四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期中考试数学（文科）试题 （解析版）

四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期中考试数学（文科）试题 （解析版）

‎2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜1，或x＞2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜﹣2，或x＞﹣1} D．{x|﹣2＜x＜﹣1}‎ ‎2．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎3‎‎2‎ C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎3‎‎2‎ ‎3．设a＞b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＞b2 B．‎1‎a‎＜‎‎1‎b C．ac‎2‎‎＞‎bc‎2‎ D．‎‎1‎a-b‎＞‎‎1‎a ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4+a6＝﹣6，则S9＝（　　）‎ A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54‎ ‎5．已知{an}是等比数列，且a5‎=‎‎1‎‎2‎，4a3+a7＝2，则a9＝（　　）‎ A．2 B．±2 C．8 D．‎‎1‎‎8‎ ‎6．已知△ABC中，A＝45°，a＝2，b‎=‎‎2‎，那么∠B为（　　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°‎ ‎7．若函数f（x）‎=‎‎2x-3‎ax‎2‎+ax+1‎的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（0，4） B．[0，2） C．[0，4） D．（2，4]‎ ‎8．在△ABC中，若2cosB•sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎9．在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内角A，B，C依次成等差数列，且不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），则b等于（　　）‎ A．‎2‎‎3‎ B．3 C．4 D．‎‎4‎‎7‎ ‎10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°（即∠BAC＝45°）的方向上，行驶600‎6‎m后到达B处，测得此山顶在北偏东15°（即∠ABC＝75°）的方向上，仰角∠DBC为30°，则此山的高度CD＝（　　）‎ A．200‎3‎m B．400‎3‎m C．600‎3‎m D．800‎3‎m ‎11．已知2sin2θ﹣cos2θ＝1，则sin2θ+cos2θ+1‎sin2θ-cos2θ+1‎的值为（　　）‎ A．‎4‎‎5‎ B．0 C．2 D．0或2‎ ‎12．已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）+1的定义域为[a，b]，值域为‎[-‎2‎，‎2‎‎2‎]‎，则b﹣a的值不可能是（　）‎ A．π‎3‎ B．π‎2‎ C．‎7π‎12‎ D．‎‎3‎‎4‎π 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知等差数列{an}的通项公式为an＝2﹣3n，那么它的公差为　 　．‎ ‎14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{an}满足a1＝1，且an‎=‎‎2an-1‎-1，n为偶数‎2an-1‎+2，n为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为　 　．‎ ‎15．若sin76°＝m，则cos7°＝　 　．‎ ‎16．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a2+c2﹣b2‎=‎‎3‎ac，则cosA+sinC 的取值范围为　 　．‎ 三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已如α，β‎∈[π‎2‎，π]‎，且cosα‎=-‎‎3‎‎5‎．（Ⅰ）求tan（π‎4‎‎-‎α）的值；（Ⅱ）若sin（α﹣β）‎=‎‎3‎‎5‎，求sinβ的值．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝﹣5，S6＝﹣12．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求当n取何值时Sn有最小值．‎ ‎19．已知sinx‎2‎+2cosx‎2‎=0‎．（1）求tanx的值；（2）求sinx的值；（3）求cos2x‎2‎cos(x+π‎4‎)sinx的值．‎ ‎20．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且（a﹣2b）cosC+ccosA＝0．（1）求C的大小；‎ ‎（2）若b＝2，c=‎‎7‎，求AB边上的高．‎ ‎21．