【数学】2020届一轮复习北师大版平面与平面垂直的判定作业

【数学】2020届一轮复习北师大版平面与平面垂直的判定作业

‎2020届一轮复习北师大版 平面与平面垂直的判定 作业 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.若平面α与平面β不垂直,那么α内能与β垂直的直线　(　　)‎ A.有0条 B.有一条 C.有2条 D.有无数条 ‎【解析】选A.若平面α内存在一条直线l与β垂直,则平面α与平面β垂直,这与已知条件矛盾.‎ ‎2.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论中正确的是　(　　)‎ A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE ‎【解析】选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.‎ ‎3.若两条直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面　(　　)‎ A.有且只有一个 B.可能有一个,也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在 ‎【解析】选B.当a⊥b时,存在一个.当a不垂直b时,不存在.‎ ‎4.在二面角α-l-β中,A∈α,AB⊥平面β于点B,BC⊥平面α于点C,若AB=6,BC=3,则二面角α-l-β的平面角的大小为　(　　)‎ A.30° B.60°‎ C.30°或150° D.60°或120°‎ ‎【解析】选D.如图,因为AB⊥β,所以AB⊥l,因为BC⊥α,‎ 所以BC⊥l,所以l⊥平面ABC,‎ 设平面ABC∩l=D,‎ 则∠ADB为二面角α-l-β的平面角或补角,‎ 因为AB=6,BC=3,‎ 所以∠BAC=30°,所以∠ADB=60°,‎ 所以二面角大小为60°或120°.‎ ‎【补偿训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于　(　　)‎ A.1　　　 B.　 　　C.　 　　D.3‎ ‎【解析】选B.连接AC交BD于点O,‎ 连接A1O,O为BD中点.因为A1D=A1B,‎ 所以在△A1BD中,A1O⊥BD.‎ 又因为在正方形ABCD中,AC⊥BD,‎ 所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.‎ 设AA1=1,则AO=,‎ 所以tan∠A1OA==.‎ ‎5.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角　(　　)‎ A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 ‎【解析】选D.如图所示,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,所以两个二面角的大小关系不确定,因为二面角H-DG-F的大小不确定.‎ ‎【误区警示】解答本题容易忽视面面垂直判定定理的应用,实际上一个二面角的两个半平面分别过另一个二面角的两个半平面的垂线即可,故两个二面角大小不存在必然联系.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角,可能为钝角的有________个.‎ ‎【解析】本题考查空间角:异面直线所成角的范围为,直线和平面所成角的范围为,二面角的平面角的范围为[0,π],故可能为钝角的有1个.‎ 答案:1‎ ‎7.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同的直线,给出四个说法:‎ ‎①若m⊥n,α⊥β,n⊥β,则m⊥α;‎ ‎②若m⊥n,α⊥β,m⊥α,则n⊥β;‎ ‎③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β;‎ ‎④若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n;‎ 其中正确说法的序号是________.‎ ‎【解析】对于①,若m⊥n,α⊥β,n⊥β,则m与α可平行或相交,故错误;‎ 对于②,若m⊥n,α⊥β,m⊥α,则n与β可平行或相交,故错误;‎ 对于③,因为m⊥n,n⊥β,则m⊂β或m∥β,‎ 又因为m⊥α,则α⊥β,故正确;‎ 对于④,因为m⊥α,α⊥β,则m⊂β或m∥β,‎ 又因为n⊥β,则m⊥n,正确.‎ 答案:③④‎ ‎8.如图所示,在三棱锥S-ABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=1,SA=,则二面角S-BC-A的大小为________.　‎ ‎【解题指南】取BC中点为E,连接AE,SE,可证∠SEA即为二面角S-BC-A的平面角.‎ ‎【解析】取BC中点为E,连接AE,SE.‎ 因为△SBC,△ABC是等边三角形.‎ 所以AE⊥BC,SE⊥BC,‎ 所以∠SEA即为二面角S-BC-A的平面角.‎ 因为BC=1,所以SE=AE=.‎ 又SA=,所以△SAE为正三角形.‎ 所以∠SEA=60°,‎ 即二面角的大小为60°.‎ 答案:60°‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.　‎ 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎【证明】(1)因为D,E是中点,所以DE∥AC,‎ 又AC∥A1C1,所以DE∥A1C1,又因为A1C1⊂平面A1C1F,且DE⊄平面A1C1F,‎ 所以DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥平面A1B1C1,所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,且AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1⊂平面AA1B1B,所以A1C1⊥平面AA1B1B,所以A1C1⊥B1D,又A1F⊥B1D,A1F∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面A1C1F,又因为B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎10.如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.　‎ ‎(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.‎ ‎(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.‎ ‎【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC,‎ 由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.‎ 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,‎ 所以BC⊥平面PAC.‎ 因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.‎ ‎(2)如图所示,过C作CM⊥AB于M,‎ 因为PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,‎ 所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.