2020版高中数学 第一章1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

2020版高中数学 第一章1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

‎1.3.2　‎‎“杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标　1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．‎ 知识点　“杨辉三角”与二项式系数的性质 ‎(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：‎ 思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？‎ 答案　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．‎ 思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？‎ 答案　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.‎ 思考3　二项式系数的最大值有何规律？‎ 答案　当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大．‎ 梳理　(1)杨辉三角的特点 ‎①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．‎ 14‎ ‎②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.‎ ‎(2)二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大 如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值 各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1‎ ‎1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　×　)‎ ‎2．二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　×　)‎ ‎3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　×　)‎ 类型一　与杨辉三角有关的问题 例1　(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　　)‎ A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行 ‎(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于(　　)‎ 14‎ A．144 B．‎146 C．164 D．461‎ 考点　二项式系数的性质 题点　与杨辉三角有关的问题 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．‎ ‎(2)由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C，所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)‎ ‎＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)‎ ‎＝C＋C－1＝164.‎ 反思与感悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪训练1　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.‎ 考点　二项式系数的性质 题点　与杨辉三角有关的问题 答案　34‎ 解析　由题意设第n 14‎ 行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.‎ 类型二　二项式系数和问题 例2　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.‎ 求下列各式的值：‎ ‎(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；‎ ‎(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；‎ ‎(3)a1＋a3＋a5.‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.‎ ‎(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.‎ 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，‎ 所|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|‎ ‎＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.‎ ‎(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，‎ ‎－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，‎ 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35.‎ 所以a1＋a3＋a5＝＝－121.‎ 引申探究 在本例条件下，求下列各式的值：‎ ‎(1)a0＋a2＋a4；‎ ‎(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；‎ ‎(3)‎5a0＋‎4a1＋‎3a2＋‎2a3＋a4.‎ 解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，‎ ‎－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.‎ 所以a0＋a2＋a4＝＝122.‎ ‎(2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数，‎ 所以a0＝25＝32.‎ 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，‎ 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.‎ ‎(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.‎ 14‎ 所以两边求导数得10(2x－1)4＝‎5a0x4＋‎4a1x3＋‎3a2x2＋‎2a3x＋a4.‎ 令x＝1得‎5a0＋‎4a1＋‎3a2＋‎2a3＋a4＝10.‎ 反思与感悟　二项展开式中系数和的求法 ‎(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，‎ 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，‎ 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ 跟踪训练2　在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数之和；‎ ‎(2)各项系数之和；‎ ‎(3)所有奇数项系数之和．‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.‎ ‎(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，‎ 令x＝1，y＝1，‎ 所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.‎ ‎(3)令x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，‎ 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，‎ 将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，‎ 即所有奇数项系数之和为.‎ 类型三　二项式系数性质的应用 例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.‎ ‎(1)求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项．‎ 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 题点　求展开式中系数最大(小)的项 14‎ 解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.‎ ‎∴(2n)2－2n－992＝0，‎ ‎∴(2n＋31)(2n－32)＝0，‎ ‎∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.‎ ‎(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C·(3x2)2＝90x6，T4＝C·(3x2)3＝270.‎ ‎(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C·3k·，‎ 假设Tk＋1项系数最大，‎ 则有 ‎∴ 即∴≤k≤，∵k∈N，∴k＝4，‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T5＝C(3x2)4＝405.‎ 反思与感悟　(1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．‎ ‎①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．‎ ‎②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．‎ ‎(2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．‎ 跟踪训练3　写出(x－y)11的展开式中：‎ ‎(1)二项式系数最大的项；‎ ‎(2)项的系数绝对值最大的项；‎ ‎(3)项的系数最大的项和系数最小的项；‎ ‎(4)二项式系数的和；‎ ‎(5)各项系数的和．‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 解　(1)二项式系数最大的项为中间两项：‎ 14‎ T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.‎ ‎(2)(x－y)11展开式的通项为 Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk，‎ ‎∴项的系数的绝对值为|C·(－1)k|＝C，‎ ‎∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.‎ ‎(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，‎ 又∵第6项系数为负，第7项系数为正，‎ 故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.‎ ‎(4)展开式中，二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.‎ ‎(5)令x＝y＝1，得展开式中各项的系数和为C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0.‎ ‎1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　)‎ A．8 B．‎6 C．4 D．2‎ 考点　二项式系数的性质 题点　与杨辉三角有关的问题 答案　B 解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.‎ ‎2．