河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析

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河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年春期六校第一次联考 高二年级数学试题(理科)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若函数满足,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义可直接化简求得结果.‎ ‎【详解】.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题,属于基础题.‎ ‎2.观察图形规律,在图中右下角空格内应填入的图形为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析:观察图形不难发现每行有两个阴影图形,三个图形有长方形、圆、三角形 详解:其规律是每行有方块,三角形,圆形各一个,且有两块是有阴影部分,照此规律,第三行第三格应填方块,由于前两格只有一格有阴影部分,故第三格应是阴影部分的方块 故选 点睛:本题属于规律题,只要观察图形做出判断不难发现规律.‎ ‎3.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ - 18 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后代入可求得,进而得到;代入即可求得结果.‎ ‎【详解】由题意得:,,解得:,‎ ‎,.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查导数值的求解问题,关键是能够明确为常数,其导数为零.‎ ‎4.用反证法证明“至少存在一个实数,使成立”时,假设正确的是( )‎ A. 至少存在两个实数,使成立 B. 至多存在一个实数,使成立 C. 不存在实数,使成立 D. 任意实数,恒成立 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的原理可直接判断得到结果.‎ ‎【详解】根据反证法的原理知:假设是对“至少存在一个实数”的否定,‎ 即“不存在实数,使成立”.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查反证法原理的应用,属于基础题.‎ ‎5.下列使用类比推理正确的是( )‎ A. “平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”‎ B. “若,则”类比推出“若,则”‎ C. “实数,,满足运算”类比推出“平面向量满足运算”‎ - 18 -‎ D. “正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据类比结果进行判断选择.‎ ‎【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定,所以A错;‎ 因为“若,则”,所以B错;‎ 因为,所以C错;‎ 因为正方体的内切球切于各面的中心,所以正确.选D.‎ ‎【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质,考查基本分析判断能力,属基础题.‎ ‎6.函数的单调递增区间是( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后,令求得的范围即为所求单调递增区间.‎ ‎【详解】由题意得:.‎ 令得:,的单调递增区间为.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间的问题,关键是明确导函数与原函数单调性之间的关系.‎ ‎7.已知函数在上不单调,则m的取值范围是( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导,函数不单调,解得答案.‎ ‎【详解】.‎ 因为在上不单调,所以,故.‎ 故答案为A ‎【点睛】本题考查了函数的单调性,意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛,只有其中一位获奖,有人走访了这四位大学生,甲说:“是丙获奖.”乙说:“是丙或丁获奖.”丙说:“乙、丁都未获奖.”丁说:“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的,则获奖的大学生是( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四位大学生的话只有两人说的是对的,假设其中一人说的对,如果和条件不符合,就说明假设的不对,如果和条件相符,则按假设的方法解决问题.‎ ‎【详解】若甲说的对,则乙、丙两人说的也对,这与只有两人说的对不符,故甲说的不对;‎ 若甲说的不对,乙说的对,则丁说的也对,丙说的不对,符合条件,故获奖的是丁;‎ 若若甲说不对,乙说的不对,则丁说的也不对,故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了推理的应用,假设法是经常用的方法.‎ ‎9.设曲线在处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 根据导数的几何意义可求得在处的切线方程,进而得到,代入所求式子,根据对数运算法则可求得结果.‎ ‎【详解】,在处的切线斜率,切线方程为:,‎ 令,解得:.‎ ‎.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义的应用,关键是能够利用导数的几何意义准确求得在某点处的切线方程.‎ ‎10.