高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-4-1　一元二次函数

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§4 　一元二次函数与一元二次不等式 4.1 　一元二次函数 必备知识 · 自主学习 1. 一元二次函数及其变形 一元二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 都可以通过配方化为 y=________________, 若设 h=- ,k= , 则有 y=_________. a(x-h) 2 +k 2. 一元二次函数的图象及变换 (1) 图象 : 一元二次函数的图象叫作 _______; (2) 图象变换 : y=ax 2 的图象向左 ( 或向右 ) 平移 ___ 个单位长度 , 再向上 ( 或向下 ) 平移 ___ 个单位长度可得 y=a(x-h) 2 +k 的图象 . 抛物线 3. 一元二次函数 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 的性质 (1) 内容 : ① 函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象是一条抛物线 , 顶点坐标是 _____, 对称轴是直线 ____. ② 当 a>0 时 , 抛物线开口向上 ; 在区间 上 , 函数值 y 随自变量 x 的增大而 ___ ___; 在区间 上 , 函数值 y 随自变量 x 的增大而 _____; 函数在 x=h 处有最小 值 , 记作 ______. 当 a<0 时 , 抛物线开口向下 ; 在区间 上 , 函数值 y 随自变量 x 的增大而 _____; 在区间 上 , 函数值 y 随自变量 x 的增大而 _____; 函数在 x=h 处有最大值 , 记作 ______. x=h 减 小 增大 y min =k 增大 减小 y max =k (2) 本质 : 一元二次函数是一种常见的函数 , 它是客观反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型 . (3) 作用 :① 利用一元二次函数的图象研究一元二次不等式的解法 ;② 求有关函数的最大值和最小值 ;③ 为学习其他函数图象和性质 , 奠定方法和知识的基础 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”). (1) 函数 y=3x 2 +5 与 y=3x 2 的图象的开口方向、对称轴和顶点都相同 . ( 　　 ) (2) 函数 y=2x 2 +5 的图象向右平移 3 个单位长度可得函数 y=2(x+3) 2 +5 的图象 . ( 　　 ) (3) 在区间 上函数 y=-x 2 的函数值 y 随着 x 逐渐增大而减小 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 函数 y=3x 2 +5 与 y=3x 2 的图象的开口方向、对称轴都相同 , 但是顶点 不相同 . (2)×. 函数 y=2x 2 +5 的图象向左平移 3 个单位长度可得函数 y=2 +5 的图象 . (3)×. 在区间 上函数 y=-x 2 的函数值 y 随着 x 逐渐增大而增大 . 2. 将二次函数 y=2x 2 +8x-7 化为 y=a(x+m) 2 +n 的形式 , 正确的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=2(x+4) 2 -7 B.y=2(x+2) 2 -7 C.y=2(x+2) 2 -11 D.y=2(x+2) 2 -15 【 解析 】 选 D.y=2x 2 +8x-7=2(x 2 +4x)-7 =2(x 2 +4x+4-4)-7=2(x+2) 2 -15. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 指出函数 y=-3(x-1) 2 -2 的图象可由函数 y=-3x 2 的图象经过怎样的变换得到 . 【 解析 】 y=-3(x-1) 2 -2 的图象可由函数 y=-3x 2 的图象向右平移 1 个单位长度 , 再向下平移 2 个单位长度得到 . 关键能力 · 合作学习 类型一　一元二次函数的图象问题 ( 直观想象 ) 【 典例 】 1. 将抛物线 y=(x-1) 2 +2 先向右平移 3 个单位长度 , 再向上平移 5 个单位长度得到的抛物线解析式是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=(x-4) 2 +7 B.y=(x-4) 2 -3 C.y=(x+2) 2 +7 D.y=(x+2) 2 -3 2. 