【数学】2020届江苏一轮复习通用版15-1椭Բ作业
专题十五 圆锥曲线与方程
【真题典例】
15.1 椭 圆
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
椭圆的定义与标准方程
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
2017江苏,17
椭圆的标准方程
直线与直线的位置关系
★★★
椭圆的几何性质
1.基本量计算
2.离心率问题
3.范围问题
4.焦点三角形
2014江苏,17
离心率问题
椭圆的标准方程
★★★
2016江苏,10
离心率问题
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
1.弦的问题
2.面积问题
2015江苏,18
弦长问题,直线与椭圆的位置关系
椭圆的标准方程
★★★
分析解读 椭圆的标准方程和几何性质是江苏高考的必考内容之一.在填空题中侧重于性质的考查,如离心率问题.在解答题中的第(1)问通常是求解椭圆的标准方程,比较简单;而后的设问通常是结合圆、向量、直线等考点,考查直线与椭圆的位置关系,对于运算化简能力的要求比较高.
破考点
【考点集训】
考点一 椭圆的定义与标准方程
1.(2018江苏昆山期初)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 .
答案 椭圆
2.(2019届江苏海安期中)设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0
b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 .
答案 13
3.已知F1、F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使PF1·PF2取得最大值的点P的坐标为 .
答案 (0,1)或(0,-1)
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2018江苏江阴模拟)已知椭圆:y29+x2=1,过点P12,12的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为 .
答案 9x+y-5=0
2.(2018江苏南师大附中期初)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A、B,且|AB|=52|BF|.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.
解析 (1)由|AB|=52|BF|,
得a2+b2=52a,即4a2+4b2=5a2,
∴4a2+4(a2-c2)=5a2,∴e=ca=32.
(2)由(1)知a2=4b2,∴椭圆C:x24b2+y2b2=1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2).
直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
由2x-y+2=0,x24b2+y2b2=1消去y,得x2+4(2x+2)2-4b2=0,
即17x2+32x+16-4b2=0.
则x1+x2=-3217,x1x2=16-4b217.
由Δ=322+16×17(b2-4)>0,解得b>21717.
∵OP⊥OQ,∴OP·OQ=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)·(2x2+2)=0,
5x1x2+4(x1+x2)+4=0.从而5(16-4b2)17-12817+4=0,
解得b=1,满足b>21717.
∴椭圆C的方程为x24+y2=1.
炼技法
【方法集训】
方法一 求椭圆标准方程的方法
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于13,则椭圆C的方程是 .
答案 x29+y28=1
2.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶3,则椭圆C的方程是 .
答案 x216+y212=1
方法二 求椭圆离心率(取值范围)的方法
1.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等差数列,则此椭圆的离心率为 .
答案 12
2.椭圆C的两个焦点分别是F1,F2,若C上的点P满足|PF1|=32|F1F2|,则椭圆C的离心率e的取值范围是 .
答案 14,12
方法三 椭圆中定点、定值问题的解法
(2018江苏天一中学周考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,上、下顶点分别是B1,B2,C是B1F2的中点,若B1F1·B1F2=2,且CF1⊥B1F2.
(1)求椭圆的方程;
(2)点Q是椭圆上任意一点,A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,直线QA1,QA2与直线x=433分别交于E,F两点,试证:以EF为直径的圆与x轴交于定点,并求该定点的坐标.
解析 (1)设F1(-c,0),F2(c,0),B1(0,b),
则Cc2,b2.
由B1F1·B1F2=2,CF1⊥B1F2,
得(-c,-b)·(c,-b)=2,-3c2,-b2·(c,-b)=0,
即b2-c2=2,b2=3c2,解得b2=3,c2=1,从而a2=4,
故所求椭圆的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)得A1(-2,0),A2(2,0),
设Q(x0,y0),易知x0≠±2,
则直线QA1的方程为y=y0x0+2(x+2),与直线x=433的交点E的坐标为433,y0x0+2433+2,
直线QA2的方程为y=y0x0-2(x-2),与直线x=433的交点F的坐标为433,y0x0-2433-2,
设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0),m≠433,
则HE⊥HF,从而kHE·kHF=-1,
即y0x0+2433+2433-m·y0x0-2433-2433-m=-1,
即43y02x02-4=-433-m2,①
由x024+y023=1,得y02=12-3x024.②
所以由①②得m=433±1,
故以EF为直径的圆与x轴交于定点,且该定点的坐标为433+1,0或433-1,0.
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
答案 63
2.(2017江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.
解析 本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知识,考查分析问题能力和运算求解能力.