观察如图中各多边形图案,每个图案均由若干个全等的正六边形组成,记第个图案中正六边形的个数是.‎ 由,,,…,可推出( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图形,发现,第一个图案中有一个正六边形,第二个图案中有7个正六边形;…‎ 根据这个规律,即可确定第10个图案中正六边形的个数.‎ ‎【详解】由图可知,,‎ ‎ ‎ - 18 -‎ ‎…‎ ‎ ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】此类题要能够结合图形,发现规律:当时,‎ ‎11.设函数,则使得成立的的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数;利用导数可求得在上单调递增,由奇偶性知在上单调递减,由此可将原不等式化为,解不等式求得结果.‎ ‎【详解】当时,,,为偶函数.‎ 当时,,在上单调递增;‎ 又为偶函数,在上单调递减,‎ 由得:,即,‎ 解得:,即的取值范围为.‎ 故选:.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题,关键是能够利用奇偶性的定义求得函数奇偶性、利用导数求得函数的单调性,进而将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.‎ ‎12.对任意的实数,关于的方程都有两个不同的实根,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变形为,采用换元法将问题变为与有两个不同的交点的问题;结合导数可得到的图象,利用数形结合的方式可求得结果.‎ ‎【详解】由得:,.‎ 令,则,‎ 原方程有两个不同的实根,等价于与有两个不同的交点.‎ ‎,‎ 当时,;当时,,‎ 在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎,‎ 又当时,;当时,,由此可得图象如下图所示:‎ 当时,与有两个不同的交点,‎ - 18 -‎ 即当时,方程有两个不同的实根.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题,关键是能够通过变形和换元,将问题转化为两函数图象交点个数问题的求解,进而通过数形结合的方式求得结果.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.函数的图象在点处的切线方程是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出在1处的导数,再求出在1处的函数值,然后用点斜式求出方程即可.‎ ‎【详解】,∴且,切线方程是,即.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在点处的切线方程,属于基础题.‎ ‎14.若函数的最小值为,则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数可求得函数的单调性,进而确定,由此构造方程求得结果.‎ ‎【详解】.‎ 当时,;当时,,‎ 在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎,解得:.‎ 故答案为:.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题,关键是能够利用导数准确求解出函数的单调性,进而确定最值点.‎ ‎15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程求得,类似上述过程,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先换元令,平方可得方程,解方程即可得到结果.‎ ‎【详解】令,则两边平方得,得 即,解得:或(舍去)‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查新定义运算的问题,关键是读懂已知条件所给的方程的形式,从而可利用换元法来进行求解.‎ ‎16.设函数是偶函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,利用导数可求得时单调递增,结合可确定当时,即,利用偶函数的性质可确定当时,‎ - 18 -‎ ‎,由此可得最终结果.‎ ‎【详解】令,.‎ 当时,,当时,,‎ 在上单调递增.‎ 是偶函数且,,,‎ 当时,,则当时,,‎ 又为偶函数,当时,.‎ 综上所述:当时,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性求解函数不等式的问题,关键是能够通过构造函数的方式,利用导数得到所构造函数的单调性,结合函数奇偶性求得原不等式的解集.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数,.‎ ‎(1)当时,求的极值;‎ ‎(2)若有三个单调区间,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由a=1得到f(x)的解析式,求出导函数等于0时x的值,讨论函数的单调性,可得到函数的极值;‎ ‎(2)由题意转化为f′(x)=0有两个不相等的实数根,利用可求得结论.‎ ‎【详解】(1)当时,则,‎ 即.‎ 当时,则或-1.‎ - 18 -‎ 当时,;此时在递减,‎ 当时,. 此时在递增,‎ 故,.‎ ‎(2)若函数有三个单调区间,则有两个不等实根.‎ 即,解得.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间和极值问题,考查了一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎18.