山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试卷
文科数学
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
2．答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4．考试结束后，将答题卡交回.
5．考试时间90分钟，满分100分.
第Ⅰ卷（30分）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线－＝1的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
2．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
3.下列结论正确的是( )
A．若y＝sin x，则y′＝cos x B．若y＝cos x，则y′＝sin x
C．若y＝，则y′＝ D．若y＝，则y′＝
4．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思
5．设椭圆的标准方程为＋＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是( )
A．k>3 B．3
0，log2x<2x＋3，则¬p为( )
A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x<2x＋3
C．∃x>0，log2x≥2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3
8．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有四个极大值点，无极小值点 D．有两个极大值点，两个极小值点
9．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0) 到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
10．已知两点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C＋＝1 D．＋＝1
第Ⅱ卷（70分）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若函数f(x)＝x2，则f ′(1)=
12．命题“能被5整除的整数末尾是0或5”是 形式的命题.
13．抛物线x2＝4y的焦点坐标为 ．
14．下列命题：①空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线；②原命题和逆命题真假相反；③若a>b，则a＋c>b＋c；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中真命题的个数为 ．
15.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为，则其离心率为 .
16.经过两点A(0,2)、B(，)的椭圆的标准方程为 .
17．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的最大值是 .
18．抛物线的一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是
三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题8分）已知函数f(x)＝x3—3x－1.
（1）求曲线y＝f(x)在点(2，1)处的切线的方程；
（2）求曲线y＝f(x)的极大值，极小值．
20．（本小题8分）已知p：实数x，满足x－a<0，q：实数x，满足x2－4x＋3≤0.
(1)若a＝2时，p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
21．（本小题10分）
（1）求焦点在直线x－y＋2＝0上的抛物线的标准方程；
（2）已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝90°，求|PF1|·|PF2|的值.
22． （本小题10分）已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx
（1）若f(x)在x＝1处取到极值，求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)0在（1,2）恒成立，求a的范围．
23．（本小题10分）
已知椭圆的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求的最大值．
文科数学（选修1—1）参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
A
C
D
C
D
B
B
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．2 12．p∨q13．（0,1）14．3
15．16．x2＋＝117．e 18．x－2y＝0
三、解答题（本大题共5个小题，共46分.）
19.（本小题满分8分）
(1)∵f′(x)＝3x2－3，..................................................................................................... 1分
∴f(x)在点(2，1)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝9...................................................................... 2分
∴切线的方程为................................................................................ 4分
（2）令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1. ............................................................................. 5分
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
-1
(-1,1)
1
f ′(x)
+
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
....................................................................................7分
由上表，知f(x)极大值＝=1，f(x)极小值＝=－3......................................................... 8分
20.（本小题满分8分）
(1)由x－a<0，得x3.所以实数a的取值范围是(3，＋∞)．...................................................... 8分
21.（本小题满分10分）
（1）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，
所以其焦点坐标即为直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点，
所以其焦点坐标为(－2,0)和(0,2)................................................................................. 1分
当焦点为(－2,0)时，可知其方程中的p＝4，
所以其方程为y2＝－8x................................................................................. 3分
当焦点为(0,2)时，可知其方程中的p＝4，
所以其方程为x2＝8y，
故所求方程为y2＝－8x或x2＝8y.................................................................................. 5分
（2）在△PF1F2中，=2,
= .................................................... 7分
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2................................................................................ 8分
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋2|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝2 ..............................................................................10分
22.（本小题满分10分）
(1)因为f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx，所以f′(x)＝－2x＋a－(x>0)．.......................... 1分
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，即－2＋a－1＝0，
解得a＝3.................................................................................. 2分
f′(x)＝－2x＋3－(x>0)，
令f′(x)>0，即－2x＋3－>0，解得1，
所以f(x)的单调递减区间为(0，)，(1，＋∞)．
综上，f(x)的单调递减区间为(0，)，(1，＋∞)，单调递增区间为(，1) ............................ 4分
(2) 在（1,2）恒成立，在（1,2）恒成立，即
.......................................................................................... 5分
设
, ...................................................................6分
设
则
.................................................... 8分
............................................................................................ 10分
23.（本小题满分10分）
(1)解：由题意得
解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1. ......................................................................................4分
(2)解：设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，..............................................................................5分
所以x1＋x2＝－，x1x2＝. .....................................................................................6分
所以|AB|＝ ＝ ＝
＝ ........................................................................8分
到直线y＝x＋m的距离
当且仅当时取到最大值。 ......................................................................................10分