(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,
因此椭圆E的标准方程是x24+y23=1.
(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).
设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.
当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.
当x0≠1时,直线PF1的斜率为y0x0+1,直线PF2的斜率为y0x0-1.
因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-x0+1y0,直线l2的斜率为-x0-1y0,
从而直线l1的方程:y=-x0+1y0(x+1),①
直线l2的方程:y=-x0-1y0(x-1).②
由①②,解得x=-x0,y=x02-1y0,
所以Q-x0,x02-1y0.
因为点Q在椭圆上,由对称性,得x02-1y0=±y0,即x02-y02=1或x02+y02=1.
又P在椭圆E上,故x024+y023=1.
由x02-y02=1,x024+y023=1,解得x0=477,y0=377;x02+y02=1,x024+y023=1,无解.
因此点P的坐标为477,377.
3.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.
(1)若点C的坐标为43,13,且BF2=2,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
解析 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF2=b2+c2=a.
又BF2=2,故a=2.
因为点C43,13在椭圆上,所以169a2+19b2=1,解得b2=1.
故所求椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为xc+yb=1.
解方程组xc+yb=1,x2a2+y2b2=1,得x1=2a2ca2+c2,y1=b(c2-a2)a2+c2,x2=0,y2=b.
所以点A的坐标为2a2ca2+c2,b(c2-a2)a2+c2.
又AC垂直于x轴,所以由椭圆的对称性,可得点C的坐标为2a2ca2+c2,b(a2-c2)a2+c2.
因为直线F1C的斜率为b(a2-c2)a2+c2-02a2ca2+c2-(-c)=b(a2-c2)3a2c+c3,直线AB的斜率为-bc,且F1C⊥AB,所以b(a2-c2)3a2c+c3·-bc=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=15.因此e=55.
4.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
解析 (1)由题意,得ca=22且c+a2c=3,
解得a=2,c=1,则b=1,
所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,AB=2,
又CP=3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=2k2±2(1+k2)1+2k2,C的坐标为2k21+2k2,-k1+2k2,且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2=22(1+k2)1+2k2.
若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,
则P点的坐标为-2,5k2+2k(1+2k2),
从而PC=2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2).
因为PC=2AB,所以2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)=42(1+k2)1+2k2,解得k=±1.
此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 椭圆的定义与标准方程
1.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m>1)上两点A,B满足AP=2PB,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大.
答案 5
2.(2014大纲全国改编,6,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为 .
答案 x23+y22=1
3.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
解析 (1)设F(c,0),由条件知,2c=233,得c=3.
又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为x24+y2=1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,
故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入x24+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>34时,x1,2=8k±24k2-34k2+1.
从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.
又点O到直线PQ的距离d=2k2+1,
所以△OPQ的面积S△OPQ=12d·|PQ|=44k2-34k2+1.
设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.
因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,且满足Δ>0,
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.
评析 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线的方程以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及换元法的应用.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.
4.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
解析 (1)由题意得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
又c=a2-b2=3,
所以离心率e=ca=32.
(2)设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x02+4y02=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以,直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2).
令x=0,得yM=-2y0x0-2,从而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.
直线PB的方程为y=y0-1x0x+1.
令y=0,得xN=-x0y0-1,
从而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.
所以四边形ABNM的面积
S=12|AN|·|BM|
=122+x0y0-11+2y0x0-2
=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+42(x0y0-x0-2y0+2)
=2x0y0-2x0-4y0+4x0y0-x0-2y0+2=2.
从而四边形ABNM的面积为定值.
评析 本题考查了椭圆的标准方程、离心率和直线方程的相关知识及定值问题,知识点较综合,属中等偏难题.
5.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,2),且离心率e=22.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G-94,0与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
解析 (1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.
所以椭圆E的方程为x24+y22=1.
(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).
由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而y0=mm2+2.
所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.
|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24
=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]4=(1+m2)(y02-y1y2),
故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,所以|GH|>|AB|2.
故点G-94,0在以AB为直径的圆外.
解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x1+94,y1,
GB=x2+94,y2.
由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,
所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,
从而GA·GB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,
所以cos>0.又GA,GB不共线,所以∠AGB为锐角.
故点G-94,0在以AB为直径的圆外.
评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.
6.(2016山东,21,14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明k'k为定值;
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c.
由题意知2a=4,2c=22,
所以a=2,b=a2-c2=2.
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)(i)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).
所以直线PM的斜率k=2m-mx0=mx0,
直线QM的斜率k'=-2m-mx0=-3mx0.
此时k'k=-3.所以k'k为定值-3.
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).
