河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学（文）试卷

河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学（文）试卷

河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试 数学（文）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.‎ ‎【详解】因为,又，所以.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.‎ ‎2.满足（是虚数单位）的复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.‎ ‎【详解】∵，∴，即，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．‎ ‎3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2‎ 详解：：∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列， ∴（a1+4）2=a1（a1+6）， ∴a1=-8， ∴a2=-6．‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B. 月跑步平均里程逐月增加 C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；‎ 月跑步平均里程不是逐月增加的；‎ 月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.‎ 本题选择D选项.‎ ‎5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且 ，则，‎ 所以，‎ 又由 ，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，‎ ‎∵与圆相切，‎ ‎∴，，‎ 又点M在双曲线上，‎ ‎∴‎ 整理，得，‎ ‎∴‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为 故选：A ‎【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.‎ ‎【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.‎ ‎8.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B‎2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A‎2M，从而求解．‎ ‎【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B‎2C2（如图）． 平移AB1至A2B，连接A‎2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角， 在△A2BM中， ‎ ‎ ． 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．‎ ‎9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示 则A（0，2），B（2，0），C（0，0），‎ 由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，‎ 设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；‎ 则=（cosθ，sinθ），‎ 又+=（2，2）；‎ ‎∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），‎ 当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，‎ 当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，‎ ‎∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎10.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.‎ ‎【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，‎ 因为AB＝AD＝1，BD＝‎ 由勾股定理得：BA⊥AD 又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形 所以DE为球体的半径 ‎ ‎ ‎ ‎ 故选A ‎【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.‎ ‎11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得，于是得到．‎ ‎【详解】由题设可得圆的方程为，‎ 故圆心为，为抛物线的焦点，‎ 所以 所以．‎ 设直线,代入得，‎ 设直线l与抛物线C的交点坐标为，‎ 则，‎ 则，‎ 所以，解得．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．‎ ‎(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为，其中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后中的系数， 是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．‎ ‎12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，‎ 易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意，月收入在（元）段的频率为，‎ 所以月收入在（元）段应抽出的人数是.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.‎ ‎14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 化解得： ‎ 即：A=B 又 ‎ ‎ ‎ 解得：a=b= ‎ ‎【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.‎ ‎15.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵函数的定义域为，‎ 恒成立,即等价于，‎ 令，则，‎ 令，则在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递增， ‎ 故当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，则，‎ 故，故答案为.‎ 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值.‎ ‎16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.‎ ‎ ‎ ‎①存在点，使得//平面；‎ ‎②对于任意的点，平面平面；‎ ‎③存在点，使得平面；‎ ‎④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎①为棱上的中点时，此时也为棱 上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．‎ ‎②平面，∴不可能存在点，使得 ，∴②错误． ③连结 则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确． ④四棱锥B1-BED‎1F的体积等于 设正方体的棱长为1， ∵无论在何点，三角形的面积为 为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变． ∴三棱锥和三棱锥体积为定值， 即四棱锥的体积等于 为定值，∴④正确． 故答案为：①③④‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数的最小正周期为．‎ 求的值；‎ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．‎ ‎【答案】(1)(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简 ，根据函数的最小正周期即可求出的值 ‎2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.‎ ‎【详解】（1） ‎ 故函数的最小正周期，解得. ‎ ‎（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得 ，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．‎ ‎18.等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．‎ ‎（1）求数列，的通项公式； ‎ ‎（2）记,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出an=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{bn}‎ 是等比数列，，，由此求出． （2）由（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn ‎【详解】（1）∵是方程的两根，且数列的公差，‎ ‎∴，公差 ‎∴‎ 又当时，有1－‎ 当 ‎∴数列是等比数列，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）知 ‎ ‎∴Tn＝ ，① ，② ①-②，得 ‎ 即 ‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．‎ ‎19.如图，三棱柱中，平面，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先证平面,可得，再由四边形为正方形可得，从而可得平面，进而可得；‎ ‎(2)由平面可得是直线与平面所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出.‎ ‎【详解】证明（1）平面，平面，‎ 又，即，，‎ 平面，平面，‎ ‎.‎ ‎，四边形为正方形，‎ ‎，又，‎ 平面，又平面，‎ ‎.‎ ‎（2）设，连接.‎ 由（1）得平面，‎ 是直线与平面所成的角.‎ 设，则，‎ ‎，，‎ 在中，，‎ 直线与平面所成角的正切值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型.‎ ‎20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛. ‎ ‎（1）求选出的2名都是高级导游的概率；‎ ‎（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；‎ ‎(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，‎ 来自乙旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，‎ 从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：，，，，；‎ ‎；；；共15种，‎ 其中选出的2名都是高级导游的有，，，共3种 所以选出的2人都是高级导游的概率为.‎ ‎（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），‎ 乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，‎ 则，属于几何概型问题 作图，由图可知，，‎ 所求概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.‎ ‎21.已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）的值为或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；‎ ‎（2）由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出的值．‎ ‎【详解】（1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由得 ①‎ ‎∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，‎ 设，，∴ ．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎22.已知函数，其中．‎ ‎(1)试讨论函数的单调性；‎ ‎(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴求出，分别讨论的范围，求出单调性 ‎⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题 ‎【详解】(1) ，则 当时，，所以函数在上单调递增；‎ 当时，若 ，则，若 ，则 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.‎ 由(1)可知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。所以，又当时，函数在上单调递减，在上单调递增；所从.‎ 要使有两个零点，则有.‎ 设，则，‎ 所以函数在上单调递减.又 所以存在，当时，.‎ 即存在，当时， 即 又因为，所以实数的最小值等于2．‎ 此时，当时，，当时，，有两个零点.故实数的最小值等于2.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值的求法，注意运用导数求得单调区间即可，注意运用分类讨论的思想方法，在求函数的零点问题时，注意运用函数的单调性和零点存在定理，属于难题。‎