专题19 平面向量的基本定理及其坐标表示-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题19 平面向量的基本定理及其坐标表示-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

1.了解平面向量基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 热点题型一 平面向量基本定理及其应用 例 1、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＝1 3BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点。设BA → ＝a， BC → ＝b，试用 a，b 为基底表示向量EF → ，DF → ，CD → 。 解析：EF → ＝EA → ＋AB → ＋BF → ＝－1 6b－a＋1 2b＝1 3b－a， DF → ＝DE → ＋EF → ＝－1 6b＋ 1 3b－a ＝1 6b－a。 CD → ＝CF → ＋FD → ＝－1 2b－ 1 6b－a ＝a－2 3b。 【提分秘籍】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)合理地选取基底是解题必须具备的意识和能力。用基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量 的运算来解决。 (2)要注意运用平面几何的一些性质、定理来解题。 热点题型二 平面向量的坐标运算 例 2、【2017 课标 3，理 12】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆 上.若 AP  =  AB  + AD  ，则 + 的最大值为 A．3 B．2 2 C． 5 D．2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 设        0,1 , 0,0 , 2,1 , ,A B D P x y 【变式探究】已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB → ＝a，BC → ＝b，CA → ＝c，且CM → ＝3c，CN → ＝ －2b。 (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量MN → 的坐标。 解析：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)。 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴ －6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5， 解得 m＝－1， n＝－1。 解析：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)。 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴ －6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5， 解得 m＝－1， n＝－1。 【提分秘籍】 向量坐标运算的方法技巧 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出 向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用。 【举一反三】 已知平面向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量 1 2a－3 2b＝( ) A．(－2，－1) B．(－2，1) C．(－1，0) D．(－1，2) 解析：1 2a＝ 1 2 ，1 2 ，3 2b＝ 3 2 ，－3 2 ， 故 1 2a－3 2b＝(－1，2)。 答案：D 热点题型三 平面向量共线的坐标表示 例 3．【2017 课标 II，理 12】已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ( )PA PB PC    的最小是（ ） A. 2 B. 3 2  C. 4 3  D. 1 【答案】B 【解析】如图，以 BC 为 x 轴， BC 的垂直平分线 DA 为 y 轴， D 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则  0, 3A ，  1,0B  ，  1,0C ，设  ,P x y ，所以  , 3PA x y   ，  1 ,PB x y    ，  1 ,PC x y   ，所以  2 , 2PB PC x y     ，    2 22 2 3 2 2(PA PB PC x y y x y          23 3 3)2 2 2    ，当 30, 2P       时，所求的最小值为 3 2  ，故选 B． 平面内给定三个向量 a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)。回答下列问题： (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (2)设 d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求 d。 解析：(1)a＋kc＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k，2＋k)， 2b－a＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)， ∴3＋4k －5 ＝2＋k 2 。 ∴6＋8k＝－10－5k.∴k＝－16 13 。 【提分秘籍】 1．根据向量共线的坐标运算求参数的值 利用向量共线转化为含参数的方程，解方程可求参数。 2．利用向量共线的坐标运算求三角函数值 利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解。 