江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2019届江苏省南京金陵中学
高三第一学期期中考试数学试题此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题
1．设集合A＝xlog2x<2，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A∩B＝_____________．
2．已知复数z=(1+i)(1+3i)，其中i是虚数单位，则z的值是_____________．
3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．
4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．
5．如图是一个算法的流程图，则输出a的值是_____________．
6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，则实数p的值为_____________．
7．已知sin(x+π4)=35，则sin2x＝_____________．
8．设a＞0，若an＝且数列{an}是递增数列，则实数a的范围是__________．
9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，则2a＋3b的值是_______．
10．若函数f(x)=-12x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调，则t的取值范围是____．
11．如下图，在中， ．若，则__________．
12．已知函数f(x)=2x+1，x≤0lnx，x>0，则关于x的方程f[f(x)]=3的解的个数为_____________．
13．已知正数a，b，c满足b2+2(a+c)b-ac=0，则ba+c的最大值为_____________．
14．若存在正数x，y，使得(y-2ex)(lny-lnx)s+x=0，其中e为自然对数的底数，则实数s的取值范围是_____________．
二、解答题
15．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：
（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．
16．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=-13，sin(α+β)=4-26．
（1）求tan2β的值；
（2）求α的值．
17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝103米，记∠BHE＝θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．
18．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)．
（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；
（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．
（图1） （图2）
19．设函数f(x)=exx3-3kx-klnx，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．
（1）当k≤0时，求f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；
（3）证明：对任意给定的实数k，存在x0(x0>0)，使得f(x)在区间(x0，+∞)上单调递增．
20．若数列an同时满足：①对于任意的正整数n，an+1≥an恒成立；②若对于给定的正整数k，an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列an是“R(k)数列”．
（1）已知an=2n-1，n为奇数2n，n为偶数，判断数列an是否为“R(2)数列”，并说明理由；
（2）已知数列bn是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：bn是等差数列．
21．二阶矩阵M对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．
（1）求矩阵M的逆矩阵M-1；
（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+3sinθ)=2的距离为d，求d的最大值．
23．如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A—BE—C的余弦值．
24．已知fn(x)=(1+x)n，n∈N*．
（1）若g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；
（2）若pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和，数列an是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：pn(a1a2⋯an+1)≥(1+a1)(1+a2)⋯(1+an)．
2019届江苏省南京金陵中学
高三第一学期期中考试数学试题
数学 答 案
参考答案
1．{1，2}
【解析】
【分析】
先化简集合A，然后求交集即可.
【详解】
集合A＝xlog2x<2=x0＜x<4，又B＝{﹣1，0，1，2，4}
∴A∩B＝{1，2}
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．
2．25
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【详解】
复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，
∴|z|=(-2)2+42=25．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
3．4
【解析】
【分析】
先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．
【详解】
一组数据2，4，5，6，8，
这组数据的平均数x=15(2+4+5+6+8)=5，
这组数据的方差S2=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．
4．310
【解析】
【分析】
计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．
【详解】
从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；
其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，
∴2名都是女同学的概率为310．
故答案为：310．
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．
5．10
【解析】
【分析】
根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【详解】
当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，
当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，
当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，
当a=10，b=6时，满足a＞b，
故输出的a值为10，
故答案为：10
【点睛】
本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
6．2
【解析】
【分析】
先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值．
【详解】
∵x24+y23=1 中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1
∴右焦点坐标为（1，0）
∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，
根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），
∴p2=1，则p=2．
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．
7．﹣725
【解析】
【分析】
利用sin2x=-cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）-1即可得到结果.
【详解】
∵sin(x+π4)=35，
∴sin2x=-cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）-1=1825﹣1=-725，
故答案为：﹣725
【点睛】
此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
8．2＜a＜3
【解析】由{an}是递增数列，得解得∴2＜a＜3
9．﹣8
【解析】
【分析】
由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，解方程可得答案．
【详解】
∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=27，
∴切线的斜率为﹣72，
曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，
∴y′=2ax﹣bx2，
∴4a+b2=-54a-b4=-72，
解得：a=﹣1，b=﹣2，
故2a＋3b =﹣8，
故答案为：﹣8
【点睛】
本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，是解答的关键．
10．0
0，∴α+β∈ π2， π
∴cosα+β=-1-sin2α+β=-1-4-262=-4+26
由α=α+β-β得： cosα=cosα+β-β=cosα+βcosβ+sinα+βsinβ
= -4+26-13+2234-26=22
∵α∈0 ， π ∴α=π4.
17．（1）L=10×sinθ+cosθ+1sinθ⋅cosθ，θ∈[π6,π3].； （2）θ=π6或θ=π3时，L取得最大值为20(3+1)米．.
