数学理卷·2018届四川省宜宾市南溪二中高三10月月考（2017

数学理卷·2018届四川省宜宾市南溪二中高三10月月考（2017

宜宾市南溪区第二中学校高2015级10月 阶段性测试理科数学学科试题 出题人：毛艺 审题人：樊成华 考试时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题（本题共12小题，共60分）‎ ‎1、设集合，．若，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2、复数满足（其中为虚数单位），则复数( )‎ A. B. ‎2 C. D. ‎ ‎3、的展开式中的系数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、命题若，则；命题，使得，则下列命题中为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、要得到函数的图像，只需将函数的图象( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎6、将这名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有一名同学的排法有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、定义在上的函数满足时，，则的值为( )‎ A.-2 B‎.0 C.2 D.8‎ ‎8、直线与曲线相切于点，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、若是函数的极值点，则的极小值为( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎10、函数的图象大致是( )‎ A．B.C. D. ‎ ‎11、已知函数，则关于的不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本题共4小题，共20分）‎ ‎13、若，则的值为 .‎ ‎14、已知，‎ 则 .‎ ‎15、如图所示的边长为的正方形区域内任投一点，‎ 则该点落入阴影部分的概率为 .‎ ‎16、对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：‎ ‎①任意三次函数都关于点对称：‎ ‎②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；‎ ‎③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；‎ ‎④若函数，‎ 则 其中正确命题的序号为 .（把所有正确命题的序号都填上）．‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17、（12分）已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18、（12分）已知函数 ‎（1）若函数的图象在处的切线斜率为l，求实数的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ 19、 ‎（12分）在中，内角所对的边分别为.已知 ，.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值.‎ ‎20、（12分）某网络营销部门为了统计某市网友‎2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.‎ ‎（1）估计直方图中网购金额的中位数；‎ ‎（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望.‎ ‎21、（12分）已知函数 ‎（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．‎ 选做题（从22、23题中任选一道）‎ 22、 ‎（10分）已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为 ‎（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．‎ ‎23、（10分）设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ 高三上期10月月考理科答案 一、单项选择 ‎1、【答案】C 2、【答案】D ‎ ‎3、【答案】A 【解析】∵的展开式的通项公式为，∴的展开式中的系数为，故选A.‎ ‎4、【答案】C【解析】若，则，在时不成立，故是假命题； ，使得，故命题为真命题，故命题， ， 是假命题；命题是真命题，故选C.‎ ‎5、【答案】C ‎ ‎6、【答案】B【解析】当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有种，‎ 当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有种，所以共有20种不同的排法.‎ ‎7、【答案】A【解析】 由已知可得的周期，故选A.‎ ‎8、【答案】B【解析】由切点，则，对曲线方程求导即，则，解得．可得．故本题答案选．‎ ‎9、【答案】A【解析】由题可得 因为，所以，，故 令，解得或，所以在单调递增，在单调递减所以极小值，故选A。‎ 10、 ‎【答案】D【解析】解：当时函数有定义，排除AB选项，当时， ，其中均为正数，而先负后正，即函数的函数值先负后正，本题选择D ‎11、【答案】C【解析】因为 ，所以 ，即函数 为奇函数，又 为 上增函数，所以 为 上增函数，因此 ，选C.‎ ‎12、【答案】C【解析】令，则 若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．‎ 若a＞0，由y′=0得：x=，当﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；‎ 当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，∴b≥﹣lna+a﹣2，∴≥1﹣﹣，‎ 令t=1﹣﹣，∴t′=，∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1，+∞）上，t′＞0，‎ ‎∴a=e﹣1，tmin=1﹣e．∴的最小值为1﹣e．‎ 二、填空题 ‎13、【答案】1【解析】‎ ‎14、【答案】【解析】∵，∴，又，∴，∴=‎ ‎15、【答案】 【解析】由题意阴影部分的面积为，所以所求概率为．‎ ‎16、【答案】①②④【解析】为函数的拐点，及是对称中心，所以①正确；任意三次函数都有对称中心且拐点是对称中心，存在三次函数有实数解，点为函数 的对称中心；并且对称中心只有1个，所以②正确③错误；的对称中心是，所以④成立 三、解答题 ‎17、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为 试题解析：（1）由题意可得 ‎∴的最小正周期为；‎ ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎∴在区间上的最大值为，最小值为-2.‎ ‎18、【答案】解：（1）‎ 由已知，解得．‎ ‎（2）函数的定义域为．‎ 当时, ，的单调递增区间为；‎ 当时．‎ 当变化时，的变化情况如下：‎ 由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是．‎ ‎19、【答案】(1)(2)‎ 试题分析：（Ⅰ）由，及，得.‎ 由，及余弦定理，得.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.‎ 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，‎ ‎，故 ‎.‎ ‎20、【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）由初步判定中位数在第二组，设中位数为 ‎，则解得，则中位数是；‎ ‎（2）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从，所以可能取值为，且,‎ 所以的分布列为 数学期望.‎ ‎21、【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），极值都为正数．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，得．即在上恒成立．‎ 设函数，．则．设．‎ 则．易知当时，．∴在上单调递增，且．‎ 即对恒成立．∴在上单调递增．‎ ‎∴当时，．∴，即的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ），．∴．‎ 设，则． 由，得．‎ 当时，；当时，．‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减．‎ 且，，．显然．‎ 结合函数图象可知，若在上存在极值，则或．‎ ‎（ⅰ）当，即时，‎ 则必定，使得，且．‎ 当变化时，，，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴当时，在上的极值为，且．‎ ‎∵． 设，其中，．‎ ‎∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．‎ ‎∵，∴． ∴当时，在上的极值．‎ ‎（ⅱ）当，即时，则必定，使得．‎ 易知在上单调递增，在上单调递减．‎ 此时，在上的极大值是，且．‎ ‎∴当时，在上的极值为正数．‎ 综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数．‎ ‎22、【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）．‎ 试题解析：（Ⅰ）由消去参数，得．‎ 即直线的普通方程为．‎ ‎∵，，∴．即曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）由，得．代入方程，得．‎ 已知为曲线上任意一点，故可设，其中为参数．‎ 则点到直线的距离 ‎，其中 ‎∴点到直线的最小距离为．‎ ‎23、【答案】(1);(2).‎ 试题解析：（1）函数可化为 当时，，不合题意；当时，，即；当时，，即.综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）关于的不等式有解等价于，由（1）可知，（也可由，得），即，解得.‎