直线PA的方程为y=kx+m,
直线QB的方程为y=-3kx+m.
联立y=kx+m,x24+y22=1,
整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.
由x0x1=2m2-42k2+1,
可得x1=2(m2-2)(2k2+1)x0.
所以y1=kx1+m=2k(m2-2)(2k2+1)x0+m.
同理x2=2(m2-2)(18k2+1)x0,y2=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m.
所以x2-x1=2(m2-2)(18k2+1)x0-2(m2-2)(2k2+1)x0=-32k2(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,
y2-y1=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m-2k(m2-2)(2k2+1)x0-m=-8k(6k2+1)(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,
所以kAB=y2-y1x2-x1=6k2+14k=146k+1k.
由m>0,x0>0,可知k>0,
所以6k+1k≥26,等号当且仅当k=66时取得.
此时m4-8m2=66,即m=147,符合题意.
所以直线AB的斜率的最小值为62.
评析本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的斜率等基础知识,考查逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力.
考点二 椭圆的几何性质
1.(2018课标全国Ⅰ文改编,4,5分)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 .
答案 22
2.(2018课标全国Ⅱ理改编,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为 .
答案 14
3.(2018课标全国Ⅱ文改编,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 .
答案 3-1
4.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 .
答案 3-1;2
5.(2017浙江改编,2,5分)椭圆x29+y24=1的离心率是 .
答案 53
6.(2017课标全国Ⅰ文改编,12,5分)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 .
答案 (0,1]∪[9,+∞)
7.(2014湖北改编,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 .
答案 433
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2018课标全国Ⅲ理,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-12;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,并求该数列的公差.
解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x124+y123=1,x224+y223=1.
两式相减,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23·k=0.
由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,
于是k=-34m.①
由题设得0b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=62.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若|AQ||PQ|=524sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=2b,
由|FB|·|AB|=62,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为x29+y24=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=y2sin∠OAB,而∠OAB=π4,故|AQ|=2y2.
由|AQ||PQ|=524sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组y=kx,x29+y24=1,消去x,可得y1=6k9k2+4.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组y=kx,x+y-2=0,消去x,可得y2=2kk+1.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=39k2+4,两边平方,
整理得56k2-50k+11=0,解得k=12,或k=1128.
所以,k的值为12或1128.
解题关键 利用平面几何知识将|AQ||PQ|=524sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第(2)问的关键.
方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;
(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应用;④解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程.
3.(2018课标全国Ⅰ理,19,12分)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
解析 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,
由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22.
所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.
(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,
当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,
所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,
设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2,
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).
将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0,
从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上,∠OMA=∠OMB.
4.(2017山东理,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,焦距为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,动直线l:y=k1x-32交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=24.M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
解析 本题考查椭圆的方程,直线与椭圆、圆的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能力.
(1)由题意知e=ca=22,2c=2,所以a=2,b=1,
因此椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x22+y2=1,y=k1x-32,消y整理得(4k12+2)x2-43k1x-1=0,
由题意知Δ>0,且x1+x2=23k12k12+1,x1x2=-12(2k12+1),
所以|AB|=1+k12|x1-x2|=21+k121+8k121+2k12.
由题意可知圆M的半径
r=23|AB|=223·1+k121+8k122k12+1.
由题设知k1k2=24,所以k2=24k1,
因此直线OC的方程为y=24k1x.
联立x22+y2=1,y=24k1x,得x2=8k121+4k12,y2=11+4k12,
因此|OC|=x2+y2=1+8k121+4k12.
由题意可知sin∠SOT2=rr+|OC|=11+|OC|r,
而|OC|r=1+8k121+4k12223·1+k121+8k121+2k12=3241+2k121+4k121+k12,
令t=1+2k12,则t>1,1t∈(0,1),
因此|OC|r=32·t2t2+t-1=32·12+1t-1t2
=32·1-1t-122+94≥1,
当且仅当1t=12,即t=2时等号成立,此时k1=±22,
所以sin∠SOT2≤12,
因此∠SOT2≤π6,所以∠SOT的最大值为π3.
综上所述:∠SOT的最大值为π3,取得最大值时直线l的斜率k1=±22.
思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线l与椭圆方程,利用距离公式求出|AB|,联立直线OC与椭圆方程求|OC|,进而建立sin∠SOT2与k1之间的函数关系,利用二次函数的性质求解.
解后反思 最值问题一般利用函数的思想方法求解,利用距离公式建立sin∠SOT2与k1之间的函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法是求解的前提.本题的完美解答体现了数学知识、能力、思想、方法的完美结合.
5.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.
