数学卷·2018届河北省邯郸市鸡泽一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河北省邯郸市鸡泽一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．抛物线y=2x2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在△ABC中，a=2，A=30°，C=135°，则边c=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎3．设x∈R，则“x＜1”是“x≠2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．在空间直角坐标系中，点A（1，﹣1，1）与点B（﹣1，﹣1，﹣1）关于（　　）对称 A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．原点 ‎5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎6．下列命题中是假命题的是（　　）‎ A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数 B．∀φ∈R，函数f（x）=sin（x+φ）都不是偶函数 C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ D．∀α＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣α有零点 ‎7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎8．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（　　）‎ A．160 B．180 C．200 D．220‎ ‎9．已知△ABC的面积为，则△ABC的周长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）‎ A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X） C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）‎ ‎11．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（　　）‎ A．8 B．3 C． D．‎ ‎12．已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）‎ A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．全称命题：∀x∈R，x2＞1的否定是　　．‎ ‎14．椭圆上的点到直线的最大距离是　　．‎ ‎15．已知，则的最小值是　　．‎ ‎16．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．‎ ‎18．已知命题p：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点；命题q：‎ ‎ =1表示焦点在x轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．‎ ‎19．设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为，且c=2，已知点A（）‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．‎ ‎20．在△ABC中，，BC=1，．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎21．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求正三棱柱的侧棱长；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．‎ ‎22．已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市鸡泽一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．抛物线y=2x2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．‎ ‎【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y 故p=，‎ 其准线方程为y=﹣，‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．在△ABC中，a=2，A=30°，C=135°，则边c=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理建立等式，把已知条件代入求得答案．‎ ‎【解答】解：由正弦定理知=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴c=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设x∈R，则“x＜1”是“x≠2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若“x＜1”则“x≠2”成立，即充分性成立，‎ 若x=3满足“x≠2”，但x＜1不成立，即必要性不成立，‎ 故“x＜1”是“x≠2”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．在空间直角坐标系中，点A（1，﹣1，1）与点B（﹣1，﹣1，﹣1）关于（　　）对称 A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．原点 ‎【考点】空间直角坐标系．‎ ‎【分析】两点之间的纵坐标相等，其余两坐标互为相反数，由其特征可以判断出这两点关于y轴对称．‎ ‎【解答】解：由点A（1，﹣1，1）与点B（﹣1，﹣1，﹣1）‎ 知两点的纵坐标相等，横坐标与竖坐标互为相反数，‎ 故两点一定关于y轴对称．‎ 故应选B．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围 ‎【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，‎ 由正弦定理可得，a2+b2＜c2‎ 由余弦定理可得cosC=‎ ‎∴‎ ‎∴△ABC是钝角三角形 故选C ‎　‎ ‎6．下列命题中是假命题的是（　　）‎ A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数 B．∀φ∈R，函数f（x）=sin（x+φ）都不是偶函数 C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ D．∀α＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣α有零点 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用特殊值法进行判断，能够求出结果．‎ ‎【解答】解：当m=2时，f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，故A正确；‎ 当φ=kπ+时，函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，故B不正确；‎ 当取α=，β=﹣时cos（α+β）=cosα+cosβ，故C正确；‎ 函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点⇔方程ln2x+lnx=a有解，而y=ln2x+lnx∈[﹣，+∞），故a∈[﹣，+∞），D正确．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意因为圆C：x2+y2﹣6x+‎ ‎5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程，解出它们，即可得到所求方程．‎ ‎【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5=0⇔（x﹣3）2+y2=4，‎ 由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，‎ 又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，‎ 而双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），‎ ‎∴a2+b2=9①‎ 又双曲线的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，‎ 而双曲线的渐近线方程为：y=±x⇒bx±ay=0⇒=2②‎ 联立①②，解得：．‎ ‎∴双曲线的方程： =1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（　　）‎ A．160 B．180 C．200 D．220‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78‎ ‎∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）‎ ‎∴a1+a20=18‎ ‎∴=180‎ 故选B ‎　‎ ‎9．已知△ABC的面积为，则△ABC的周长等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】根据三角形的面积等于求出 AB•BC=2，再由余弦定理可得 AB2+BC2=5，由此求得 AB+BC=3，再由AC=，求出周长．‎ ‎【解答】解：由题意可得 AB•BCsin∠ABC=，即 AB•BC•=，∴AB•BC=2．‎ 再由余弦定理可得 3=AB2+BC2﹣2AB•BCcos=AB2+BC2﹣AB•BC=AB2+BC2﹣2，‎ ‎∴AB2+BC2=5，∴（AB+BC）2=AB2+BC2+2AB•BC=5+4=9，∴AB+BC=3．