2017-2018学年贵州省凯里市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 贵州省凯里市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先化简集合B,再求，再求.‎ 详解：由题得B={x|x>2},所以={x|≤2}，‎ 所以=.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的交集补集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)化简集合B时，注意它表示函数的定义域，不是函数的值域.‎ ‎2．已知复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求复数z,再求，再求.‎ 详解：由题得，‎ 所以 故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数和模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的共轭复数复数的模.‎ ‎3．已知是公差为的等差数列，为数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由是公差为的等差数列，，可得，解得，利用等差数列求和公式求解即可.‎ 详解：是公差为的等差数列，，‎ ‎，解得，‎ 则 ，故选D.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ ‎4．设，向量，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据向量垂直的充要条件求出的坐标，进一步求出，利用向量模的坐标表示可得结果.‎ 详解：已知，‎ 由于，‎ ‎，解得，‎ ‎，，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎5．函数的部分图象可能是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除A,C,再排除D.‎ 详解：由题得，所以函数f(x)是奇函数，‎ 所以排除A,C.‎ 当x=0.0001时，，所以排除D,故答案为：B.‎ 点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.‎ ‎6．某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为 （ ）‎ A. 6 B. 3 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先通过三视图找几何体原图，再求几何体的体积.‎ 详解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，底面是一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，四棱锥的高为2,所以几何体的体积为故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力. (2)通过三视图找几何体原图常用方法有直接法和模型法.‎ ‎7．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以照表：‎ ‎（单位：）‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎-1‎ ‎（单位：度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为时，用电量约为（ ）‎ A. 56度 B. 62度 C. 64度 D. 68度 ‎【答案】A ‎【解析】分析:先求样本中心点,再求的值,再预测当气温为时的用电量.‎ 详解：由题得 因为回归直线经过样本中心点，所以40=-20+，所以=60.‎ 所以回归方程为，‎ 当x=2时，y=56. 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查回归方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 回归直线经过样本中心点，这是回归方程的一个重要性质.‎ ‎8．数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的为 （ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】执行程序框图可得：‎ 不成立， 是奇数，不成立 不成立， 是奇数，不成立 不成立， 是奇数，不成立 不成立， 是奇数，成立 不成立， 是奇数，成立 成立，‎ 故输出，结束算法 故选 ‎9．已知函数最小正周期为，则函数的图象（ ）‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先化简函数f(x)=,再根据周期求出w，再讨论每一个选项的真假.‎ 详解：由题得f(x)=，因为 对于选项A,把代入函数得，所以选项A是错误的；‎ 对于选项B, 把代入函数得，所以选项B是错误的；‎ 对于选项C,令无论k取何整数，x都取不到,所以选项C是错误的.‎ 对于选项D, 令当k=1时，，所以函数的图像关于点对称.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.‎ ‎10．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:先求圆心和半径,再求圆心到直线的距离,再根据数形结合得到d的取值范围.‎ 详解：由题得所以圆心为（2，-2），半径为1.‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 所以动点P到直线的最短距离为4-1=3，最大距离为4+1=5，‎ 故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查圆的方程和点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.‎ ‎11．已知双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比为1：2的两部分，则此双曲线的离心率等于（ ）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先通过已知条件求出双曲线的渐近线的倾斜角和斜率，再求双曲线的离心率.‎ 详解：圆的标准方程为，所以圆心坐标为（0,2），半径为2，且过原点.‎ 因为双曲线的一条渐近线经过坐标原点，截圆为弧长之比为1：2的两部分，‎ 所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，‎ 所以 所以 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查双曲线和圆的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的方法有直接法和方程法.‎ ‎12．已知是定义在上的偶函数，且满足，若当时，，则函数在区间上零点的个数为 （ ）‎ A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4037‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先把问题转化为函数的图像与函数y=的图像的交点的个数，再求函数f(x)的周期为2，再作出两个函数的图像观察图像得到零点个数.‎ 详解：函数在区间上零点的个数函数 的图像与函数y=的图像的交点的个数，‎ 因为函数f(x)是定义在 R上的偶函数，且满足，‎ 即f(-x)=f(x),又因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)是周期为2的偶函数，‎ 当时，，作出函数f(x)与y=的图像如下图，‎ 可知每个周期内有两个交点，所以函数在区间上零点的个数为2018×2+1=4037.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查利用函数的图像研究零点个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合的能力.(2)本题解答的关键有两点，其一是转化为函数的图像与函数y=的图像的交点的个数，其二是能准确作出两个函数的图像.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．曲线在处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎∴曲线在点P(0,3)处的切线的斜率为： ，‎ ‎∴曲线在点P(0,3)处的切线的方程为：y=2x+3，‎ 故答案为y=2x+3.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎14．已知变量，满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.‎ 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）‎ 由得，‎ 平移直线，‎ 由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，即z最大.‎ 由，解得，即.‎ 将代入，得，即的最大值为2.‎ 故答案为：2.