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　)‎ A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3‎ 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 题点　求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案　C 解析　2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第项，即第n＋1项与第n＋2项，故选C.‎ 14‎ ‎3．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 考点　二项式系数的性质 题点　二项式系数与项的系数问题 答案　C 解析　令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝64，所以n＝6.‎ ‎4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　－15‎ 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①‎ 又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k，‎ ‎∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.②‎ 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.‎ ‎5．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　多项展开式中系数的和问题 答案　 解析　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T5＝C××(2x)4＝x4，该项的系数为.‎ ‎1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．‎ ‎2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．‎ ‎3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．‎ ‎(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0,1,2，…，n}．‎ 14‎ 一、选择题 ‎1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　)‎ A．20 B．‎21 C．22 D．23‎ 考点　二项式系数的性质 题点　与杨辉三角有关的问题 答案　C 解析　根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.‎ ‎2．若n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　)‎ A．210 B．252‎ C．462 D．10‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式的特定项 答案　A 解析　由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.‎ ‎3．已知关于x的二项式n展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)‎ A．1 B．±‎1 C．2 D．±2‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　C 解析　由条件知2n＝32，即n＝5，在通项公式Tk＋1＝C()5－kk＝Cak中，令15－5k＝0，得k＝3.所以Ca3＝80，解得a＝2.‎ 14‎ ‎4．(x－1)11的展开式中，x的奇次幂的系数之和是(　　)‎ A．2 048 B．－1 ‎023 C．－1 024 D．1 024‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　D 解析　(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，‎ 令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①‎ 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②‎ ＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024.‎ ‎5．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　)‎ A．10 B．45‎ C．－9 D．－45‎ 考点　二项式定理 题点　逆用二项式定理求和、化简 答案　B 解析　x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝C＝C＝45.‎ ‎6．设n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)‎ A．－150 B．‎150 C．300 D．－300‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 答案　B 解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，‎ Tk＋1＝C(5x)4－k·k＝(－1)k54－kC，‎ 令4－＝1，得k＝2，‎ 所以展开式中x的系数为(－1)2×‎52C＝150.‎ ‎7．已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)‎ A．28 B．28－1‎ C．27 D．27－1‎ 考点　展开式中系数的和问题 14‎ 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　B 解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.‎ 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….‎ 由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，‎ 得，a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，‎ 即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，‎ 即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.‎ 由二项式系数性质可得，‎ C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.‎ ‎8．关于下列(a－b)10的说法，错误的是(　　)‎ A．展开式中的二项式系数之和是1 024‎ B．展开式的第6项的二项式系数最大 C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 考点　二项式系数的性质 题点　二项式系数与项的系数问题 答案　C 解析　由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．‎ 二、填空题 ‎9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．‎ 考点　二项式系数的性质 题点　利用二项式系数的性质进行计算 答案　6‎ 解析　(1＋x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.‎ ‎10．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式特定项的系数 14‎ 答案　462‎ 解析　∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.‎ ‎11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝_____.‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　7‎ 解析　令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.‎ 令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，‎ ‎∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，‎ ‎∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.‎ 三、解答题 ‎12．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．‎ ‎(1)求a0；‎ ‎(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；‎ ‎(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；‎ ‎(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；‎ ‎(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 解　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.‎ ‎(2)令x＝1，‎ 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①‎ 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.‎ ‎(3)令x＝－1，‎ 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②‎ 与①式联立相减得 a1＋a3＋…＋a99＝.‎ ‎(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.‎ ‎(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100‎ 14‎ 的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.‎ ‎13．已知n展开式的二项式系数之和为256.‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)若展开式中常数项为，求m的值；‎ ‎(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 解　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.‎ ‎(2)设常数项为第k＋1项，则 Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k，‎ 故8－2k＝0，即k＝4，则Cm4＝，解得m＝±.‎ ‎(3)易知m>0，设第k＋1项系数最大．‎ 则化简可得≤k≤.‎ 由于只有第6项和第7项系数最大，‎ 所以即 所以m只能等于2.‎ 四、探究与拓展 ‎14．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________.‎ 考点　展开式中系数的和问题 题点　二项展开式中系数的和问题 答案　－ 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－.‎ ‎15．已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中：‎ ‎(1)二项式系数最大的项；‎ ‎(2)系数的绝对值最大的项．‎ 考点　展开式中系数最大(小)的项问题 14‎ 题点　求展开式中系数最大(小)的项 解　由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.‎ ‎(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，‎ 即T6＝C·(2x)5·5＝－8 064.‎ ‎(2)设第k＋1项的系数的绝对值最大，‎ 则Tk＋1＝C·(2x)10－k·k ‎＝(－1)k·C·210－k·x10－2k.‎ ‎∴得 即 ‎∴≤k≤，k∈N，∴k＝3，‎ 故系数的绝对值最大的是第4项 T4＝(－1)‎3C·27·x4＝－15 360x4.‎ 14‎