【举一反三】 已知梯形 ABCD，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为 __________。 1.【2017 课标 3，理 12】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若 AP  = AB  + AD  ，则 + 的最大值为 A．3 B．2 2 C． 5 D．2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 设        0,1 , 0,0 , 2,1 , ,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是 2 5 ，即圆的方程是 2 2 42 5x y        , 1 , 0, 1 , 2,0AP x y AB AD       ，若满足 AP AB AD     即 2 1 x y        ， , 12 x y    ，所以 12 x y     ，设 12 xz y   ，即 1 02 x y z    ， 点  ,P x y 在圆 2 2 42 5x y   上，所以圆心到直线的距离 d r ，即 2 2 1 514 z   ，解得1 3z  ， 所以 z 的最大值是 3，即   的最大值是 3，故选 A。 【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理 2.【2017 课标 II，理 12】已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ( )PA PB PC    的最小是（ ） A. 2 B. 3 2  C. 4 3  D. 1 【答案】B 【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值 3.【2017 课标 1，理 13】已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】 2 3 【解析】利用如下图形，可以判断出 2a b  的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度， 2 2 2| 2 | | | 4 4 | | 4 4 2 1 cos60 4 12a b a a b b                 所以| 2 | 12 2 3a b    . 【考点】平面向量的运算. 1.【2016 年高考四川理数】在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA  = DB  = DC  , DA   DB  = DB   DC  = DC   DA  =-2，动点 P，M 满足 AP  =1，PM  = MC  ，则 2 BM  的 最大值是( ) （A） 43 4 （B） 49 4 （C） 37 6 3 4  （D） 37 2 33 4  【答案】B 【解析】甴已知易得 1 220 , DAADC ADB D DBDC B C           .以 D 为原点，直线 DA 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则      2 , 0 , 1, 3 , 1, 3 .A B C   设  , ,P x y 由已知 1AP  ，得 2 22 1x y   ，又 1 3 1 3 3, , , , ,2 2 2 2 x y x yPM MC M BM                        22 2 +1 3 3 4 x y BM     ，它表示圆  2 22 1x y   上的点 x y， 与点  1, 3 3  的距离的 平方的 1 4 ，     2 22 2 max 1 493 3 3 14 4BM          ，故选 B. 【2015 高考福建，理 9】已知 1, ,AB AC AB AC tt       ，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且 4AB ACAP AB AC       ，则 PB PC  的最大值等于（ ） A．13 B． 15 C．19 D．21 【答案】A 【解析】以 A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则 1( ,0)B t ， (0, )C t ， 1AP  （，0)+4(0,1)=(1,4)，即 1P（ ，4) 所以 1 1PB t =（ ，-4)， 1PC =（ ，t-4)，因此 PB PC  11 4 16tt     117 ( 4 )tt    ，因为 1 14 2 4 4t tt t     ， 所以 PB PC  的最大值等于13 ，当1 4tt  ，即 1 2t  时取等号． 【2015 高考湖北，理 11】已知向量OA AB  ，| | 3OA  ，则 OA OB   . 【答案】9 【解析】因为OA AB  ，| | 3OA  ， 所以OA OB   93||||)( 222  OAOBOAOAABOAOA . 1．（2014·重庆卷） 已知向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数 k＝( ) A．－9 2 B．0 C．3 D.15 2 【答案】C 【解析】∵2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得 k＝ 3. 2．（2014·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量 a＝(3，2)表示出来的是( ) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B 【解析】由向量共线定理，选项 A，C，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项 B 中的向量组 不共线，可以作为基底，故选 B. 3．