定义行列式运算：x‎1‎x‎2‎x‎3‎x‎4‎‎=‎x1x4﹣x2x3，若函数f（x）‎=‎sin(ωx-π‎3‎)‎cosωx‎0‎‎1‎（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）数列{an}的前n项和Sn‎=An‎2‎，且A=f(‎5π‎12‎)‎，求证：数列‎{‎2‎anan+1‎}‎的前n项和Tn＜1．‎ ‎22．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2＝3，x3﹣x2＝2．（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn+1所围成的区域的面积Tn．‎ 参考答案 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）‎ ‎1．不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜1，或x＞2} B．{x|1＜x＜2} ‎ C．{x|x＜﹣2，或x＞﹣1} D．{x|﹣2＜x＜﹣1}‎ ‎【分析】根据一元二次不等式的解法与步骤，求解即可．‎ 解：解不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0，‎ 得1＜x＜2，‎ ‎∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．‎ ‎2．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎3‎‎2‎ C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎-‎‎3‎‎2‎ ‎【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．‎ 解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°‎ ‎＝cos（45°+15°）‎ ‎＝cos60°‎ ‎=‎‎1‎‎2‎‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎3．设a＞b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＞b2 B．‎1‎a‎＜‎‎1‎b C．ac‎2‎‎＞‎bc‎2‎ D．‎‎1‎a-b‎＞‎‎1‎a ‎【分析】通过举例可得ABD不正确，利用不等式的基本性质可得C成立．‎ 解：A．取a＝2，b＝﹣3，则a2＞b2不成立；‎ B．取a＝2，b＝﹣3，则‎1‎a‎＜‎‎1‎b不成立；‎ C．由a＞b，‎1‎c‎2‎‎＞‎0，可得ac‎2‎‎＞‎bc‎2‎成立；‎ D．取a＝2，b＝﹣3，则‎1‎a-b‎＜‎‎1‎a，因此不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4+a6＝﹣6，则S9＝（　　）‎ A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54‎ ‎【分析】由等差数列{an}的性质可得：a4+a6＝﹣6＝a1+a9，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．‎ 解：由等差数列{an}的性质可得：a4+a6＝﹣6＝a1+a9，‎ 则S9‎=‎9(a‎1‎+a‎9‎)‎‎2‎=‎9×（﹣3）＝﹣27．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5．已知{an}是等比数列，且a5‎=‎‎1‎‎2‎，4a3+a7＝2，则a9＝（　　）‎ A．2 B．±2 C．8 D．‎‎1‎‎8‎ ‎【分析】由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．‎ 解：在等比数列{an}中，由a‎5‎‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 得a‎3‎a‎7‎‎=a‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎，又4a3+a7＝2，‎ 联立解得：a‎3‎‎=‎‎1‎‎4‎．‎ 则q2‎=a‎5‎a‎3‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎4‎=2‎，∴a‎9‎‎=a‎5‎q‎4‎=‎1‎‎2‎×4=2‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．‎ ‎6．已知△ABC中，A＝45°，a＝2，b‎=‎‎2‎，那么∠B为（　　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°‎ ‎【分析】根据正弦定理，求出sinB的值，再根据b＜a得出B＜A，即可求出B的值．‎ 解：△ABC中，A＝45°，a＝2，b‎=‎‎2‎，‎ 由正弦定理得，asinA‎=‎bsinB，‎ ‎∴sinB‎=bsinAa=‎2‎sin45°‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎；‎ 又b＜a，‎ ‎∴B＜A，‎ ‎∴B＝30°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理的简单应用问题，是基础题目．