‎ ‎∴△ABC的周长等于 AB+BC+AC=3+，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（　　）‎ A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X） C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质：Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，也成等比数列，得到X，Y﹣X，Z﹣Y成等比数列，再由等比中项的性质列出方程化简即可．‎ ‎【解答】解：因为{an}是任意等比数列，‎ 所以Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n也成等比数列，‎ 即X，Y﹣X，Z﹣Y成等比数列，‎ 所以（Y﹣X）2=X（Z﹣Y），即Y2﹣2YX+X2=XZ﹣XY，‎ 化简得Y2﹣YX=XZ﹣X2，即Y（Y﹣X）=X（Z﹣X），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（　　）‎ A．8 B．3 C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x﹣3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可．‎ ‎【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），‎ 则对于目标函数z=x﹣3y，‎ 当直线经过A（﹣2，2）时，‎ z=|x﹣3y|，取到最大值，Zmax=8．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）‎ A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2，进行判断，能得m＞n，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，‎ ‎∴满足c2=m2﹣1=n2+1，‎ 即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D 则c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，‎ 则c＜m．c＞n，‎ e1=，e2=，‎ 则e1•e2=•=，‎ 则（e1•e2）2=（）2•（）2====1+=1+=1+＞1，‎ ‎∴e1e2＞1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．全称命题：∀x∈R，x2＞1的否定是　　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞1的否定是：，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．椭圆上的点到直线的最大距离是　　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】利用椭圆的参数方程来解，根据椭圆的标准方程，得到椭圆的参数方程，所以可设椭圆上的任意一点坐标为（4cosα，2sinα），代入点到直线的距离公式，化简为一角一函数．再根据正弦函数的有界性求出最大值即可．‎ ‎【解答】解：∵椭圆方程为，‎ ‎∴可设椭圆上的任意一点P坐标为（4cosα，2sinα）‎ ‎∴P到直线的距离d=‎ ‎=‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴d的最大值为 ‎　‎ ‎15．已知，则的最小值是　　．‎ ‎【考点】空间向量的加减法；向量的模．‎ ‎【分析】根据向量、的坐标，可得向量=（1+t，2t﹣1，0），结合向量的模的公式，得到=，最后利用二次函数求最值的方法，可得的最小值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴向量=（1+t，2t﹣1，0）‎ 可得向量的模==‎ ‎∵5t2﹣2t+2=5（t﹣）2+‎ ‎∴当且仅当t=时，5t2﹣2t+2的最小值为 所以当t=时，的最小值是=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MM1|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．‎ ‎【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|‎ 在梯形ABPQ中，2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b．‎ 由余弦定理得，‎ ‎|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，‎ 又∵ab≤（） 2，‎ ‎∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2‎ 得到|AB|≥（a+b）．‎ 所以≤=，‎ 即的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．‎ ‎【解答】解：a1=S1=3+2=5，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1，‎ 当n=1时，2n﹣1=1≠a1，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点；命题q： =1表示焦点在x轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：命题p为真，‎ 若命题q为真⇔m＞2，‎ ‎∵“p且q为假”是假命题，“p或q为假”是真命题，‎ ‎∴p，q一真一假，‎ 若p真q假，则，‎ 若q真p假，则，‎ 综上，．‎ ‎　‎ ‎19．设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为，且c=2，已知点A（）‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）利用焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为，且c=2，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意， =，c=2，‎ ‎∴a=1，b=，‎ ‎∴双曲线的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程，两式相减，‎ 结合点A（1，）为线段MN的中点，可得2（x1﹣x2）﹣3（y1﹣y2），∴k=，‎ ‎∴直线L方程为y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，，BC=1，．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．‎ ‎（2）先根据余弦定理求得b，进而根据=BC•CA•cos（π﹣C）求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，由，得，‎ 又由正弦定理：得：．‎ ‎（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得：，‎ 即，解得b=2或（舍去），所以AC=2．‎ 所以， =BC•CA•cos（π﹣C）=‎ 即．‎ ‎　‎ ‎21．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求正三棱柱的侧棱长；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依据空间直角坐标系，设出坐标，利用求正三棱柱的侧棱长．‎ ‎（Ⅱ）利用向量法求出cos＜＞，即可得到异面直线AB1与BC所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设正三棱柱的侧棱长为h，‎ 由题意得 A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，h），B1（，0，h），c1（0，1，h）．‎ ‎，‎ 所以h= …‎ ‎（Ⅱ），|AB1|=，|BC|=2，‎ ‎，cos＜＞= …‎ 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的离心率e=‎ ‎，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出过点A（0，﹣b） 和B（a，0）的直线，利用直线L与坐标原点的距离为，椭圆的离心率，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线过点A（0，﹣b）和B（a，0），‎ ‎∴直线L：与坐标原点的距离为，∴=．①…‎ ‎∵椭圆的离心率 e=，∴．②…‎ 由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2﹣c2）=3a2+3（a2﹣c2）③‎ 由②③得a2=3，c2=2‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1‎ ‎∴所求椭圆的方程是+y2=1…‎ ‎（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0‎ ‎∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1…‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=…‎ ‎∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，‎ ‎∴EC⊥ED…‎ ‎∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0‎ ‎∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0‎ ‎∴（1+k2）×+（2k+1）×+5=0，解得k=＞1，‎ ‎∴当k=时以CD为直径的圆过定点E…‎ ‎　‎