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L=20t-1 在[3+12，2]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当t=3+12时，即θ=π6 或θ=π3 时，L取得最大值为20(3+1)米．
【详解】
(1)由题意可得EH=10cosθ，FH=10sinθ，EF=10sinθcosθ，由于 BE=10tanθ≤103，AF=10tanθ≤103，
所以33≤tanθ≤3，θ∈[π6,π3]，
∴L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ，θ∈[π6,π3].
即L=10×sinθ+cosθ+1sinθ⋅cosθ，θ∈[π6,π3].
(2)设sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=t2-12，由于θ∈[π6,π3]，∴sinθ+cosθ=t=2sin(θ+π4)∈[3+12,2].
由于L=20t-1在[3+12,2]上是单调减函数，
∴当t=3+12时，即θ=π6或θ=π3时，L取得最大值为20(3+1)米．
18．（1）2；（2）证明见解析。
【解析】
【分析】
（1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，进而得出MN的最小值；
（2）求出直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论．
【详解】
(1)由题设可以得到直线A2Q的斜率存在设方程为y=kx-2(k≠0),
直线A1Q的方程为y=-1kx+2,
由y=kx-2y+3=0,解得x=2-3ky=-3;由y=-1kx+2y+3=0,解得x=3k-2y=-3
所以,直线A2Q与直线y+3=0的交点M2-3k,-3
直线A1Q与直线y+3=0的交点N3k-2,-3,所以MN=3k+3k-4.
当k>0时, MN=3k+3k-4≥6-4=2,等号成立的条件是k=1
当k<0时, MN=3k+3k-4≥4--6=10,等号成立的条件是k=-1.
故线段MN长的最小值是2.
(2)法1:由题意可知A1-2,0,A22,0,B10,-2,B20,2,
A2P的斜率为k,∴直线A2P的方程为y=kx-2,由y=kx-2,x2+y2=4得P2k2-2k2+1,-4kk2+1
则直线B2P的方程为y=-k+1k-1x+2,令y=0,则x=2k-1k+1,即F2k-1k+1,0
∵直线A1B2的方程为x-y+2=0,由x-y+2=0y=kx-2解得x=2k+2k-1y=4kk-1
∴E2k+2k-1,4kk-1，
∴EF的斜率m=4k-12k+2k-1-2k-1k+1=k+12,
∴2m-k=2k+12-k=1 (定值).
法2:设Pxo,yo, x0≠0,x0≠±2,
k=kA2P=y0x0-2,
所以A2P直线方程: y=y0x0-2x-2
A1B2:直线方程y=x+2,
则y=y0x0-2x-2y=x+2,得E2x0+2y0-4-x0+y0+2,4y0-x0+y0+2
而PB2:y=y0-2x0x+2,得F2x02-y0,0
m=kEF=4y0-2y02x02-y02-2x0y0+4y0-4=y02-2y0y02+x0y0-2y0,
则2m-k=y02-2y0y02+x0y0-2y0-y0x0-2 =x0y02-2y02-y03-4x0y0+8y0x0y02-2y02-y03-4x0y0+8y0=1（定值）。
【点睛】
求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19．（1）单调递减区间为（0,3），单调递增区间为3,+∞；（2）e24,e39；（3）证明见解析。
【解析】
【分析】
（1）f′（x）=x-3ex-kx2x4．分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范围即可；
（2）函数f（x）在（1,3）内存在两个极值点，⇔ex-kx2=0有两个实数根．化为gx=exx2-k，x∈1,3，因此gx在1,3内存在两个实数根．利用导数研究其单调性极值即可；
（3）令hx=exx3，得h'x=exx-3x4，hx在3,+∞上单调递增，进而分析可得结果.
【详解】
fx=exx-3x4+k3x2-1x=k3-xx2=x-3ex-kx2x4,
（1）当k≤0时，ex-kx2>0对任意的x>0都成立.
所以，当x>3时，f'x>0；当00，所以gx在区间（1,2）上单调递减，在区间（2,3）上单调递增.又g2=e24-k，g3=e39-k0，即e240，当x∈(x2,，3)，fx<0，满足条件.
所以k的取值范围为e24,e39.
(3)令hx=exx3，得h'x=exx-3x4，当x≥3时，h'x≥0，当且仅当x=3时等号成立，
所以，hx在3,+∞上单调递增，
所以，当x>3时，hx>h3h3=e327>0，及ex>h3x3，
当x>3时，fx=x-3ex-kx2x4>x-3h3x3-kx2x4=x-3h3x-kx2.
设x0为3和kh3中较大的数，则当x>x0时，fx>0，
所以对任意给定的实数k，存在x0x0>0，式得dx在区间x0,+∞上单调递增.
20．（1）是（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{bn}通项，根据等差数列证结论
试题解析：（1）当n为奇数时，an+1-an=2(n+1)-(2n-1)=3>0，所以an+1≥an.
an-2+an+2= 2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an.