‎ ‎7．若函数f（x）‎=‎‎2x-3‎ax‎2‎+ax+1‎的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（0，4） B．[0，2） C．[0，4） D．（2，4]‎ ‎【分析】根据f（x）的定义域为R可得出ax2+ax+1＞0的解集为R，讨论a：a＝0时，显然满足题意；a≠0时，需满足a＞0‎‎△=a‎2‎-4a＜0‎，解出a的范围即可．‎ 解：∵f（x）的定义域为R；‎ ‎∴ax2+ax+1＞0的解集为R；‎ ‎①a＝0时，1＞0恒成立，ax2+ax+1＞0的解集为R；‎ ‎②a≠0时，则a＞0‎‎△=a‎2‎-4a＜0‎；‎ 解得0＜a＜4；‎ ‎∴综上得，实数a的取值范围是[0，4）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查函数定义域的概念及求法，一元二次不等式的解集为R时，判别式△满足的条件．‎ ‎8．在△ABC中，若2cosB•sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 ‎ C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【分析】在△ABC中，总有A+B+C＝π，利用此关系式将题中：“2cosB•sinA＝sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．‎ ‎【解答】解析：∵2cosB•sinA＝sinC＝sin（A+B）⇒sin（A﹣B）＝0，‎ 又B、A为三角形的内角，‎ ‎∴A＝B．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．‎ ‎9．在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内角A，B，C依次成等差数列，且不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），则b等于（　　）‎ A．‎2‎‎3‎ B．3 C．4 D．‎‎4‎‎7‎ ‎【分析】不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），可得﹣1，2是方程﹣2x2+ax+c＝0的两个实数根，利用根与系数点关系可得：a，c．根据A，B，C依次成等差数列，可得B．再利用余弦定理即可得出．‎ 解：不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），‎ ‎∴﹣1，2是方程﹣2x2+ax+c＝0的两个实数根，‎ 可得：﹣1+2‎=‎a‎2‎，﹣1×2‎=-‎c‎2‎，‎ a＝2，c＝4．‎ ‎∵A，B，C依次成等差数列，‎ ‎∴B‎=‎‎1‎‎2‎（A+C）‎=‎‎1‎‎2‎（π﹣B），解得B‎=‎π‎3‎．‎ 则b2＝22+42﹣2×2×4cosπ‎3‎‎=‎12，解得b＝2‎3‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°（即∠BAC＝45°）的方向上，行驶600‎6‎m后到达B处，测得此山顶在北偏东15°（即∠ABC＝75°）的方向上，仰角∠DBC为30°，则此山的高度CD＝（　　）‎ A．200‎3‎m B．400‎3‎m C．600‎3‎m D．800‎3‎m ‎【分析】△ABC中由正弦定理求得BC的值，Rt△ABC中求出山高CD的值．‎ 解：△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝600‎6‎，∠ABC＝75°，‎ ‎∴∠ACB＝60°，‎ 由正弦定理得BCsin45°‎‎=‎‎600‎‎6‎sin60°‎，‎ BC‎=‎600‎6‎×‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎=‎1200，‎ Rt△ABC中，∠DBC＝30°，‎ ‎∴CD＝BCtan∠DBC＝1200‎×‎3‎‎3‎=‎400‎3‎，‎ 则山高CD为400‎3‎m．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的应用问题，从实际问题中抽象出三角形是解题的关键，属基础题．‎ ‎11．已知2sin2θ﹣cos2θ＝1，则sin2θ+cos2θ+1‎sin2θ-cos2θ+1‎的值为（　　）‎ A．‎4‎‎5‎ B．0 C．2 D．0或2‎ ‎【分析】由已知求得cosθ＝0或tanθ=‎‎1‎‎2‎，然后分类求解得答案．‎ 解：由2sin2θ﹣cos2θ＝1，得4sinθcosθ＝2cos2θ，‎ 得cosθ＝0或tanθ=‎‎1‎‎2‎．‎ 若cosθ＝0则θ=π‎2‎+kπ，2θ＝π+2kπ，‎ 则sin2θ+cos2θ+1‎sin2θ-cos2θ+1‎‎=‎0；‎ 若tanθ=‎‎1‎‎2‎，‎ 则sin2θ+cos2θ+1‎sin2θ-cos2θ+1‎‎=‎‎2sinθcosθ+2cos‎2‎θ‎2sinθcosθ+2sin‎2‎θ ‎=tanθ+1‎tanθ+tan‎2‎θ=‎1‎‎2‎‎+1‎‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎=2‎‎．‎ ‎∴sin2θ+cos2θ+1‎sin2θ-cos2θ+1‎的值为0或2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．‎ ‎12．