四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学（理）试题

四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学（理）试题

蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2018级期中联考理科数学 一、选择题：‎ ‎1.在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（ ）‎ A. 5 B. C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中两点间的距离公式，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.‎ ‎【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“，”.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.‎ ‎3.若命题是真命题，是真命题，则下列命题中，真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，命题是真命题，则是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，命题是真命题，则是假命题，‎ 由真值表可得，命题和和都为假命题，只有命题为真命题.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.‎ ‎4.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程，求得，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案.‎ ‎【详解】由双曲线，可得，即，‎ 所以双曲线的渐近线的方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.若圆：与圆：外切，则正数的值是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆和圆相外切，可得，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，圆：与圆：，‎ 可得圆心坐标分别为，半径分别为，‎ 又由圆和圆相外切，可得，即，‎ 解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.“”是“直线与圆”相切的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与圆相切，求得或，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，‎ 当直线与圆相切，可得，‎ 即，整理得，解得或，‎ 所以“”是“直线与圆”相切的充分不必要条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，‎ ‎，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的几何性质，根据为等腰直角三角形，求得，得到，即可求解双曲线的离心率，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，三角形为等腰直角三角形，可得，即，‎ 又由，所以，即，所以，‎ 即，又因为，所以双曲线的离心率.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.‎ ‎【详解】由直线，可得，‎ 又由，解得，即直线恒过定点，圆心，‎ 当时弦长最短，此时，解得，‎ 再由经过圆心时弦长最长为直径，‎ 所以弦长的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线系方程应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎9.经过点作直线交椭圆于，两点，且为的中点，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率.‎ 详解】设，，则，‎ 两式相减，可得，整理得，‎ 所以，‎ 又由为的中点，可得，则，‎ 即直线的斜率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知圆：（为圆心），点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 两条直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线段的垂直平分线交线段于点，，得到，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，线段的垂直平分线交线段于点，，‎ 又由，即，‎ 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎11.已知椭圆：的左右焦点分别为，，且，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，连接，，若三角形的周长为，，则三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由和椭圆的定义，可得，求得，进而求得直角的面积，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，三角形的周长为，‎ 根据椭圆的定义，可得，解得，‎ 又由，即，解得， ‎ 又由和椭圆的定义，可得，‎ 由，可得，‎ 所以直角的面积为.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动员.若动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，点动点在直线：上，动点在直线：上，‎ 线段的中点为，可得点在直线上，‎ 又由，‎ 点关于直线对称的点，‎ 则，‎ 所以的最小值为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题： ‎ ‎13.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程，得到，根据，即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线，可得，‎ 又由，即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理利用，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.两圆，相交于，两点，则公共弦所在的直线的方程是______.（结果用一般式表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，圆，，‎ 两圆方程相减，可得直线方程为，‎ 即两圆的公共弦所在直线的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知定点，，若动点满足，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根据椭圆的定义，得到点的轨迹是以，为焦点的椭圆，再由根据椭圆的性质，得到，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，动点满足，‎ 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆，‎ 且，解得，，‎ 根据椭圆的性质，可得，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及椭圆的几何性质的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎16.给出下列说法：①方程表示的图形是一个点；②命题“若，则或”为真命题；③已知双曲线的左右焦点分别为，，过右焦点被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆：上有两点，，若点是椭圆上任意一点，且，直线，的斜率分别为，，则为定值；⑤已知命题“，满足，”是真命题，则实数.其中说法正确的序号是__________.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用曲线与方程可判定①是正确；根据四种命题的关系，可得②是正确的；根据双曲线的几何性质，可得③是不正确的；根据直线与椭圆的位置关系，可判定④是正确的；直线与圆的位置关系，可判定⑤是不正确的，得到答案.