数学卷·2018届浙江省湖州市高二上学期期中考试（2016-11）

数学卷·2018届浙江省湖州市高二上学期期中考试（2016-11）

‎2016学年第一学期期中考试 高二数学试卷 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.‎ ‎ 第 Ⅰ 卷 （选择题 共40分）‎ 注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ ‎ ‎1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于 A．4　　　　 B．‎5 C．8 D．10‎ ‎2．已知向量，，则与的夹角为 ‎ ‎ A．0° B．45° C．90° D．180°‎ 3． 圆和圆的位置关系是 ‎ A.外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 ‎4．在正方体中，、分别为、中点，则异面直线 ‎ 所成角的余弦值为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 在平面直角坐标系中，“点的坐标满足方程”是“点在曲线上”的 ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎6．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 7. 在平面直角坐标系中,方程所表示的曲线为 ‎ ‎ A．三角形 B．正方形 C．非正方形的长方形 D．非正方形的菱形 ‎ F1‎ F2‎ A B x y O ‎8.已知，分别为双曲线：的左、右焦点， 若存在过的直线分别交双曲线的左、右支于，两点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是 ‎ A． B． ‎ ‎（第8题图）‎ C． D．‎ ‎ ‎ 第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）‎ 注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.‎ 二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分, 共36分．‎ 9． 已知向量，，若，则 ▲ ；若， 则 ‎ ‎ ▲ . ‎ ‎10. 已知圆，直线过点，圆的圆心坐标是 ‎ ▲ ；若直线与圆相切，则切线在轴上的截距是 ▲ . ‎ ‎11．抛物线的焦点的坐标为 ▲ ，若是抛物线上一点，，为坐标原点，则 ▲ . ‎ ‎12. 过点(1,3)且渐近线为的双曲线方程是 ▲ , 其实轴长是 ▲ .‎ 13. 已知圆C:的交点,过A作圆C的弦AB, 记线段AB的中点为M,若OA=OM,则直线AB的斜率是 ▲ .‎ ‎14．已知斜率为的直线与抛物线交于位于轴上方的不同两点，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎15. 在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上的一点(不包括棱的 ‎ 点)，且满足，则点的个数为 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本题满分14分）已知命题“若则二次方程没有实根”，它的否命题为.‎ ‎(Ⅰ)写出命题； ‎ ‎(Ⅱ)判断命题的真假, 并证明你的结论.‎ ‎17．（本题满分15分）已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5).‎ ‎ (Ⅰ) 求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎ (Ⅱ) 若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标.‎ ‎18.（本题满分15分）已知圆与轴相切，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为2.‎ ‎ (Ⅰ)求圆标准方程；‎ ‎ (Ⅱ)若点在直线上，经过点直线与圆相切于点，求 ‎ 的最小值.‎ 19. ‎ （本题满分15分）如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形， ÐBAD=60°， 侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点.‎ A B C D P E F ‎.‎ ‎.‎ M ‎ (Ⅰ)证明：PA∥平面FBD；‎ ‎ (Ⅱ)若在棱上是否存在一点M使得 二面角的大小为60°. 若存在，‎ 求出的长,不存在请说明理由.‎ ‎（第19题图）‎ 20. ‎（本题满分15分）已知椭圆：，不经过原点的直线 与椭圆相交于不同的两点、,直线 的斜率依次构成等比数列.‎ ‎ (Ⅰ)求的关系式；‎ ‎ (Ⅱ)若离心率且 ,当为何值时,椭圆的焦距取得最小值？‎ 第一学期期中考试高二数学参考答案 一、选择题（每小题5分，共50分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D C B A A C D C 二、填空题（多空题6分，单空题4分,共36分）‎ ‎ 9. 10. 11. （0，1）， ‎ ‎ 12. ， 13. 2 14. 15. ‎ 三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ 16.（本题满分14分）已知命题“若则二次方程没有实根”，它的否命题为 .‎ ‎(Ⅰ)写出命题； (Ⅱ)判断命题的真假, 并证明你的结论.