已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）+1的定义域为[a，b]，值域为‎[-‎2‎，‎2‎‎2‎]‎，则b﹣a的值不可能是（　　）‎ A．π‎3‎ B．π‎2‎ C．‎7π‎12‎ D．‎‎3‎‎4‎π ‎【分析】利用辅助角公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦函数在一个区间上单调性，建立关系，求解b﹣a的范围．‎ 解：函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）+1‎ ‎＝2sinxcosx﹣2cos2x+1‎ ‎＝sin2x﹣cos2x ‎=‎‎2‎sin（2x‎-‎π‎4‎），‎ 其定义域为[a，b]，即x∈[a，b]，‎ 所以2x‎-‎π‎4‎∈[2a‎-‎π‎4‎，2b‎-‎π‎4‎]；‎ 又其值域为[‎-‎‎2‎，‎2‎‎2‎]，‎ 即‎-‎2‎≤‎‎2‎sin（2x‎-‎π‎4‎）‎≤‎‎2‎‎2‎，‎ 所以﹣1≤sin（2x‎-‎π‎4‎）‎≤‎‎1‎‎2‎；‎ 在正弦函数y＝sinx的一个周期内，要满足上式，‎ 则‎-π‎2‎≤‎2x‎-π‎4‎≤‎π‎6‎，‎ 所以（b﹣a）max‎=π‎6‎-‎（‎-‎π‎2‎）‎=‎‎2π‎3‎，‎ 所以b﹣a的值不可能为‎3π‎4‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了分析与运算能力，是中档题．‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知等差数列{an}的通项公式为an＝2﹣3n，那么它的公差为　﹣3　．‎ ‎【分析】利用公差d＝a2﹣a1即可得出．‎ 解：公差d＝a2﹣a1＝2﹣3×2﹣（2﹣3）＝﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{an}满足a1＝1，且an‎=‎‎2an-1‎-1，n为偶数‎2an-1‎+2，n为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为　7　．‎ ‎【分析】根据已知规律和递归式，推导出a4的值即可．‎ 解：根据题意，‎ a2＝2a1﹣1＝1；‎ a3＝2a2+2＝4；‎ a4＝2a3﹣1＝7；‎ 即解下4个圆环最少移动7次；‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题比较新颖，考查学生对于递归式的掌握和理解，属基础题．要注意n的奇偶性，代入不能搞错．‎ ‎15．若sin76°＝m，则cos7°＝　‎2m+2‎‎2‎　．‎ ‎【分析】将已知等式中的角76°变形为90°﹣14°，利用诱导公式sin（90°﹣α）＝cosα化简，用m表示出cos14°，将cos14°利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cos7°的方程，求出方程的解即可用m表示出cos7°．‎ 解：∵sin76°＝sin（90°﹣14°）＝cos14°＝m，‎ ‎∴cos14°＝2cos27°﹣1＝m，‎ 则cos7°‎=m+1‎‎2‎=‎‎2m+2‎‎2‎．‎ 故答案为：‎‎2m+2‎‎2‎ ‎【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．‎ ‎16．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a2+c2﹣b2‎=‎‎3‎ac，则cosA+sinC的取值范围为　‎(‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎)‎　．‎ ‎【分析】由已知及余弦定理可求cosB，结合B是锐角，可求B，根据三角形内角和定理可求C=‎5π‎6‎-A，利用三角函数恒等变换的应用可求cosA+sinC‎=‎3‎sin(A+π‎3‎)‎，由△ABC是锐角三角形，可求A的范围，进而可求范围‎2π‎3‎‎＜A+π‎3‎＜‎‎5π‎6‎，利用正弦函数的图象和性质即可得解其取值范围．‎ 解：由条件a‎2‎‎+c‎2‎-b‎2‎=‎3‎ac 根据余弦定理得：cosB=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵B是锐角，‎ ‎∴B=‎π‎6‎．‎ ‎∴A+C=‎‎5π‎6‎，即C=‎5π‎6‎-A，‎ ‎∴cosA+sinC=cosA+sin(‎5π‎6‎-A)‎‎#/DEL/#‎‎=cosA+sin‎5π‎6‎cosA-cos‎5π‎6‎sinA=‎3‎‎2‎sinA+‎3‎‎2‎cosA‎#/DEL/#‎‎ ‎ ‎=‎3‎sin(A+π‎3‎)‎‎，‎ 又△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴‎0＜A＜‎π‎2‎‎0＜C＜‎π‎2‎，即‎0＜A＜‎π‎2‎‎0＜‎5π‎6‎-A＜‎π‎2‎，‎ ‎∴π‎3‎‎＜A＜‎π‎2‎，‎ ‎∴‎2π‎3‎‎＜A+π‎3‎＜‎‎5π‎6‎，‎ ‎∴cosA+sinC∈(‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎)‎．‎ 故答案为：‎(‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎)‎．