‎ 过M作MN⊥PB于N,连接NC,易得CN⊥PB,‎ 所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.‎ 在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,‎ 得BC=,CM=,BM=.‎ 在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.‎ 因为Rt△BNM∽Rt△BAP,所以=,‎ 故MN=.‎ 又在Rt△CNM中,CN=,故cos∠CNM=.‎ 所以二面角C-PB-A的余弦值为.‎ ‎【延伸探究】本例条件下,求二面角P-BC-A的大小.‎ ‎【解析】易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角,在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.‎ ‎(20分钟　40分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD=　(　　)‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎【解析】选C.依题意得,AC⊥β,AC⊥BC,BC==,‎ CD==.‎ ‎2.(2018·濮阳高一检测)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是　(　　)‎ A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC ‎【解析】选C.可画出对应图形,如图所示,则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故A成立;由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,所以DF⊥平面PAE,故B成立;又DF⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.(2018·衡阳高一检测)在45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°角,则此直线与二面角的另一个面所成的角的大小为________.‎ ‎【解题指南】解答本题的关键是恰当作辅助线,将已知二面角的平面角和所求线面角联系起来.‎ ‎【解析】根据题意先画出图形作AD⊥β交平面β于D,连接BD,CD.‎ 根据题意可以知道∠ABC=45°,∠ACD=45°.‎ 设AD=1,则CD=1,AC=,BC=,AB=2,‎ 而AD=1,三角形ABD为直角三角形,‎ 所以∠ABD=30°.‎ 答案:30°‎ ‎4.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:‎ ‎①三棱锥A-D1PC的体积不变;‎ ‎②A1P∥平面ACD1;‎ ‎③DP⊥BC1;‎ ‎④平面PDB1⊥平面ACD1.‎ 其中正确的命题序号是________.‎ ‎【解析】连接BD交AC于O,连接DC1,D1C交于O1,连接OO1,则OO1∥BC1.‎ 所以BC1∥平面AD1C,‎ 动点P到平面AD1C的距离不变,‎ 所以三棱锥P-AD1C的体积不变.‎ 又=,所以①正确.‎ 因为平面A1C1B∥平面ACD1,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.‎ 当P在点B处时,∠DPC1=60°,DP与BC1不垂直,所以③不正确.‎ 由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,‎ 所以DB1⊥平面AD1C,DB1⊂平面PDB1,‎ 所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.‎ 答案:①②④‎ ‎【补偿训练】如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论中正确的是__________.(填序号)‎ ‎①平面EFG∥平面PBC;‎ ‎②平面EFG⊥平面ABC;‎ ‎③∠BPC是直线EF与直线PC所成的角;‎ ‎④∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.‎ ‎【解析】易知FG∥平面PBC,GE∥平面PBC,且FG∩GE=G,故平面EFG∥平面PBC,①正确;由题意知PC⊥平面ABC,FG∥PC,所以FG⊥平面ABC,故平面EFG⊥平面ABC,②正确;根据异面直线所成角的定义可知,③正确;而④中,FE不垂直于AB,故∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.‎ 答案:①②③‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎5.(2018·渭南高一检测)如图,正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD,AE⊥平面CDE,且AB=2AE.　‎ ‎(1)求证:AB∥平面CDE.‎ ‎(2)求证:平面ABCD⊥平面ADE.‎ ‎【证明】(1)正方形ABCD中,AB∥CD,‎ 又AB⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,‎ 所以AB∥平面CDE.‎ ‎(2)因为AE⊥平面CDE,且CD⊂平面CDE,‎ 所以CD⊥AE,‎ 又正方形ABCD中,CD⊥AD,‎ AE⊂平面ADE,AD⊂平面ADE且AE∩AD=A,‎ 所以CD⊥平面ADE,又CD⊂平面ABCD,‎ 所以平面ABCD⊥平面ADE.‎ ‎6.如图所示,已知三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且 ‎△PDB是正三角形,PA⊥PC.　‎ ‎(1)求证:平面PAC⊥平面ABC.‎ ‎(2)求二面角D-AP-C的正弦值.‎ ‎(3)若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积.‎ ‎【解题指南】解答本题(1),只需证线面垂直,进而由线面垂直证明面面垂直,对于(2)首先应作出二面角的平面角,然后求其正弦值,解答(3)小题的关键是用等体积法求解.‎ ‎【解析】(1)因为D是AB的中点,△PDB是正三角形,AB=20,所以PD=AB=10,‎ 所以AP⊥PB.‎ 又AP⊥PC,PB∩PC=P,‎ 所以AP⊥平面PBC.‎ 又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC.‎ 又AC⊥BC,AP∩AC=A,‎ 所以BC⊥平面PAC.‎ 又BC⊂平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.‎ ‎(2)因为PA⊥PC,且PA⊥PB,‎ 所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.‎ 由(1)知BC⊥平面PAC,则BC⊥PC,‎ 所以sin∠BPC==.‎ ‎(3)因为D为AB的中点,M为PB的中点,‎ 所以DMPA,且DM=5,‎ 由(1)知PA⊥平面PBC,所以DM⊥平面PBC,‎ 因为S△BCM=S△PBC=2,‎ 所以VM-BCD=VD-BCM=×5×2=10.‎