2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一4月月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一4月月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一4月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知等差数列的首项为,公差为，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过等差数列基本量的计算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列的首项为,公差为 所以，‎ 故选A项 ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中利用基本量求其中的某一项，属于简单题.‎ ‎2．已知向量，若，则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先表示出和的坐标，再通过，得到 得到关于的方程，解出的值 ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为 所以 得到，解得，‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算和向量垂直的转化，属于简单题.‎ ‎3．下列函数中，最小正周期为的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：依次求出各函数周期即得结论．‎ 详解：A中周期为，B中函数周期为．‎ 故选B．‎ 点睛：函数或的周期是，的周期是．‎ ‎4．在锐角中，分别是三个内角的对边，，则( )‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】利用正弦定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，解得，故或，所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎5．已知，则的值为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎6．若 (n∈N)，则当n＝2时，f(n)是(　　)．‎ A．1＋ B．‎ C．1＋ D．非以上答案 ‎【答案】C ‎【解析】把n＝2代入=，即可解决。‎ ‎【详解】‎ 把n＝2代入得，‎ ‎=，答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题只考查数列的通项公与数列项数，比较简单也较基础。‎ ‎7．已知锐角满足，则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】锐角，得到的范围，求出和，再把表示为，利用两角差的正弦公式，得到 ‎【详解】‎ 为锐角，所以 因为 所以，‎ 所以 故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角的表示，两角差的正弦公式，属于简单题.‎ ‎8．已知钝角的面积是，，则 (　　)‎ A． B． C． D．1或 ‎【答案】A ‎【解析】根据三角形的面积可以得到角，根据钝角三角形，舍去不成立的情况，再由余弦定理得到的长度.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 是钝角三角形，或 当，，‎ 此时不是钝角三角形，所以舍去.‎ 当， ，符合题意，故选A项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面积公式，余弦定理求三角形边长，属于简单题.‎ ‎9．数列的前项和，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用求出通项，再验证是否符合，确定出的通项.‎ ‎【详解】‎ 因为数列的前项和 所以当时，‎ 当时，，符合上式，‎ 所以综上 ‎【点睛】‎ 本题考查由求，利用，验证是否符合，属于简单题.‎ ‎10．在中，已知，则的形状是 （ ）‎ A、等腰三角形 B、直角三角形 ‎ C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎11．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的 ‎，纵坐标不变，得到函数的图象，在上是减函数，，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据题意由得到，由在上是减函数，可得，得到，然后选取的值得到，再进行验证.‎ ‎【详解】‎ 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象 所以，‎ 因为在上是减函数，且 又因，可得，即 取时，‎ 即，经验证，满足在上是减函数，且 故选C项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像变换，正弦型函数的图像与单调性，零点等性质，属于中档题.‎ ‎12．在等边三角形中,是上一点，,是上一点，,则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，得到的坐标，再根据，得到点坐标，设坐标为，是上一点，，可以得到关于的方程；可得,得到关于的方程；解出得到点坐标，再由向量的夹角公式，得到，从而可得.‎ ‎【详解】‎ 以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，‎ 则，‎ ‎ ，‎ 设坐标为 是上一点，则 ‎，‎ 由可得，即 解得，‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎，故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标表示，向量共线和垂直的表示，向量夹角的余弦公式，计算量较大，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量满足，且则___________。‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】因为，得到，对平方，代入，得到关于 的方程，求出，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直的表示，向量模长的平方等于向量的平方，属于简单题.‎ ‎14．在等差数列中，，则___________。‎ ‎【答案】18；‎ ‎【解析】根据等差数列的性质，结合已知条件，可以得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为为等差数列，所以，‎ 因为，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，属于简单题.‎ ‎15．如图，一栋建筑物的高为m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔，在它们之间的地面点（三点共线）处测得楼顶，塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则通信塔的高为____________‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】设AE⊥CD，垂足为E，则 在△AMC中,，‎ 由正弦定理得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为60.‎ ‎16．在中，已知 ，点在外，且.则的取值范围是____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，满足，，可得为等边三角形，由点在外，且，如图1所示，若在的同侧，设，则 ‎，可得，又，所以 ‎，即；如图2，若在的异侧，设，‎ 则，可得，又，所以，即，综上可知，．‎ ‎【考点】向量数量积的运算及余弦定理的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及余弦定理定理在解三角形中的应用，着重考查了分类讨论的数学思想方法和转化的思想方法，其中合理的转化是解答的关键，试题有一定的难度，本题的解答中，根据题意先判定三角形为等边三角形，再结合题意画出示意图，分在的同侧和在 的异侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理，求解的取值范围．‎ 三、解答题 ‎17．在中，内角的对边分别为，若，，求。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用余弦定理，代入已知条件，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ 由余弦定理得 ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎18．在等差数列中，已知.‎ ‎（1）求通项；‎ ‎（2）求的前项和。‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）设出等差数列的基本量，首项和公差，根据条件列出方程组，解出和，写出的通项.‎ ‎（2）由（1）中求出的基本量，根据等差数列的求和公式，写出 ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为，公差为，‎ ‎，解得 ‎（2）由（1）可知，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量计算，等差数列通项和求和的求法，属于简单题.‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的值域。‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式，对进行化简，得到正弦型函数，然后求其单调区间.‎ ‎（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 单调递增 ，‎ 解得：，‎ 所以单调递增区间为 ‎（2）由（1）知 因为，所以 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.‎ ‎20．在中，内角的对边分别为，且向量，若.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若, 求在方向上的投影.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由代入的坐标，得到三角函数的方程，利用三角公式转化，得到的值.‎ ‎（2）根据（1）得到的的值，由正弦定理求出，再由余弦定理得到的长度，然后计算在方向上的投影.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 又为内角，‎ ‎（2）在中，由正弦定理，得，‎ ‎，为锐角，‎ 由余弦定理，得 解得，（舍）‎ ‎ 在方向上的投影为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数化简，正、余弦定理解三角形，向量投影的求法，属于简单题.‎ ‎21． 在中，内角的对边分别为，且 ‎ （1）若，的面积为，求；‎ ‎（2）若，求角.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】根据已知条件中的式子进行边化角，然后根据三角函数中的相关公式进行整理化简，得到角.‎ ‎（1）根据的面积公式，代入和，求出，再由余弦定理求出.‎ ‎（2）将条件中的式子进行边化角，再代入，得到关于方程，再由的范围，得到的值.‎ ‎【详解】‎ 在中，由正弦定理得，且 ‎ ，转化为 所以 而，所以，即 为内角，，‎ ‎（1） 的面积为，‎ ‎，‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎（2）由，得 在中，由正弦定理得，且 ‎ ‎ ‎，得,‎ ‎,或 或 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦、余弦定理解三角形，面积公式，两角和差的余弦、降幂公式等，涉及的知识点较多，有一定的综合性，属于中档题.‎ ‎22．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像。‎ ‎（1）当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值；‎ ‎（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值 ‎【答案】（1）时，；时，‎ ‎ （2）‎ ‎【解析】（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出的范围及的值.‎ ‎（2）令 ，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据图像可知 ‎，‎ 代入得，，，‎ ‎ ‎ 把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数 在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 且，‎ ‎，‎ 方程恰好有两个不同的根，‎ 的取值范围 令 ‎ 对称轴为，‎ ‎ 或 ‎ 时，；时，.‎ ‎（2）由（1）可知 ‎ ‎ 对任意都有恒成立 令 ‎，是关于的二次函数，开口向上 则恒成立 而的最大值，在或时取到最大值 则，解得 所以，则的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.‎