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已如α，β‎∈[π‎2‎，π]‎，且cosα‎=-‎‎3‎‎5‎．‎ ‎（Ⅰ）求tan（π‎4‎‎-‎α）的值；‎ ‎（Ⅱ）若sin（α﹣β）‎=‎‎3‎‎5‎，求sinβ的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据cosα‎=-‎‎3‎‎5‎，求出tanα，然后由两角差的正切公式求出tan（π‎4‎‎-‎α）的值；‎ ‎（Ⅱ）根据sin（α﹣β）‎=‎‎3‎‎5‎，求出cos(α-β)=‎‎4‎‎5‎，然后由sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]求出sinβ的值．‎ 解：（Ⅰ）∵α‎∈[π‎2‎，π]‎，且cosα‎=-‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴sinα=‎‎4‎‎5‎，∴tanα=-‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴tan(π‎4‎-α)=‎1-tanα‎1+tanα=-7‎；‎ ‎（Ⅱ）由α，β‎∈[π‎2‎，π]‎，得‎-π‎2‎＜α-β＜‎π‎2‎，‎ ‎∵sin(α-β)=‎‎3‎‎5‎，∴cos(α-β)=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]‎ ‎=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)‎‎ ‎ ‎=‎4‎‎5‎×‎4‎‎5‎-(-‎3‎‎5‎)×‎3‎‎5‎=1‎‎．‎ ‎【点评】本题考查了两角差的正弦公式，两角差的正切公式和三角函数求值，考查了计算能力和转化思想，属基础题．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝﹣5，S6＝﹣12．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并求当n取何值时Sn有最小值．‎ ‎【分析】（1）设{an}的公差为d，由题意得a‎1‎‎+d=-5‎‎2a‎1‎+5d=-4‎，解得a1，d，即可得出通项公式．‎ ‎（2）由（1）得Sn＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，利用二次函数的单调性即可得出．‎ 解：（1）设{an}的公差为d，由题意得a‎1‎‎+d=-5‎‎2a‎1‎+5d=-4‎，‎ 得a1＝﹣7，d＝2．‎ ‎∴{an}的通项公式为an＝2n﹣9．‎ ‎（2）由（1）得Sn＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，‎ ‎∴当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为﹣16．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知sinx‎2‎+2cosx‎2‎=0‎．‎ ‎（1）求tanx的值；‎ ‎（2）求sinx的值；‎ ‎（3）求cos2x‎2‎cos(x+π‎4‎)sinx的值．‎ ‎【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanx‎2‎‎=-‎2，利用二倍角的正切函数公式即可求解．‎ ‎（2）由（1）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．‎ ‎（3）利用二倍角公式，两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．‎ 解：由sinx‎2‎‎+‎2cosx‎2‎‎=‎0，得tanx‎2‎‎=-‎2，‎ ‎（1）tanx=‎2tanx‎2‎‎1-‎tan‎2‎x‎2‎=‎2×(-2)‎‎1-‎‎(-2)‎‎2‎=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎（2）sinx=2sinx‎2‎cosx‎2‎=‎2sinx‎2‎cosx‎2‎sin‎2‎x‎2‎‎+‎cos‎2‎x‎2‎=‎2tanx‎2‎tan‎2‎x‎2‎‎+1‎=‎2×(-2)‎‎(-2)‎‎2‎‎+1‎=-‎‎4‎‎5‎，‎ ‎（3）cos2x‎2‎cos(x+π‎4‎)sinx‎=cos‎2‎x-sin‎2‎x‎2‎‎(‎2‎‎2‎cosx-‎2‎‎2‎sinx)sinx=‎(cosx-sinx)(cosx+sinx)‎‎(cosx-sinx)sinx=cosx+sinxsinx=1+‎1‎tanx=1+‎3‎‎4‎=‎‎7‎‎4‎．‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎20．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且（a﹣2b）cosC+ccosA＝0．‎ ‎（1）求C的大小；‎ ‎（2）若b＝2，c=‎‎7‎，求AB边上的高．‎ ‎【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosC，进而可求C；‎ ‎（2）由余弦定理可求a，然后结合正弦定理可求sinA，进而可求．