（2014·山东卷） 已知向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数 f(x)＝a·b，且 y＝f(x)的图像过点 π 12 ， 3 和点 2π 3 ，－2 . (1)求 m，n 的值； (2)将 y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数 y＝g(x)的图像，若 y＝g(x)图像上各最高点到点 (0，3)的距离的最小值为 1，求 y＝g(x)的单调递增区间． (2)由(1)知 f(x)＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x＋π 6 . 由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin 2x＋2φ＋π 6 . 设 y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)． 由题意知，x20＋1＝1，所以 x0＝0， 即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2)． 将其代入 y＝g(x)得，sin 2φ＋π 6 ＝1. 因为 0<φ<π，所以φ＝π 6. 因此，g(x)＝2sin 2x＋π 2 ＝2cos 2x. 由 2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z 得 kπ－π 2≤x≤kπ，k∈Z， 所以函数 y＝g(x)的单调递增区间为 kπ－π 2 ，kπ ，k∈Z. 4．（2014·陕西卷） 设 0<θ<π 2 ，向量 a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若 a∥b，则 tan θ＝________． 【答案】1 2 【解析】因为向量 a∥b，所以 sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又 cos θ≠0，所以 2sin θ＝cos θ，故 tan θ＝1 2. 5．（2014·陕西卷） 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在△ABC 三边 围成的区域(含边界)上． (1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→ |； (2)设OP→ ＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用 x，y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值． 【解析】(1)方法一：∵PA→＋PB→＋PC→＝0， 又PA→＋PB→＋PC→＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， ∴ 6－3x＝0， 6－3y＝0， 解得 x＝2， y＝2， 即OP→ ＝(2，2)，故|OP→ |＝2 2. 方法二：∵PA→＋PB→＋PC→＝0， 则(OA→ －OP→ )＋(OB→ －OP→ )＋(OC→ －OP→ )＝0， ∴OP→ ＝1 3(OA→ ＋OB→ ＋OC→ )＝(2，2)， ∴|OP→ |＝2 2. (2)∵OP→ ＝mAB→＋nAC→， ∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)， ∴ x＝m＋2n， y＝2m＋n， 两式相减得，m－n＝y－x， 令 y－x＝t，由图知，当直线 y＝x＋t 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 m－n 的最大值为 1. 1.已知向量 a=(2，4)，b=(-1，1)，则 2a-b= ( ) A.(5，7) B. (5，9) C.(3，7) D.(3，9) 【解析】选 A.2a-b=2(2，4)-(-1，1)=(5，7). 2.在△ABC 中，已知 A(2，1)，B(0，2)， =(1，-2)，则向量 = ( ) A.(0，0) B.(2，2) C.(-1，-1) D.(-3，-3) 【解析】选 C.因为 A(2，1)，B(0，2)， 所以 =(-2，1). 又因为 =(1，-2)， 所以 = + = (-2，1)+(1，-2)=(-1，-1). 3.若向量 a=(2，1)，b=(-2，3)，则以下向量中与向量 2a+b 共线的是 ( ) A.(-5，2) B.(4，10) C.(10， 4) D.(1，2) 【解析】选 B.因为向量 a=(2，1)，b=(-2，3)，所以 2a+b=(2，5). 又(4，10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以 B 项与 2a+b 共线. 4.已知 a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，则 c 可用 a 与 b 表示为 ( ) A.a+b B.2a+3b C.3a-2b D.2a-3b 【解析】选 C.因为 a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)， 所以 a+b=(0，3)≠c， 2a+3b=2(1，1)+3(-1，2)=(-1，8)≠c， 3a-2b=3(1，1)-2(-1，2)=(5，-1)=c，2a-3b=2(1，1)-3(-1，2)=(5，-4)≠c. 故选 C. 5.在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且 =2 ，点 Q 是 AC 的中点，若 =(4，3)， =(1，5)，则 = ( ) A.(-2，7) B.(-6，21) C.(2，-7) D.(6，-21) 【解析】选 B.由条件知， =2 - =2(1，5)-(4，3)=(-2，7)， 因为 =2 =(-4，14)，所以 = + =(-6，21). 6.在△ABC 中，已知 a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量 p=(4，a2+b2-c2)， q=(1，S)满足 p∥q，则∠C=( ) A. B. C. D. 7.在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 =3 ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若 =x +(1-x) ，则 x 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.