2009年高考试题—数学文（江西卷）解析版

2009年高考试题—数学文（江西卷）解析版

绝密★启用前 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。‎ 考生注意：‎ 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ 2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。‎ 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 参考公式 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件，相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 ‎ ‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列命题是真命题的为 ‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 ‎ 答案：A ‎【解析】由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A. ‎ ‎2．函数的定义域为 A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案：D ‎【解析】由得或,故选D. ‎ ‎3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A．50 B．‎45 C．40 D．35‎ 答案：B ‎【解析】仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选B.‎ ‎4．函数的最小正周期为 A． B． C． D． ‎ 答案：A ‎【解析】由可得最小正周期为,故选A.‎ ‎5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．‎ 答案：C ‎【解析】,故选C.‎ ‎6．若能被整除，则的值可能为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎【解析】,‎ 当时,能被7整除, 故选C. ‎ ‎7.设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ‎ ‎ A． B． C． D．3‎ 答案：B ‎【解析】由有,则,故选B.‎ ‎8．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 ‎ A. 18 B. ‎24 ‎‎ C. 60 D. 90‎ 答案：C ‎【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C ‎9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为 ‎. . ∥截面 ‎ ‎. . 异面直线与所成的角为 答案：C ‎【解析】由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确； ‎ 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；‎ 综上是错误的，故选.‎ ‎10．甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A． B． C． D．‎ 答案：D ‎【解析】所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选. ‎ ‎11．如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ‎ ‎ 答案：B ‎【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点 在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.‎ ‎12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 答案：A ‎【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或，‎ 当时，由与相切可得，‎ 当时，由与相切可得，所以选.‎ 绝密★启用前 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ 文科数学 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上 ‎ ‎13．已知向量，， ，若 则= ．‎ 答案： ‎ ‎【解析】因为所以.‎ ‎14．体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ．‎ 答案：‎ ‎【解析】设球的半径为，依题设有，则，球的体积为 ‎ ‎ ‎15．若不等式的解集为区间，且,则 ．‎ 答案：‎ ‎【解析】由数形结合，半圆在直线之下必须，则直线过点，则 ‎ ‎16．设直线系,对于下列四个命题：‎ ‎ ．存在一个圆与所有直线相交 ‎ ‎ ．存在一个圆与所有直线不相交 ‎ ．存在一个圆与所有直线相切 ‎ ．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．‎ 答案：ABC ‎ ‎【解析】因为所以点到中每条直线的距离 即为圆:的全体切线组成的集合,所以存在圆心在,半径大于1的圆与中所有直线相交, 也存在圆心在,半径小于1的圆与中所有直线均不相交, 也存在圆心在,半径等于1的圆与中所有直线相切,‎ 故ABC正确,‎ 又因中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D错误,‎ 故命题中正确的序号是ABC ‎ 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ 设函数． ‎ ‎（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围． ‎ 解：(1) , ‎ ‎ 因为,, 即 恒成立, ‎ ‎ 所以 , 得，即的最大值为 ‎ (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;‎ ‎ 所以 当时,取极大值 ; ‎ ‎ 当时,取极小值 ;‎ ‎ 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：‎ ‎(1) 该公司的资助总额为零的概率；‎ ‎（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．‎ 解：（1）设表示资助总额为零这个事件，则 ‎（2）设表示资助总额超过15万元这个事件，则 ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在△中，所对的边分别为，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求,，．‎ 解：（1）由 得 ‎ ‎ 则有 =‎ ‎ 得 即.‎ ‎（2） 由 推出 ；而,‎ 即得,‎ ‎ 则有 解得 ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ 解：方法（一）：‎ ‎（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.‎ 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，‎ 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.‎ ‎（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，‎ 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，‎ 所以 就是与平面所成的角，‎ 且 ‎ ‎ 所求角为 ‎（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。‎ 方法二：‎ ‎（1）同方法一；‎ ‎（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，‎ 设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，‎ 所求角的大小为. ‎ ‎（3）设所求距离为，由，得：‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 数列的通项，其前n项和为. ‎ ‎(1) 求; ‎ ‎(2) 求数列｛｝的前n项和.‎ 解: (1) 由于,故 ‎,‎ 故 ()‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 两式相减得 故 ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点. ‎ ‎（1）求圆的半径;‎ ‎（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，‎ G ‎．‎ 证明：直线与圆相切．‎ ‎ ‎ 解: （1）设，过圆心作于,交长轴于 由得,‎ 即 (1) ‎ 而点在椭圆上, (2)‎ 由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）‎ ‎(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)‎ 则,即 (4)‎ 解得 将(3)代入得,则异于零的解为 设,，则 则直线的斜率为：‎ 于是直线的方程为: ‎ 即 则圆心到直线的距离 ‎ 故结论成立.‎