(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由题意得a=2,ca=32,
解得c=3.
所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).
直线BN的方程为y=n2-m(x-2).
联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),
解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.
又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,
S△BDN=12|BD|·|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的情况.
6.(2017山东文,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
解析 本题考查椭圆的标准方程及圆锥曲线的相关最值.
(1)由椭圆的离心率为22,得a2=2(a2-b2),
又当y=1时,x2=a2-a2b2,得a2-a2b2=2,
所以a2=4,b2=2.
因此椭圆方程为x24+y22=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程y=kx+m,x2+2y2=4,
得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,
由Δ>0得m2<4k2+2,(*)
且x1+x2=-4km2k2+1,因此y1+y2=2m2k2+1,
所以D-2km2k2+1,m2k2+1,
又N(0,-m),所以|ND|2=-2km2k2+12+m2k2+1+m2,
整理得|ND|2=4m2(1+3k2+k4)(2k2+1)2,
因为|NF|=|m|,
所以|ND|2|NF|2=4(k4+3k2+1)(2k2+1)2=1+8k2+3(2k2+1)2.
令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=t+14,
所以|ND|2|NF|2=1+16t(1+t)2=1+16t+1t+2.
令y=t+1t,所以y'=1-1t2.
当t≥3时,y'>0,
从而y=t+1t在[3,+∞)上单调递增,
因此t+1t≥103,
等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,
所以|ND|2|NF|2≤1+3=4,
由(*)得-2b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为b22.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
(i)求直线FP的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力.
(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因为00),则直线FP的斜率为1m.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.
(ii)由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.
由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,
整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-13c7(舍去),或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面积为12|FQ||QN|=27c232,同理△FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造a,c的齐次式,利用方程思想求出离心率e的值.
2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=y1-y2x1-x2(x1≠x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=nm(m≠0);(4)点差法.
3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.
8.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);
(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
解析 (1)由题意得b=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a2=2.
故椭圆C的方程为x22+y2=1.
设M(xM,0).
因为m≠0,所以-11).
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,
由y=kx+1,x2a2+y2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-2a2k1+a2k2.
因此|AP|=1+k2|x1-x2|=2a2|k|1+a2k2·1+k2.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.
记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,
且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,
故2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,
所以(k12-k22)[1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22]=0.
由于k1≠k2,k1,k2>0得1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,
因此1k12+11k22+1=1+a2(a2-2),①
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>2.
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=6d1,则椭圆C的离心率为 .
答案 33
2.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解析 (1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).
故C的离心率为12.
(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,
则2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.
代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.②
将①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.
评析本题考查了椭圆的几何性质,考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识.
3.(2014天津,18,13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=32|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.
解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=32·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则c2a2=12.
所以椭圆的离心率e=22.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).
由已知,有F1P·F1B=0,
即(x0+c)c+y0c=0.
又c≠0,故有
x0+y0+c=0.①
又因为点P在椭圆上,
故x022c2+y02c2=1.②
由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,
故x0=-43c,代入①得y0=c3,
即点P的坐标为-4c3,c3.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得|kx1-y1|k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c,
整理得k2-8k+1=0,解得k=4±15.
所以直线l的斜率为4+15或4-15.
评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
4.(2016天津,19,14分)设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
解析 (1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以,椭圆的方程为x24+y23=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2或x=8k2-64k2+3,
由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.
由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.
由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.
因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.
设M(xM,yM),
由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).
在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,
即(xM-2)2+yM2≤xM2+yM2,化简得xM≥1,即20k2+912(k2+1)≥1,
解得k≤-64,或k≥64.
所以,直线l的斜率的取值范围为-∞,-64∪64,+∞.
评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、一元二次不等式基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.
5.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.
解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,
因为kOM=510,所以b2a=510.
所以a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x5b+yb=1,点N的坐标为52b,-12b.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则线段NS的中点T的坐标为54b+x12,-14b+74.因为点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,所以有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,
解得b=3.所以a=35,故椭圆E的方程为x245+y29=1.
评析 本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.
6.(2011江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆x24+y22=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C.连接AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.
(1)若直线PA平分线段MN,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意的k>0,求证:PA⊥PB.
解析 (1)由题设知,a=2,b=2,故M(-2,0),N(0,-2),所以线段MN中点的坐标为-1,-22.由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以k=-22-1=22.
(2)直线PA的方程为y=2x,代入椭圆方程得x24+4x22=1,解得x=±23,因此P23,43,A-23,-43.
于是C23,0,直线AC的斜率为0+4323+23=1,
故直线AB的方程为x-y-23=0.
