01时，ax–1≥a–1，所以f（x）的值域为[a–1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的定义，以及指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的定义和指数函数的图象与性质，合理运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎19.设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．‎ ‎（1）求a的值及f（x）的定义域；‎ ‎（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）a＝2，定义域为（﹣1,3）；（2）最大值为f（1）＝2，最小值为f（0）＝log23．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，代值计算即可求得，再根据真数大于零，求得函数定义域；‎ ‎（2）先求解的值域，再据此求函数的值域.‎ ‎【详解】（1）由题意知，，‎ 解得﹣1＜x＜3；‎ 故f（x）的定义域为（﹣1,3）；‎ 再由f（1）＝2得，‎ loga（1+1）+loga（3﹣1）＝2；‎ 故a＝2.‎ 综上所述：函数定义域为，.‎ ‎（2）f（x）＝log2（1+x）（3﹣x），‎ ‎∵x[0,]，‎ ‎∴（1+x）（3﹣x）[3,4]，‎ 故f（x）在区间[0,]上的最大值为f（1）＝2；‎ f（x）在区间[0,]上的最小值为f（0）＝log23．‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数定义域的求解，函数最值得求解，属综合基础题.‎ ‎20.已知幂函数为偶函数，在区间上是单调增函数，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设函数，若恒成立，求实数q的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域．（用a表示）‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）的定义域为，的值域为．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值和最小值，令，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由为增函数，从而求得函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数的定义域，求函数的值域，函数的定义域，即的定义域，把的解析式代入后整理，化为关于的二次函数，对分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数的值域．‎ 试题解析：（Ⅰ）令，显然在上单调递减，故，‎ 故，即当时，，（在即时取得）‎ ‎，（在即时取得）‎ ‎(II)由的定义域为，由题易得：，‎ 因为，故的开口向下，且对称轴，于是：‎ 当即时，的值域为（；‎ 当即时，的值域为 考点：复合函数的单调性；函数的值域．‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C参数为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为；‎ ‎（1）写出曲线C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎（2）设点P（m,0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA||PB|＝1，求实数m的值.‎ ‎【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝1，，（t为参数）；（2）或1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用消参即可求得曲线的普通方程；再将直线的极坐标方程化为直角方程，再写出其参数方程即可；‎ ‎（2）联立直线的参数方程和曲线的普通方程，根据直线参方中参数的几何意义即可求得.‎ ‎【详解】（1）∵曲线C的参数为（α为参数），‎ ‎∴曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，‎ ‎∵直线l的极坐标方程为，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为xy﹣m＝0，‎ ‎∴直线l的参数方程为，（t为参数）．‎ ‎（2）把，（t为参数）代入（x﹣1）2+y2＝1，‎ 得0，‎ 由0，‎ 解得﹣1＜m＜3，‎ ‎∴t1t2＝m2﹣‎2m，‎ ‎∵|PA||PB|＝1＝|t1t2|，‎ ‎∴m＝1或m＝1，‎ ‎∵﹣1＜m＜3，‎ ‎∴实数m的值为或1．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程和普通方程之间的转化以及极坐标方程向直角方程的转化，以及利用参数的几何意义求参数值.‎ ‎23.已知不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3解集为{x|a＜x＜b}；‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若正实数x，y满足x+y＝ab+2且不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0对任意的x，y恒成立，求实数c的取值范围；‎ ‎【答案】（1）a＝﹣1，b＝1；（2）﹣9≤c≤1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，即可求得绝对值不等式的解集，比照数据即可求得；‎ ‎（2）根据（1）中所求，利用均值不等式即可求得范围.‎ ‎【详解】（1）当x≥1时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化为（x﹣1）+（2x+1）＜3，‎ 解得x＜1，此时无解；‎ 当x＜1时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化为﹣（x﹣1）+（2x+1）＜3，‎ 解得x＜1，此时x＜1；‎ 当时，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化为﹣（x﹣1）﹣（2x+1）＜3，‎ 解得x＞﹣1，此时；‎ 故解集为{x|﹣1＜x＜1}，‎ ‎∴a＝﹣1，b＝1；‎ ‎（2）由（1）有，x+y＝1，‎ 不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0可化为xy（c2+‎8c）≤4x+y，‎ 即，‎ 又，‎ 当且仅当y＝2x时取等号，‎ ‎∴c2+‎8c≤9，‎ 解得﹣9≤c≤1．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及应用均值不等式求解最值，属综合基础题.‎ ‎ ‎