‎ 点睛：线性规划问题的解题步骤：‎ ‎(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；‎ ‎(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；‎ ‎(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．‎ ‎15．展开式的常数项为80，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】分析：先利用二项式展开式的通项求常数项，再令常数项为0，解之即得实数a的值.‎ 详解：二项式的展开式中的通项公式为Tk+1=C5k•ak•x10﹣2.5k，‎ ‎∵二项式的展开式中的常数项为80，‎ ‎∴当10﹣2.5k=0时，得k=4，‎ 此时常数项为C54•a4=80，‎ 即5a4=80，解得a=±2，因为a＜0，所以a=-2.‎ 故答案为：-2．‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 求出展开式的通项公式和化简是解决本题的关键．‎ ‎16．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据抛物线的定义可得，是等边三角形，由的面积为可得从而得进而可得结果.‎ 详解：因为以为圆心，为半径的圆交于两点，，‎ 由抛物线的定义可得 ‎，‎ 是等边三角形，‎ ‎，‎ 的面积为，‎ 到准线的距离为 此抛物线的方程为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，角所对的边分别为，满足.‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）若，且，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由，利用正弦定理可得，从而得，进而可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）由余弦定理可得，，即，.‎ 详解：（I）由题意得：.‎ ‎，即 又，‎ ‎(Ⅱ)，，即 点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎18．已知正项等比数列的前项和为，若，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）利用且得到关于的方程组，解方程组即得，再写出数列的通项公式.(2)先求得，再利用裂项相消求 ‎,再证明.‎ 详解：（1）由题意得：‎ ‎∵，∴，即，‎ 解得：或（舍去）‎ 又∵，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵为递增数列，的最小值为：‎ ‎∴.‎ 点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎19．高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：‎ 每周移动支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及以上 男 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎15‎ 女 ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎30‎ 合计 ‎15‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎45‎ ‎（1）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，由以上数据完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？‎ 移动支付活跃用户 非移动支付活跃用户 总计 男 女 总计 ‎100‎ ‎（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.‎ 附公式及表如下：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）能；（2）400元.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据已知的数据完成2×2列联表，再计算判断在犯错误概率不超过0.005前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）利用二项分布求的分布列及数学期望.‎ 详解：（1）由表格数据可得2×2列联表如下：‎ 非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 合计 男 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 女 ‎15‎ ‎40‎ ‎55‎ 合计 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算得：‎ 所以在犯错误概率不超过0.005前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.‎ ‎（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，‎ 该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为，记抽出的男“移动支付达人”人数为，则，由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎；‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎300‎ ‎600‎ ‎900‎ ‎1200‎ 由，得的数学期望元 ‎（或元）‎ 点睛：（1）本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若～则 ‎20．如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，已知，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：(1)先证明A平面,再证明平面平面.(2)利用向量法求直线与平面所成角的正切值.‎ 详解：（1）由题意知：为的中点，∴，‎ 由平面得：，‎ ‎∵平面，且，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴平面平面；‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为，所以，‎ 因此.‎ 设为平面的一个法向量，则，即 ‎，取，则，‎ ‎，设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，‎ 所以直线与平面所成角的正切值为.‎ 点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力及计算能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指 求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆相交于两点.‎ ‎①若线段中点的横坐标为，求的值；‎ ‎②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）①,②.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据已知得到a,c的两个方程，解方程即得椭圆的方程.(2) ①,先联立直线与椭圆的方程得到韦达定理=2×，即得k的值. ②假设存在定点使得为定值，设点,先求，再分析得到，即得m的值.‎ 详解：（1）由题意得：① ，②，‎ 由①②解得：，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由消去得，‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎①∵线段的中点的横坐标为，所以，即，‎ 所以；‎ ‎②假设存在定点使得为定值，设点，‎ 所以 为定值，‎ 即，故，‎ 解得：，所以当时为定值，定值为.‎ 点睛：（1）本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是计算出，其二是分析得到.‎ ‎22．已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）记函数的导函数，当且时，证明：.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）先求导，再对m分类讨论，求函数f(x)的单调性.(2)先把问题等价转化，，再构造函数设函数求即得证.‎ 详解：（1）的定义域为，‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，令，得，令，得，‎ 综上所述：当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎（2）当时，，‎ 设函数，则，记，，‎ 则，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知而，‎ 由，知，所以，所以，即，‎ 所以在内为单调递增函数，所以当时，‎ 即当且时，，‎ 所以当且时，总有.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化，，其二是构造函数设函数求