因此,d=23-43-2312+12=223.
(3)证法一:将直线PA的方程y=kx代入x24+y22=1,解得x=±21+2k2 .记μ=21+2k2,则P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是C(μ,0).
故直线AB的斜率为0+μkμ+μ=k2,其方程为y=k2(x-μ),
代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0,
解得x=μ(3k2+2)2+k2或x=-μ.
因此Bμ(3k2+2)2+k2,μk32+k2.
于是直线PB的斜率k1=μk32+k2-μkμ(3k2+2)2+k2-μ=k3-k(2+k2)3k2+2-(2+k2)=-1k.
因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
证法二:设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上,所以k2=0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k2.从而k1k+1=2k1k2+1=2·y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x1)+1=2y22-2y12x22-x12+1=(x22+2y22)-(x12+2y12)x22-x12=4-4x22-x12=0.
因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
评析本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求,对考生的心理素质的要求也较高,属难题.
【三年模拟】
一、填空题(每小题5分,共40分)
1.(2018江苏淮阴模拟)已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b= .
答案 3
2.(2018江苏汇龙中学期中)如图,椭圆x2a2+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为 .
答案 3
3.(2018江苏高邮高三期初)已知椭圆x216+y29=1上一点P到其右焦点F2的距离为5,则点P到其左准线的距离为 .
答案 1277
4.(2018江苏苏州中学周考)已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为22,则实数m等于 .
答案 2或8
5.(2019届江苏海安中学月考)设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
答案 15
6.(2019届江苏淮阴中学期初)若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 .
答案 63
7.(2017江苏海安高级中学高三阶段检测,10)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x212+y23=1和直线l:x-y+9=0.在l上取一点M,经过点M且与椭圆C有共同焦点的椭圆中,长轴最短的椭圆的标准方程为 .
答案 x245+y236=1
8.(2019届江苏宿迁中学周考)过椭圆x225+y216=1的中心任作一直线,交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF面积的最大值是 .
答案 12
二、解答题(共30分)
9.(2019届江苏清江中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解析 (1)由题意有ca=22,4a2+2b2=1,
又c2=a2-b2,所以a2=8,b2=4.
所以C的方程为x28+y24=1.
(2)证法一:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入x28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=k·xM+b=b2k2+1.
于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,
即kOM·k=-12.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
证法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),
则x128+y124=1,①
x228+y224=1,②
①-②得(x1+x2)(x1-x2)8+(y1+y2)(y1-y2)4=0,
即y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-12.
又y1+y2=2y0,x1+x2=2x0,
所以2y02x0·kAB=-12,即kOM·kAB=-12.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-12.
10.(2018江苏南通二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点.当直线PB1的方程为y=x+3时,线段PB1的长为42.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点Q满足:QB1⊥PB1,QB2⊥PB2,求证:△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值.
解析 设P(x0,y0),Q(x1,y1).
(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3.
由x2a2+y29=1,y=x+3得x2a2+(x+3)29=1.
所以x0=-6a29+a2.
因为|PB1|=x02+(y0-3)2=2|x0|,
所以42=2·6a29+a2,解得a2=18.
所以椭圆的标准方程为x218+y29=1.
(2)证法一:直线PB1的斜率为kPB1=y0-3x0,
由QB1⊥PB1,得直线QB1的斜率为kQB1=-x0y0-3.
于是直线QB1的方程为y=-x0y0-3x+3.
同理直线QB2的方程为y=-x0y0+3x-3.
联立两直线方程,消去y,得x1=y02-9x0.
因为P(x0,y0)在椭圆x218+y29=1上,
所以x0218+y029=1,从而y02-9=-x022.
所以x1=-x02.
所以S△PB1B2S△QB1B2=x0x1=2.
证法二:设直线PB1,PB2的斜率分别为k,k',
则直线PB1的方程为y=kx+3.
由QB1⊥PB1,得直线QB1的方程为y=-1kx+3.
将y=kx+3代入x218+y29=1,
得(2k2+1)x2+12kx=0,
因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x0≠0,
从而x0=-12k2k2+1.
因为P(x0,y0)在椭圆x218+y29=1上,所以x0218+y029=1,
从而y02-9=-x022.
所以k·k'=y0-3x0·y0+3x0=y02-9x02=-12,得k'=-12k.
由QB2⊥PB2,得直线QB2的方程为y=-1k'x-3=2kx-3.
联立y=-1kx+3,y=2kx-3,得x=6k2k2+1,
即x1=6k2k2+1.
所以S△PB1B2S△QB1B2=x0x1=-12k2k2+16k2k2+1=2.