‎ ‎【详解】对于①中，由方程，可得，解得，即方程表示的图形是一个点，所以是正确的；‎ 对于②中，根据四种命题的定义，可得命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”为真，所以原命题为真，所以是正确的；‎ 对于③中，根据双曲线的性质，可得两支总实轴最短，最短为，同支焦点弦通径最短，最短为，所以满足条件的直线只有2条，所以不正确；‎ 对于④中，由已知可得，‎ 又由相减可得，‎ 则，所以是正确的；‎ 对于⑤中，令，即，数形结合，如图所示，‎ 圆心到直线的距离我，解得，‎ 又由由已知可得存在成立，则，所以不正确.‎ 综上可得：正确命题的序号为：①②④.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，其中解答中涉及双曲线的几何性质，四种命题的关系，直线与圆的位置关系的应用等知识点的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.‎ 三、解答题： ‎ ‎17.命题：方程表示焦点在轴上的双曲线：命题：若存在，使得成立.‎ ‎（1）如果命题是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由方程表示焦点在轴上的双曲线，得到，即可求解；‎ ‎（2）由（1）中命题为真命题时，得到，再求得命题为真命题，得到，结合“”为假命题，“”为真命题，得、两个命题一真一假，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 则满足，解得，‎ 即命题为真命题时，实数的取值范围是. ‎ ‎（2）若命题为真命题，则在有解，解得，‎ 又由“”为假命题，“”为真命题，则、两个命题一真一假，‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则，解得，‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及利用复合命题的真假求解参数的范围，其中解答中正确求解命题，合理利用复合命题的真假，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知直线：，直线经过点.‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）若与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，求面积的最小值（其中 为坐标原点）.‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线的方程为，代入点，求得，即可求解直线的方程；‎ ‎（2）设为斜率为，得到方程为，求得其在坐标轴上的截距，得出面积的表示，结合基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，可设直线方程为 又由直线经过点，代入可得，解得 即直线的方程为.‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在且小于0，设为斜率为，‎ 可得的方程为，‎ 令，可得与轴的交点为 令，可得与轴的交点为，其中 故三角形的面积4（当且仅当时等号成立）‎ 即三角形的面积最小值为4‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的求解及应用，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用两条直线的位置关系，合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19.已知圆经过，两点，且圆心在直线：上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）从轴上一个动点向圆作切线，求切线长的最小值及对应切线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆的方程为，根据题设条件，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；‎ ‎（2）利用圆的切线长公式，结合直线与圆的位置关系，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设圆的方程为，‎ 由圆经过，两点，‎ 可得， ……① ，……②‎ 又由圆心在直线上，即，……③‎ 由①②③，可解得，，，‎ 所以圆的方程为：，‎ 即圆的方程.‎ ‎（2）对于动点，设切线长为，则，‎ 所以要使得切线长最短，必须且只需最小即可，‎ 最小值为圆心到轴的距离，此时距离为2，‎ 故切线长的最小值为，当切线长取最小值时，对应点为原点，‎ 过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切；‎ 当斜率存在时，设直线方程为,‎ 代入圆：，可得，即,‎ 令，解得,‎ 故切线方程为，此时切线长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的方程，以及合理应用直线与圆的位置关系，合理判定与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知双曲线：的实轴长为2.‎ ‎（1）若的一条渐近线方程为，求的值；‎ ‎（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由双曲线的实轴长为2，求得，再由渐近线方程为，得到，即可求解；‎ ‎（2）由和面积为9，求得，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解，得到双曲线的方程.‎ ‎【详解】（1）由题意，双曲线：的实轴长为2，即，则，‎ 又由双曲线一条渐近线方程为，所以，可得.‎ ‎（2）由双曲线定义可得，‎ 又因为，且的面积为9，即，‎ 所以，且 又由，解得，‎ 所以，解得，‎ 故双曲线的标准方程为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.已知直线：，：.‎ ‎（1）求证：无论取何实数，直线与一定相交；‎ ‎（2）求与的交点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求得两直线有交点，当时，分别求得直线的斜率，判定得到两直线斜率不可能相等，即可得到结论；‎ ‎（2）由直线的方程，当时，求得，代入，整理可得轨迹方程，再验证当时，适合题意，即求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，:，：，两直线有交点；‎ 当时，直线斜率为，‎ 直线的斜率，‎ 令，即，此时方程无解，即故两直线斜率不可能相等，即两直线必定相交，‎ 综上可得，无论取何实数，直线与一定相交.‎ ‎（2）由直线，‎ 当时，可得，‎ 代入直线，可得 整理得 当时，由，得，此时交点坐标为，满足上式，‎ 综上可得，点点轨迹方程为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法，以及合理分类讨论，利用代入法求解曲线的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎22.已知椭圆长轴的两个端点分别为，， 离心率.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）作一条垂直于轴的直线，使之与椭圆在第一象限相交于点，在第四象限相交于点，若直线与直线相交于点，且直线的斜率大于，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，求得，再由，求得的值，即可求解；‎ ‎（2）设，其中，，可得，求得直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，得出直线斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意知，椭圆长轴的两个端点分别为，，可得，‎ 又由，即，可得，‎ 又因为， ‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，其中，，可得，‎ 由斜率公式，可得，，‎ 所以直线的方程为；直线的方程为，‎ 联立方程组，解得，即点，‎ 所以，即，‎ 又由，‎ 令，，则 所以，‎ 因为，所以，则，‎ 所以，即实数直线的斜率的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率的表达式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎ ‎