‎ ‎ 解: (Ⅰ) 命题的否命题为:“若则二次方程有实根”.‎ ‎ ....................6分 ‎ (Ⅱ) 命题的否命题是真命题. 证明如下:‎ ‎ 二次方程有实根. ‎ ‎ ∴该命题是真命题. ....................14分 ‎ 17．（本题满分15分）已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5).‎ ‎ (Ⅰ)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎ (Ⅱ)若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标.‎ ‎ 解：(Ⅰ). .......... .......... .............................2分 ‎ ，， ........6分 ‎ ‎ .......... .................... .........................7分 ‎(Ⅱ)设向量,则由 得 .....................10分 ‎ .......14分 ‎ 或 .......... .......... .......... .......................15分 ‎18.（本题满分15分） 已知圆与轴相切，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为2.‎ ‎ (Ⅰ)求圆标准方程;‎ ‎ (Ⅱ)若点在直线上，经过点直线与圆相切于点，求 ‎ ‎ 的最小值.‎ 解：(Ⅰ)因为圆心在射线上，设圆心坐标为 且，.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .............1分 ‎ 圆心到直线的距离为 ，又圆与轴相切，所以半径，设弦的中点为，则 ，在中，得 ，解得， .......... ..............................5分 故所求的圆的方程是 .......... .......... ............................6分 ‎(Ⅱ)在中，，‎ 所以，当最小时，有最小值；.......... .......... .......... .......................9分 所以于点时， ‎ 所以 .......... .......... .......... .......... .......………… .15分 19. ‎（本题满分15分） 如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形， ÐBAD=60°， 侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点．‎ ‎ (Ⅰ)证明：PA∥平面FBD；‎ ‎ (Ⅱ)若在棱上是否存在一点M使得二面角的大小为.‎ ‎ 若存在求出的长,不存在请说明理由.‎ ‎ 解:（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OF， ∵O、F分别是AC、PC的中点，‎ ‎ ∴FO∥PA. .................. ................... ................... ............................................ 5分 ‎ ∵PA不在平面FBD内， ∴PA∥平面FBD. ...........................................6分 ‎ (Ⅱ) 解法一：(先猜后证)点为的中点,即为点 .........8分 ‎ 连接EO，∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎ ∴PA⊥AC，又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，‎ ‎ ∴BD⊥平面PAC，则BD⊥EO，BD⊥FO， ‎ ‎ ∴EOF就是二面角E-BD-F的平面角 ..............11分 ‎ 连接EF，则EF∥AC，∴EF⊥FO， ‎ ‎ ∵，在Rt△OFE中，，‎ ‎ 故 ..................15分 ‎ 解法二：(向量方法探索)‎ F C A B D P EE O y x z ‎ 以O为坐标原点，如图所示，分别以射线OA,OB,OF为x,y,z轴的正半轴，‎ ‎ 建立空间直角坐标系O-xyz，由题意可知各点坐标如下：‎ ‎ O(0,0,0)，A，B，D，‎ ‎ ……………8分 设平面EBD的法向量为m=，可算得=(0,1,0)，‎ 由，即 可取..........9分 设平面BDM的法向量为,点则由得 ‎， ‎ 解得 ...............13分 由已知可得 ‎，‎ 点M为棱的中点. .......15分 ‎ (也可在中求出利用余弦定理求解)‎ 19. ‎（本题满分15分）已知椭圆：，不经过原点的直线与椭圆相交于不同的两点、,直线的斜率依次构成等比数列.‎ ‎ (Ⅰ)求的关系式；‎ ‎ (Ⅱ)若离心率且 当为何值时,椭圆的焦距取得最小值？‎ 解：（Ⅰ）设，由题意得…………1分 ‎ 由 可得 ……3分 ‎ （联立方程就给1分）‎ ‎ 故 ，即 ‎ ………………………………………………………4分 ‎ ， ……………6分 ‎ ......………7分 ‎ 即， 又直线不经过原点，‎ ‎ 所以 所以 即 …….......…8分 ‎ （Ⅱ）若，则，，又，得 ..…10分 ‎ ……………12分 ‎ ,化简得 （‎ 恒成立）, 当 时，焦距最小…………………………………………15分 ‎（写出距离公式或给1分）‎