如图. 依题意，设 =λ ，其中 1<λ< ， 则有 = + = +λ = +λ( - )=(1-λ) +λ . 又 =x +(1-x) ，且 不共线，于是有 x=1-λ∈ ，即 x 的取值范围是 . 8.设 e1，e2 是平面内一组基向量，且 a=e1+2e2，b=-e1+e2，若 e1+e2=xa+yb，则 x+2y= ( ) A. B.- C.1 D.0 【解析】选 D.因为 e1+e2=xa+yb. a=e1+2e2，b=-e1+e2， 所以 e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2) =(x-y)e1+(2x+y)e2. 由平面向量基本定理，得 所以 故 x+2y= +2× =0. 9.已知 A(7，1)、B(1，4)，直线 y= ax 与线段 AB 交于 C，且 =2 ，则实数 a 等于 . 【解析】设 C(x，y)，则 =(x-7，y-1)， =(1-x，4-y). 因为 =2 ， 所以 解得 所以 C(3，3). 又 C 点在直线 y= ax 上， 故 3= a，得 a=2. 【答案】2 10.如图所示，A，B，C 是☉O 上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于☉O 外的一点 D， 若 =m +n ，则 m+n 的取值范围是 . 【解析】因为线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线的交点为 D， 则 =t ， 因为 D 在圆外，所以 t<-1，又 D，A，B 共线， 故存在λ，μ，使得 =λ +μ ， 且λ+μ=1，又 =m +n ， 所以 tm +tn =λ +μ . 所以 m+n= ，所以 m+n∈(-1，0). 【答案】(-1，0) 11.已知向量 a=(2，3)，b=(-1，2)，若 ma+nb 与 a-2b 共线，则 = . 12.设 O 是坐标原点，已知 =(k，12)， =(10，k)， =(4，5)，若 A，B，C 三点共线，则实数 k 的值 为 . 【解析】由题意得 = - =(k-4，7)， = - =(6，k-5)， 所以(k-4)(k-5)= 6×7， k-4=7 或 k-4=-6， 即 k=11 或 k=-2. 【答案】11 或-2 13.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足 = + ，则 = . 【解析】由已知得，3 =2 + 即 - =2( - )， 即 =2 .如图所示: 故 C 为 BA 的靠 A 点的三等分点，因而 = . 【答案】 14.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(2，1)，则其第四个顶点的坐标为 . 【解析】设 A(1，0)，B(0，1)，C(2，1)，第四个顶点 D(x，y)， 由题意，该平行四边形四个顶点的顺序不确定，讨论如下: ①若平行四边形为 ABCD，则 = . 因为 =(-1，1)， =(2-x，1-y)， 所以 解得 即 D(3，0); ②若平行四边形为 ABDC，则 = . 因为 =(-1，1)， =(x-2，y-1)， 所以 解得 即 D(1，2); ③若平行四边形为 ACBD，则 = . 因为 =(1， 1)， =(-x，1-y)， 所以 解得 即 D(-1，0). 【答案】(3，0)或(1，2)或(-1，0) 15.已知 a=(1，0)，b=(2，1)， (1)当 k 为何值时，ka-b 与 a+2b 共线. (2)若 =2a+3b， =a+mb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值. 16.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a=(2，1)，A(1，0)， B(cosθ，t)， (1)若 t=- ，θ∈(0，π)，a∥ ，求θ的值. (2)若 a∥ ，求 y=cos2θ-cosθ+t2 的最小值. 【解析】(1)因为 =(cosθ-1，t)， 又 a∥ ，所以 2t-cosθ+1=0. 所以 cosθ-1=2t. 因为 t=- ，所以 cosθ= . 又因为θ∈(0，π)，所以θ= . 17.已知三点 A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中 a>0，b>0. (1)若 O 是坐标原点，且四边形 OACB 是平行四边形，试求 a，b 的值. (2)若 A，B，C 三点共线，试求 a+b 的最小值. 【解析】(1)因为四边形 OACB 是平行四边形， 所以 = ，即(a，0)=(2，2-b)， 解得 故 a=2，b=2. (2)因为 =(-a，b)， =(2，2-b)， 由 A， B，C 三点共线，得 ∥ ， 所以-a(2-b)-2b=0，即 2(a+b)=ab， 因为 a>0，b>0， 所以 2(a+b)=ab≤ ， 即(a+b)2-8(a+b)≥0，[ 解得 a+b≥8 或 a+b≤0. 因为 a>0，b>0， 所以 a+b≥8，即 a+b 的最小值是 8. 当且仅当 a=b=4 时，“=”成立. 18.已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且 = +t (t∈R)，问: (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上?点 P 在二、四象限角平分线上? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能，求出相应的 t 值;若不能，请说明理由. 【解析】(1)因为 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)， 所以 =(1，2)， =(3，3)， = +t =(1+3t，2+3t). 若 P 在 x 轴上，只需 2+3t=0，t=- ; 若 P 在第二、四象限角平分线上，则 1+3t=-(2+3t)，t=- . (2) =(1，2)， =(3-3t，3-3t)， 若四边形 OABP 是平行四边形，则 = ， 即 此方程组无解. 所以四边形 OABP 不可能为平行四边形.