2019-2020学年山西省忻州市静乐县第一中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省忻州市静乐县第一中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省忻州市静乐县第一中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得集合 ，要使得，则，故选A.‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎2．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A．{1} B．{–1，0} C．{0，1} D．{–1，0，1}‎ ‎【答案】B ‎【解析】对集合，分别进行解不等式化简，再进行集合的交运算.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的求解、文氏图、集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（ ）‎ A． B．（–∞，0] C．[1，+∞） D．R ‎【答案】A ‎【解析】将自变量的值代入解析式，即可得到函数f（x）的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 的值域为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了已知函数的值域，属于基础题.‎ ‎4．已知函数，若f（a）=10，则a的值是（　　）‎ A．-3或5 B．3或-3 C．-3 D．3或-3或5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分段函数的解析式，分两种情况讨论分别求得或.‎ ‎【详解】‎ 若,则舍去）,‎ 若，则, ‎ 综上可得，或,故选A .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求自变量，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.‎ ‎5．设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是（ ）‎ A．<< B．>>‎ C．<< D．>>‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇偶性得到，结合单调性得到.‎ ‎【详解】‎ 因为是R上的偶函数 所以 ‎ 又x时是增函数，且 ‎ 所以 ‎ 即 ‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性来比较函数值的大小，属于基础题.‎ ‎6．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则 A．4034 B．2020‎ C．2018 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出函数的周期，再结合已知条件求解.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像关于直线x=2对称，所以，‎ 所以 所以，‎ 所以函数的周期是8,‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性、对称性及函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得出，不等式mx2mx+2>0的解集为R，从而可看出m ‎＝0时，满足题意，m≠0时，可得出，解出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）的定义域为R；‎ ‎∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；‎ ‎①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；‎ ‎②m≠0时，则；‎ 解得0＜m<8；‎ 综上得，实数m的取值范围是 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．‎ ‎8．已知满足， 当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据进行递推得到与的关系，求得的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的递推关系求函数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9．函数定义域为，且对任意，恒成立.则下列选项中不恒成立的是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎10．定义集合A、B的一种运算：，若，‎ ‎，则中的所有元素数字之和为 A．9 B．14 C．18 D．21‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 因为由定义可知，AB={2，3，4，5}，所以AB中的所有元素数字之和为：14‎ 故答案为B ‎11．已知函数定义域是 ，则的定义域是（ ）‎ A．[0,] B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数定义域得到的取值范围，进而得到，解不等式，即可得到的定义域.‎ ‎【详解】‎ 因为函数定义域是 所以 所以，解得：‎ 故函数的定义域是[0,]‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎12．已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出函数的图象,设,结合函数的图象性质,易得,,进而可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象,如下图.‎ 当时,的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为,最小值为;当时,为直线的一部分.‎ 设,,由图象可知,,‎ 令,解得,则,且,‎ 则,即.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程的根与分段函数的性质,利用一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知集合A={,,2},B={2,,2}且，=，则= ．‎ ‎【答案】0或 ‎【解析】【详解】‎ ‎14．奇函数的图象关于点对称，，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2，从而求出.‎ 详解：由题设有 ‎，‎ 从而有，为周期函数且周期为，所以 .‎ 点睛：一般地，定义在上的函数如果满足，（），那么的一个周期为.‎ ‎15．不等式的的解集为，则实数的取值范围为____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论,根据一元二次不等式的解集性质可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时,不等式变为：,显然符合题意；‎ 当时,要想不等式的的解集为,‎ 只需：,综上所述实数的取值范围为.‎ 故答案为；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知不等式的解集求参数取值范围问题,考查了一元二次不等式解集的性质.‎ ‎16．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意，解得．‎ ‎【考点】函数的单调性．‎ ‎【名师点睛】一次函数总是单调的，在区间上函数值有正有负，如果函数为增函数，则，如果函数为减函数，则，因此不管增减，只要即可满足条件．‎ 三、解答题 ‎17．设全集为，，．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据并集与补集的定义，计算即可；‎ ‎（2）根据A∩C=A知A⊆C，列出不等式组求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）全集为，，，‎ ‎， ‎ ‎； ‎ ‎（2），且，知， ‎ 由题意知，，解得，‎ 实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ ‎1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．‎ ‎2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎18． 已知函数 ，‎ ‎（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；‎ ‎（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进行证明； (Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．‎ 试题解析：(Ⅰ) 设，且,则 ‎ ‎　∴　∴，∴‎ ‎∴　‎ ‎∴，即 ‎∴在上是增函数.‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知在上是增函数 ‎∴当时，‎ ‎∴当时，‎ 综上所述，在上的最大值为，最小值为.‎ ‎19．已知函数，若在区间上有最大值1．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在上单调，求数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）-1；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象是抛物线，，‎ 所以开口向下，对称轴是直线，‎ 所以函数在单调递减，‎ 所以当时，，‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 在上单调，‎ ‎，或.‎ 从而，或 所以，m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.‎ ‎20．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．‎ ‎(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；‎ ‎(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)‎ ‎【解析】解：(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＋1>2m－1，则m<2；‎ 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得，解得2≤m≤3.‎ 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．‎ ‎(2)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.‎ ‎(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，‎ 可得，‎ 或，解得m>4.‎ 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间 ‎（2）当时，有，求的范围.‎ ‎【答案】(1)单调减区间是.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）求，判断的符号，从而找出该函数的单调区间；（2）先根据的范围，求出 和 的范围，并确定出 和 属于单调区间，根据单调性列不等式求解即可.‎ 详解：(1) ，‎ 函数在上单调减，‎ 所以函数的单调减区间是.‎ ‎(2) 时，，，‎ 即和都在的单调减区间上，‎ 所以由得，‎ 解得或，又，所以，‎ 所以的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间.‎ ‎22．已知函数，满足：①对任意，都有；‎ ‎②对任意n∈N 都有．‎ ‎（Ⅰ）试证明：为上的单调增函数；‎ ‎（Ⅱ）求；‎ ‎（Ⅲ）令，试证明：‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：（I） 由①知，对任意，都有，‎ 由于，从而，所以函数为上的单调增函数 ‎（II）令，则，显然，否则，与矛盾.从而，而由,即得.‎ 又由（I）知，即.‎ 于是得，又，从而，即.‎ 进而由知，.‎ 于是,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎, 由于,‎ 而且由（I）知，函数为单调增函数，因此.‎ 从而.‎ ‎（Ⅲ）,‎ ‎，.‎ 即数列是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .‎ ‎∴‎ 于是,显然,‎ 另一方面,‎ 从而.‎ 综上所述,.‎