已知过点 (1,2) 的二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图 , 给出下列论断 :①c>0; ②a-b+c<0;③b>1;④a> . 其中正确的论断是 ( 　　 ) A.②③④ B.①③ C.②③ D.②④ 3. 已知一元二次函数 y=-x 2 -2x+3. (1) 求出此函数图象与坐标轴的交点坐标 ; (2) 指出此函数图象的顶点坐标和对称轴 ; (3) 根据 (1)(2) 画出此函数图象的草图 . 【 思路导引 】 1. 根据“左加右减 , 上加下减”的原则 , 得到答案 . 2. 根据二次函数的图象与 y 轴交点的位置 , 判断① ; 根据 x=-1 时的函数值 , 判断② ; 根据点 (1,2) 在二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象上 , 结合②判断③ ; 根据对称轴的位置 , 判断④ . 3.(1) 解方程 -x 2 -2x+3=0, 求出与 x 轴的交点坐标 , 令 x=0, 求出与 y 轴的交点坐标 ; (2) 先配方 , 根据配方结果写出此函数图象的顶点坐标和对称轴 ; (3) 找到关键点和对称轴 , 画出草图 . 【 解析 】 1. 选 A.y=(x-1) 2 +2, 先向右平移 3 个单位长度得 y=(x-1-3) 2 +2, 即 y= (x-4) 2 +2, 再向上平移 5 个单位长度得 y=(x-4) 2 +2+5, 即 y=(x-4) 2 +7. 2. 选 A. 结合二次函数图象 , 当 x=0 时 ,y=c<0, 所以①错误 ; 当 x=-1 时 ,y=a-b+c<0, 所以②正确 ; 因为点 (1,2) 在二次函数图象上 , 可得 a+b+c=2, 所以 a+c=2-b, 代入 a-b+c<0, 可得 a-b+c=2-b-b<0, 解得 b>1, 所以③正确 ; 对称轴为 x=- , 由题意可得 -1<- <0, 解得 2a>b; 因为 b>1, 所以 2a>b>1, 所以 2a>1, 即 a> . 所 以④正确 . 3.(1) 由 -x 2 -2x+3=0 得 - =0, 解得 x=-3 或 x=1, 当 x=0 时 ,y=-0 2 -2×0+3=3, 所以此函数图象与 x 轴的交点坐标为 (-3,0),(1,0), 与 y 轴的交点坐标为 (0,3); (2) 配方 , 得 y=-x 2 -2x+3=- +4, 所以此函数图象的顶点坐标为 (-1,4), 对称 轴为直线 x=-1; (3) 根据 (1)(2) 画出此函数图象的草图如图 : 【 解题策略 】 1. 利用关键点和对称轴画一元二次函数图象 (1) 先根据函数解析式 , 求出顶点坐标和对称轴 , 在直角坐标系中描出顶点 M, 并用虚线画出对称轴 ; (2) 求抛物线 y=ax 2 +bx+c 与坐标轴的交点 , 当抛物线与 x 轴有两个交点时 , 描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C, 再找到点 C 关于对称轴的对称点 D, 将 A,B,C,D 及 M 这五个点按顺序用平滑曲线连接起来 . 2. 参数“ a,h,k” 对 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 的图象的影响 (1)a 的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小 ; (2)h 决定了二次函数图象的对称轴的位置 ; (3)k 决定了二次函数图象的顶点的高度 . 【 跟踪训练 】 1. 已知二次函数 y=x 2 -8x +c 的图象的顶点在 x 轴上 , 则 c= 　　　　 .  【 解析 】 配方 , 得 y=x 2 -8x+c= +c-16, 所以此函数图象的顶点坐标为 (4,c-16), 根据题意得 c-16=0, 所以 c=16. 答案 : 16 2. 已知一元二次函数 y= x 2 -6x+21, (1) 指出它的图象可以由函数 y= x 2 的图象经过怎样的变换而得到 ; (2) 指出它的图象的对称轴和顶点坐标 . 【 解析 】 (1) 配方 , 得 y= x 2 -6x+21= +3, 所以函数 y= x 2 -6x+21 的图象可以 由函数 y= x 2 的图象向右平移 6 个单位长度 , 再向上平移 3 个单位长度而得到 ; (2) 此函数图象的对称轴为直线 x=6, 顶点坐标为 【 补偿训练 】 1. 二次函数 y=ax 2 -2x-3(a<0) 的图象一定不经过 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【 解析 】 选 A. 