当n为偶数时，an+1-an=(2n+1)-2n=1>0，所以an+1≥an.
an-2+an+2= 2(n-2)+2(n+2)=4n=2an.
所以，数列{an}是“R(2)数列”.
（2）由题意可得：bn-3+bn+3=2bn，
则数列b1，b4，b7，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d1，
数列b2，b3，b8，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d2，
数列b3，b6，b9，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d3.
因为bn≤bn+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，
所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，
所以n(d2-d1)≥b1-b2①，n(d2-d1)≤b1-b2+d1②.
若d2-d1<0，则当n>b1-b2d2-d1时，①不成立；
若d2-d1>0，则当n>b1-b2+d1d2-d1时，②不成立；
若d2-d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2.
同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d.
设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1 =b3p+3-b3p+1=λ，
则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-(b3p+1+(n-p-1)d)
=b3p-1-b3p+1+d=d-λ.
同理可得：b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ，所以bn+1-bn=d-λ.
所以{bn}是等差数列.
【另解】λ=b3p-1-b3p-3 =b2+(p-1)d-(b3+(p-2)d) =b2-b3+d，
λ=b3p+1-b3p-1 =b1+pd-(b2+(p-1)d)=b1-b2+d，
λ=b3p+3-b3p+1 =b3+pd-(b1+pd)=b3-b1，
以上三式相加可得：3λ=2d，所以λ=23d，
所以b3n-2=b1+(n-1)d =b1+(3n-2+1)d3，
b3n-1=b2+(n-1)d =b1+d-λ+(n-1)d =b1+(3n-1-1)d3，
b3n=b3+(n-1)d =b1+λ+(n-1)d =b1+(3n-1)d3，
所以bn=b1+(n-1)d3，所以bn+1-bn=d3，
所以，数列{bn}是等差数列.
21．（1）M-1=-2132-12；（2）x+4=0。
【解析】
【分析】
（1）M=abcd，由已知二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）．可构造关于a，b，c，d的四元一次方程组，解方程组可得矩阵M，进而得到矩阵M的逆矩阵M﹣1；
（2）由（1）中矩阵M及直线l在变换M作用下得到了直线m：2x﹣y=4，构造关于x，y的关系式，整理后可得l的方程．
【详解】
（1）设M=abcd，则有abcd1-1=-1-1 ， abcd-21=0-2，
所以a-b=-1c-d=-1，且-2a+b=0-2c+d=-2，
解得a=1b=2c=3d=4
所以M=1234，从而M-1=-2132-12.
（2）因为x' y'=1234xy，且m:2x'-y'=4，
所以2x+2y-3x+4y=4，即x+4=0，这就是直线l的方程。
【点睛】
本题主要考查了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题．
22．4
【解析】
将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x2＋y2＝9.
极坐标方程ρ(cosθ＋3sinθ)＝2化为普通方程，得直线：x＋3y＝2.
在x2＋y2＝9上任取一点A(3cosα，3sinα)．
则点A到直线的距离为d＝|3cosα＋33sinα－2|2＝|6sin（α＋30°）－2|2，
∴所求d的最大值为4.
23．（1）25；（2）-23。
【解析】
【分析】
（1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可．
【详解】
（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则有A0,0,1，B2,0,0，C0,2,0，E0,1,0.
EB=2,0,0-0,1,0=2,-1,0，
AC=0,2,-1.
cos=-25⋅5=-25.
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是25.
（2）AB=2,0,-1 ， AE=0,1,-1.
设平面ABE的法向量为n1=x,y,z，
则由n1⊥AB ， n1⊥AE，得2x-z=0,y-z=0.
取n1=1,2,2.
同理可得平面BEC的一个法向量为n2=0,0,1，
cos=n1⋅n2n1⋅n2=21+4+4=23.
由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是-23.
24．（1）56；（2）证明见解析。
【解析】
【分析】
（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；
（2）确定pn的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+1时成立即可．
【详解】
（1）gx=f4x+2f5x+3f6x=1+x4+21+x5+31+x6，
∴gx中含x2项的系数为C44+2C54+3C64=1+10+45=56.
（2）证明：由题意，pn=2n-1.
①当n=1时，p1a1+1=a1+1，成立；
②假设当n=k时，pka1a2⋯ak+1≥1+a11+a2⋯1+ak成立，
当n=k+1时，1+a11+a2⋯1+ak1+ak+1≤2k-1a1a2⋯ak+11+ak+1
=2k-1a1a2⋯akak+1+a1a2⋯ak+ak+1+1.*,
∵ak>1，a1a2⋯akak+1-1≥ak+1-1，即a1a2⋯akak+1+1≥a1a2⋯ak+ak+1，
代入（*）式得1+a11+a2⋯1+ak1+ak+1≤2ka1a2⋯akak+1+1成立.
综合①②可知，pna1a2⋯an+1≥1+a11+a2⋯1+an对任意n∈N*成立.