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若,证明:;‎ ‎(2)若,证明:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理边转角,即可得到本题答案;‎ ‎(2)用反证法证明,假设,得到,与已知矛盾,故假设错误,结论正确.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,‎ 则,‎ 由正弦定理得;‎ ‎(2)假设,则,,‎ 那么,,‎ 于是,即,‎ 与已知矛盾,故假设错误,‎ 所以当时,.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及利用反证法证明结论.‎ - 18 -‎ ‎19.已知若椭圆:()交轴于,两点,点是椭圆上异于,的任意一点,直线,分别交轴于点,,则为定值.‎ ‎(1)若将双曲线与椭圆类比,试写出类比得到的命题;‎ ‎(2)判定(1)类比得到命题的真假,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)命题为真命题,证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据类比推理的基本原则可直接写出结果;‎ ‎(2)设,,,表示出直线方程后可求得点坐标,由此得到,同理得到,根据平面向量的数量积运算可构造方程,结合点在双曲线上可化简得到结果.‎ ‎【详解】(1)类比得命题:若双曲线:交轴于两点,点是双曲线上异于的任意一点,直线分别交轴于点,则为定值.‎ ‎(2)在(1)中类比得到的命题为真命题,证明如下:‎ 不妨设,,,则,‎ ‎∴直线方程为.‎ 令,则,∴点坐标为.‎ 又,∴.‎ 同法可求得:.‎ - 18 -‎ ‎∴.‎ 又∵,∴.‎ ‎【点睛】本题考查类比推理的应用、双曲线中定值问题的证明;关键是能够熟练应用直线与双曲线的相关知识,表示出所需的平面向量,根据平面向量数量积的坐标运算可化简得到结果.‎ ‎20.已知函数,数列对于,总有,.‎ ‎(1)求,,的值,并猜想数列的通项公式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】(1),,,;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用函数解析式可得递推关系式,依次代入可求得,由数字变化规律可猜想得到通项公式;‎ ‎(2)当时,可知结论成立;假设当时结论成立,则当时,由递推关系式和假设的结论整理可知结论成立,由此可知猜想成立.‎ ‎【详解】(1)由得:,‎ ‎,所以,,,‎ 由此可猜想:.‎ ‎(2)用数学归纳法证明如下:‎ ‎①当时,,猜想成立;‎ ‎②假设当时猜想成立,即,‎ - 18 -‎ 则当时,,‎ 所以当时猜想也成立.‎ 由①②知,对,都成立.‎ ‎【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列中的项、猜想通项公式、利用数学归纳法证明数列中的结论问题;证明数学归纳法时需注意一定要用到所作的假设.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若对恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别在和两种情况下,根据的正负可确定的单调性;‎ ‎(2)根据(1)的结论可确定不合题意;当时,根据指数函数值域可知满足题意;当时,令,由此构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】(1)由题意得:,‎ 当时,,在上单调递增;‎ 当时,令得:.‎ 当时,,在上单调递减;‎ 当时,,在上单调递增.‎ - 18 -‎ 综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)由(1)可知:当时,在上单调递增,‎ 当时,,,此时,不合题意;‎ 当时,恒成立,满足题意.‎ 当时,在处取最小值,且,‎ 令,解得:,此时恒成立.‎ 综上所述:的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解;求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论,将问题转化为函数最小值大于零的问题,由此构造不等式求得结果.‎ ‎22.设函数,.‎ ‎(1)证明:.‎ ‎(2)若恒成立,求的取值范围;‎ ‎(3)证明:当时,.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令函数,证明其最小值大于等于0即可(2)原题转化为恒成立,令,求导求其最小值即可;(3)由(1),令,得 - 18 -‎ ‎,裂项相消求和得即可 ‎【详解】(1)证明:令函数,,‎ ‎,‎ 所以为单调递增函数,,‎ 故 ‎(2),即为,‎ 令,即恒成立,‎ ‎,‎ 令,即,得.‎ 当,即时,在上单调递增,‎ ‎,‎ 所以当时,在上恒成立;‎ 当,即时,在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以,‎ 所以不恒成立.‎ 综上所述:的取值范围为.‎ ‎(3)证明:由(1)知,‎ 令,,,‎ ‎,即,‎ 故有,‎ ‎,‎ ‎…‎ - 18 -‎ ‎,‎ 上述各式相加可得.‎ 因为,‎ ‎,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数的最值,利用导数求解恒成立问题,利用导数证明不等式,分类讨论思想,分析求解能力,第三问关键是利用(1)令,裂项求和,是中档题 - 18 -‎ - 18 -‎
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