因为二次函数 y=ax 2 -2x-3(a<0) 的对称轴为直线 x=- = <0, 所 以其顶点坐标在 y 轴左侧 . 因为当 x=0 时 ,y=-3, 所以抛物线一定经过第四象限 , 所 以此函数的图象一定不经过第一象限 . 2. 将函数 y=2x 2 -8x+12 写成 y=a(x+h) 2 +k 的形式 , 并说明它的图象是由 y=2x 2 的图象经过怎样的变换得到的 . 【 解析 】 配方 , 得 y=2x 2 -8x+12=2(x-2) 2 +4, 所以把 y=2x 2 的图象先向右平移 2 个单位长度 , 再向上平移 4 个单位长度就得到抛物线 y=2x 2 -8x+12 的图象 . 【 拓展延伸 】 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式 :y=ax 2 +bx+c. 已知图象上三点或三对 x,y 的值 , 通常选择一般式 ; (2) 顶点式 :y=a(x-h) 2 +k. 已知图象的顶点或对称轴 , 通常选择顶点式 ; (3) 交点式 : 已知图象与 x 轴的交点横坐标 x 1 、 x 2 , 通常选用交点式 :y=a(x-x 1 )(x-x 2 ). 【 拓展训练 】 已知一元二次函数的图象经过点 (1,0),(-5,0), 且顶点纵坐标为 , 求这个函 数的解析式 . 【 解析 】 因为点 (1,0),(-5,0) 是此二次函数图象与 x 的两交点 , 所以对称轴为直线 x=-2, 顶点坐标为 设此二次函数的解析式为 y=a 则有 = 解得 a=- . 故所求一元二次函数的解析式为 y=- x 2 -2x+ . 类型二　一元二次函数的函数值的变化趋势 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 试述一元二次函数 y=3x 2 -6x-1 函数值的变化趋势 . 【 解题策略 】 一元二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 函数值的变化趋势 (1) 当 a>0 时 , 在区间 上 ,y 随 x 的增大而减小 ; 在区间 上 ,y 随 x 的增大而增大 ; 简记 : 左减右增 ; (2) 当 a<0 时 , 在区间 上 ,y 随 x 的增大而增大 ; 在区间 上 ,y 随 x 的增大而减小 ; 简记 : 左增右减 . 【 跟踪训练 】 1. 在区间 (2,+∞) 上 , 函数 y=x 2 -mx+5 的函数值 y 随 x 的增大而增大 , 则 m 的取值范 围为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.[4,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,4] D.(-∞,2] 【 解析 】 选 C. 函数 f(x)=x 2 -mx+5 的对称轴为 x= , 因为在区间 (2,+∞) 上 , 函数 y=x 2 -mx+5 的函数值 y 随 x 的增大而增大 , 所以 ≤ 2, 解得 m≤4. 2. 一元二次函数 y=-x 2 +(m-1)x+m 的图象与 y 轴交于 (0,7) 点 . (1) 求出 m 的值和此函数图象与 x 轴的交点坐标 ; (2) 试述函数值的变化趋势 . 【 解析 】 (1) 因为 y=-x 2 +(m-1)x+m 的图象与 y 轴交于 (0,7) 点 , 得 7=-0+(m-1)×0+m, 所以 m=7; 则 y=-x 2 +6x+7, 令 -x 2 +6x+7=0,(x-7)(x+1)=0, 所以 x-7=0 或 x+1=0, 所以 x=7 或 x=-1, 所以此函数的图象与 x 轴的交点为 (7,0),(-1,0); (2) 因为 y=-x 2 +6x+7=-(x-3) 2 +16, 所以对称轴为直线 x=3, 所以在区间 上 ,y 随 x 的增大而增大 ; 在区间 上 ,y 随 x 的增大而减小 . 【 补偿训练 】 试述一元二次函数 y=4x 2 +16x+5 函数值的变化趋势 . 【 解析 】 配方 , 得 y=4x 2 +16x+5=4(x+2) 2 -11, 此函数的图象开口向上 , 对称轴是直线 x=-2, 所以在区间 上 ,y 随 x 的增大而减小 ; 在区间 上 ,y 随 x 的增大而增大 . 类型三　一元二次函数的最大值和最小值 ( 数学运算 ) 　角度 1 　求一元二次函数的最大值或最小值  【 典例 】 求函数 y= x 2 -2x+4 的最小值 . 【 思路导引 】 先配方变形 , 然后确定函数图象的开口方向和对称轴 , 最后求最小 值 . 【 解析 】 配方 :y= x 2 -2x+4= +2, 此函数的图象是一条抛物线 , 开口 向上且对称轴为 x=2, 所以当 x=2 时 ,y min =2. 