‎ 解：（1）∵（a﹣2b）cosC+ccosA＝0，‎ 由正弦定理得sinAcosC+cosAsinC﹣2sinBcosC＝0，‎ 即sin（A+C）﹣2sinBcosC＝0，即sinB（1﹣2cosC）＝0，‎ ‎∵0＜B＜π，∴sinB＞0，则有cosC=‎‎1‎‎2‎，∵0＜C＜π，因此，C=‎π‎3‎；‎ ‎（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，整理得a2﹣2a﹣3＝0，∵a＞0，解得a＝3，‎ 由正弦定理asinA‎=‎csinC，得sinA=asinCc=‎‎3‎‎21‎‎14‎，‎ 因此，AB边上的高为bsinA=2×‎3‎‎21‎‎14‎=‎‎3‎‎21‎‎7‎．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．‎ ‎21．定义行列式运算：x‎1‎x‎2‎x‎3‎x‎4‎‎=‎x1x4﹣x2x3，若函数f（x）‎=‎sin(ωx-π‎3‎)‎cosωx‎0‎‎1‎（ω＞0）的最小正周期是π．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）数列{an}的前n项和Sn‎=An‎2‎，且A=f(‎5π‎12‎)‎，求证：数列‎{‎2‎anan+1‎}‎的前n项和Tn＜1．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件，结合运算法则，利用两角和与差的三角函数化简，结合正弦函数的单调性求解即可．‎ ‎（2）求出A，利用数列的和求出通项公式，然后化简‎2‎anan+1‎，通过裂项相消法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】（1）解：由题意x‎1‎x‎2‎x‎3‎x‎4‎‎=‎x1x4﹣x2x3，‎ 可得函数f（x）‎=sin(ωx-π‎3‎)‎cosωx‎0‎‎1‎=‎sin（ωx‎-‎π‎3‎）×1﹣0×cosωx＝sin（ωx‎-‎π‎3‎），‎ 所以f(x)=sin(ωx-π‎3‎)‎，‎ ‎∵‎2π‎|ω|‎‎=π，ω＞0⇒ω=2‎，‎ ‎∴f(x)=sin(2x-π‎3‎)‎，‎ 由‎2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+π‎2‎，k∈Z可得kπ-π‎12‎≤x≤kπ+‎5π‎12‎，k∈Z．‎ ‎∴f（x）的单调增区间为‎[kπ-π‎12‎，kπ+‎5π‎12‎]，k∈Z．‎ ‎（2）证明：由（Ⅰ）得A=f(‎5π‎12‎)=sin(2×‎5π‎12‎-π‎3‎)=sinπ‎2‎=1‎，‎ ‎∴Sn‎=‎n‎2‎，‎ ‎①当n＝1时，a1＝S1＝1；‎ ‎②当n≥2（n∈N+）时，an‎=Sn-Sn-1‎=n‎2‎-(n-1‎)‎‎2‎=2n-1‎，而a1＝2×1﹣1＝1，满足上式，‎ ‎∴an＝2n﹣1，‎ 则‎2‎anan+1‎‎=‎2‎‎(2n-1)(2n+1)‎=‎1‎‎2n-1‎-‎‎1‎‎2n+1‎，‎ ‎∴Tn‎=1-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎+⋯+‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎=1-‎1‎‎2n+1‎＜1‎．‎ ‎【点评】本题考查新定义的应用，数列求和以及数列的递推关系式的应用，三角函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎22．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2＝3，x3﹣x2＝2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn+1所围成的区域的面积Tn．‎ ‎【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；‎ ‎（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．‎ 解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，‎ 由题意得x‎1‎‎+x‎1‎q=3‎x‎1‎q‎2‎‎-x‎1‎q=2‎，‎ 两式相比得：‎1+qq‎2‎‎-q‎=‎‎3‎‎2‎，解得q＝2或q‎=-‎‎1‎‎3‎（舍），‎ ‎∴x1＝1，‎ ‎∴xn＝2n﹣1．‎ ‎（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，‎ 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，‎ 则bn‎=n+n+1‎‎2‎×‎2‎n-1‎=‎（2n+1）×2n﹣2，‎ ‎∴Tn＝3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①‎ ‎∴2Tn＝3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②‎ ‎①﹣②得：﹣Tn‎=‎3‎‎2‎+‎（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1‎ ‎=‎3‎‎2‎+‎2(1-‎2‎n-1‎)‎‎1-2‎-‎‎（2n+1）×2n﹣1‎=-‎1‎‎2‎+‎（1﹣2n）×2n﹣1．‎ ‎∴Tn‎=‎‎(2n-1)×‎2‎n+1‎‎2‎．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．‎ ‎ ‎