【 变式探究 】 将本例条件改为当 x∈[2,2b](b>1) 时 ,y max =2b, 求 b 的值 . 【 解析 】 配方 , 得 y= x 2 -2x+4= +2, 此函数的图象是一条抛物线 , 开口 向上 , 且对称轴为 x=2, 所以在区间 [2,2b] 上 , 函数值 y 随 x 的增大而增大 , 所以当 x=2b 时 ,y max =2b, 即 2b 2 -4b+4=2b, 解得 b=2, 或 b=1( 舍 ), 所以 b 的值为 2. 　角度 2 　已知最大值或最小值求参数的值  【 典例 】 已知一元二次函数 y=-x 2 +4x+c. (1) 求该一元二次函数图象的对称轴 ; (2) 若此函数的最大值是 -3, 求 c 的值 . 【 思路导引 】 (1) 配方变形 , 即可确定对称轴 ; (2) 求出最大值 , 根据题意建立关于 c 的方程 . 【 解析 】 (1)y=-x 2 +4x+c=- +c+4, 此函数图象的对称轴是直线 x=2; (2) 由 (1) 得 , 当 x=2 时 , 函数的最大值为 y max =c+4=-3, 所以 c=-7. 【 解题策略 】 求一元二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的最大 ( 小 ) 值的一般步骤 (1)“ 化” : 采用配方法 , 化为 y=a(x-h) 2 +k 的形式 ; (2)“ 求” : 当 a>0 时 , 函数在 x=h 处 y 有最小值 ,y min =k; 当 a<0 时函数在 x=h 处 y 有最大值 ,y max =k. 【 题组训练 】 1. 一元二次函数 y=-x 2 +6x-3 的最大值是 　　　　 .  【 解析 】 因为 y=-x 2 +6x-3=-(x-3) 2 +6, 所以此函数在 x=3 处取得最大值 6, 即 y max =6. 答案 : 6 2. 若一元二次函数 y=8x 2 -(m-1)x+m-7 的最小值为 0, 则 m= 　　　　 .  【 解析 】 由题意得 即 (m-1) 2 -4×8(m-7)=0. 解得 m=9 或 m=25. 答案 : 9 或 25 课堂检测 · 素养达标 1. 函数 y=2x(3-x) 的图象可能是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由 2x(3-x)=0 得 x=0 或 x=3, 可知图象与 x 轴的交点为 (0,0),(3,0), 排除 A,C. 又 y=2x(3-x)=-2x 2 +6x, 所以图象开口向下 , 故排除 D. 2. 关于二次函数 y=2(x-3) 2 +1 的图象 , 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 开口向上 , 顶点坐标为 (3,1) B. 开口向下 , 顶点坐标为 (3,1) C. 开口向上 , 顶点坐标为 (-3,1) D. 开口向下 , 顶点坐标为 (-3,1) 【 解析 】 选 A. 因为 y=2(x-3) 2 +1, 其中 a=2>0, 所以抛物线的开口向上 , 顶点坐标为 (3,1). 3. 将函数 y=-3x 2 +1 的图象向右平移 1 个单位长度 , 再向上平移 2 个单位长度后可得下列哪个函数的图象 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=-3(x+1) 2 -1 B.y=-3(x+1) 2 +3 C.y=-3(x-1) 2 +1 D.y=-3(x-1) 2 +3 【 解析 】 选 D. 函数 y=-3x 2 +1 的图象的顶点坐标为 (0,1), 将抛物线向右平移 1 个单位长度 , 再向上平移 2 个单位长度 , 则平移后抛物线的顶点为 (1,3), 则 y=-3(x-1) 2 +3. 4. 若函数 y=x 2 -2ax 在区间 (-∞,5] 上 y 随 x 增大而减小 , 在 [5,+∞) 上 y 随 x 增大而 增大 , 则实数 a= 　　　　 .  【 解析 】 由题知二次函数图象的对称轴为直线 x=5. 所以 a=5. 答案 : 5 5.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值 . (1)y=2x 2 -4x-3;(2)y=-5x 2 -20x-26. 【 解析 】 (1) 配方得 y=2x 2 -4x-3 =2 -5, 所以该函数图象开口向上 , 对称轴为直线 x=1; 当 x=1 取得最小值 , 最小值为 y min =-5; (2) 配方得 y=-5x 2 -20x-26 =-5 -6, 所以该函数图象开口向下 , 对称轴为直线 x=-2; 当 x=-2 取得最大值 , 最大值为 y max =-6.